江西省部分学校2023-2024学年高二下学期5月统一调研测试数学试卷

绝密★启用前 2024年5月江西省高二年级统一调研测试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占60%，集合与常用逻辑用语 占10%。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.“对任意n∈Nf代x)=3x2是偶函数”的否定是 A.存在n∈N',使fx)=3x2不是偶函数 B.对任意neN',fx)=3x2不是偶函数 C.存在n∈N",使fx)=3x2"是偶函数 D.不存在neN·,使f八x)=3x2“是偶函数 2.已知{an}为等差数列，若43+a,+a11=3ag+1,则{an}的公差为 A号 B- c若 3.已知到=in3x,则f')= A号 c.32 D.-32 2 2 2 4.已知变量y线性相关，利用样本数据（长）（任=1,23,45）求得的回归直线方程为了=-字+5，且 点(，(i=1,2,34,5)都在直线y=-宁+5上，则这组样本数据的相关系数r= A.1 B.-1 c号 D.-3 高二·数学第1页（共4页） 5.已知函数x)是奇函数，当x>0时()=心+2+b,若(x)的图象在x=-1处的切线方程为 3x+y=0,则a-b= A.4 B.-4 C.2 D.-2 6.已知p:双曲线号-士=1(m>0)的浙近线与圆(x-2)+=1没行公共点，9：数列1a,中a,= 47? m-2,且{a}是递增数列，则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 已知数列1a,的前n项和为3若4=1,01=（贫-引}5，则S,- 100 A2器 B 9197 D.2-203 44×39 44×310 8.已知f八)=-1，g(x)=1-2√x,若存在1，，使得x)=g(名)，则 1+二有 名+√-x A最小值为号 B最大值为号 C最小值为2-号 D,最大值为号-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某公司为入职员工实行每月加薪，小王人职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月 比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的 工资之和为9300元，则 A.a=3000 B.小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和 C.小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍 D.小王入职后第20个月的工资为4550元 10.若数列1a}满足，对任意正整数n,恒有an≥a,则{a}的通项可以是 A.a,=2-40n 32 B.an=n 2n-11 C.a.=24-15 D.a cos-sin 3 3 1根据人)-气(x>0)的单测性判斯，下列结论正确的有 AB<③I B.2e<3e c.3>m3 D.+>2 e02 高二·数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若A=-201,31,B=1e=子，eZ,则AnB= 13.已知{a,}是公差不为零的等差数列，1b|是公比为正数的等比数列，若a,=b=-1,4=b2, a,=b3,则bn= 14若函数y=。二-。的图象与直线y=有4个交点，则实数私的取值范固是」 e-1 a et-t 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)据统计，目前中国各省市博物馆藏品数量最多的前5个省市及藏品数量（单位：万件）依 次为：北京(632.2)、四川(470.9)、上海(342.1)、陕西(329.2)、广东(262.7)，从这5个省市中 任意选取2个省市，记选取到的博物馆藏品数量超过400万件的省市个数为X. (1)求X的分布列与期望； (2)在X≠0的条件下，求广东省没有被选取到的概率 16.（(15分)已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=2,四边形ABCD是边长为4的菱形，点 E,F分别为CD,PD的中点，AE⊥CD (1)证明：平面PAB⊥平面AEF; (2)求平面PBC与平面AEF的夹角的余弦值. 高二·数学第3页（共4页） 17.(15分)已知数列1a,}满足几=+1+4n2+4,neN (1)证明：数列11是等差数列； na (2)若a=专，6=(2n+1)2a,求16，的前n项和S 18(1分)已知猫圆c号+卡=1(a>6>0)的高心率为，且a,6的等北中项为2 (1)求C的方程； (2)若直线y=x(k≠0)与C交于点A,B两点，直线y=kx+2过点A且与C交于另外一点A', 直线y=k2x+2过点B,且与C交于另外一点B'. ()设4(x,4,2),证明：%=2-了 3y1-4 (i)若直线A'B'的斜率为'，判断是否存在常数m,使得k是m,k2的等比中项，若存在，求 出m的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知函数fx)的导函数为f'(x)f'(x)的导函数为f"(x),对于区间A,若f(x)与f'(x)在 区间A上都单调递增或都单调递减，则称f代x)为区间A上的自律函数 (1)若f八x)=(x2+x+a)e2“是R上的自律函数 ()求a的取值范围； (i)若a取得最小值时，f"(x)=t只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数g(=子-62+x(b>0,判断是香存在b,c及∈（侵，+四，使得g()在 (行，+四上不单调，且g刘是(2及(，+四)上的自律函数，若存在，求出6与c的关系 及b的取值范围；若不存在，请说明理由， 高二·数学第4页（共4页）2024年5月江西省高二年级统一调研测试 高二数学参考答案及评分细则 1【答案】A 【解析】因为命题“Vx∈M,x具有性质p(x)”的否定是“3x∈M,x不具有性质p(x)”.故选A 2.【答案】D 【解折1设a,的公差为d.,因为4+a,+an=3a,所以3(a,-4)=6d=-1,d=一石散选D 3.【答案】D 【解折调为到=血3，所以了)=33，则/(=3m要=-3号故选D 2 4.【答案】B 【解析】由点(x)=1,2,3,4.5)都在直线y=-子+5上，可得=1，又，y负相关，所以r=-1.故选B. 5.【答案】D 【解析1/八x)的图像在x=-1处的切践方程为3x+y=0,则八-1)=3∫'(-1)=-3，当x>0时(x)=x+ar2+b, ∫'(x)=3x2+2,因为f代x)是奇函数，图象关于原点对称八x)的图象在x=-1处及x=1处的切线也关于原点 1+a+b=-3, 对称，所以1)=-3f'(1)=-3,即 所以a=-3,b=-1,a-b=-2.故选D. 3+2a=-3. 6.【答案】A 【解析]若双曲线号-1(m>0)的渐近线与圆(x-2+矿1设有公共点，则点(2,0)到直线，√m±2，=0 的距离大于1，即2 >1,解得m> √m+4 3:若数列a,是递增数列，则m>1,所以p是g的充分不必要条件.故 选A 7.【答案】C 【舒折油4=1=成及=化-号得5所以片产兮·会所以数到产是价项为1、 公比为兮的等比数列，所以片-声成品所以名品号-含导两式相波得号三8=1+号 +号2号所以号品所以=骨故选 1 1n31 8【答案】B 【解析1由)=g()得-Va写=1-2，名名=号+分n≥0，设1=属则时+2a 分+血1.设(0=号+山1，由0=1+h,得p()≥（付）-号->0，所以1的取值范周是(0，+m列， t5三=乐-一南=属-2风n新-号=-ht-子设4(0=1-加t-则'0=-加，所 V角，+√-写 高二·数学第1页（共6页） 以当1e(0,1)时，h()>0,A()单调递增，当1e(山，+)时，k'()<0,()单调递减，所以h()=h()=, 有最小值，所以当山出时中取得大值宁云十艺云设有最小值放足 √+√-西 9.【答案】ABD(每选对1个得2分》 【解析】小王前3个月的工资之和为a+a+100+:+200=3和+300=9300.所以a=3000,A正确：记小王人职 第m个月工资为a,则1≤n≤13时，a,|是等差数列，因为3+7=2+8，所以凸+a,=西+，B正确：由 1≤n≤13时1a.是公差为100的等差数列，当13≤n≤25时，{an1是公差为50的等差数列，Ss≠15a%,C错误： 小王入职后第13个月的工资为3000+12×100=4200，第20个月的工资为4200+7×50=4550，D正确.故选 ABD. 10.【答案】ACD(每选对1个得2分)】 【解析】对于Aa=-号=(--智，当a=7时最小，满足思意A正确：对于-4 a+得”-a()=(侵·7g当n≤6a>4所以4>4，B错误：对于Ca熟=1+ 2n-15当n≥8时2m-15>0,a,>L,当n≤7时2n-15<0,4,<1,且，随n的增大面减小，C正确：对于D, 4 a-=2，数列a,的前7项依次为-，1，-之1，-该数列是以3为周 期的周期数列，易知D正确.故选ACD. 11.【答案】BC(每选对1个得3分) 【解析1由)=三(>0)，得了（到=二，所以）在(0，)上单调通增，号+网上单调递减，3)> 2/e 3.)相吗>即，5>雲A结误：由付)<台得子<子即2<3，B正确：由63>1得 3<.即2,3.C正确：由1)>1.1>1.2)得2>1.1)+1.2).即2>▣+ 3 所以一，受<2，D错误故选配 12.【答案】1-2,0 【解标当a=0时，号=0，当n=-3时号=-2号1号3所以4n8=-2.01 13.【答案】-2 -1+2d=-9, 【解析】设，的公差为d(d≠0)，b|的公比为g(g>0),由题意得 解得g=2,所以b。= -1+6d=-g2, -2”-1 14【答案-0 【解标1函数y二的图象与直线ya有4个交点即方程。后兰-亡有4个不同 高二·数学第2页（共6页） 实根，即e+(1-e)(a心+lnx)-1=0有4个不同实根，设1=ax+m￥代)=e+(1-e)t-1,则f'()= e+1-e,由f(r)=0,得t=ln(e-1),所以f（t)在(-0，ln(e-1)上单调递减，在(n(e-1),+o)上单调递 增，且0)=1)=0，所以)=0有2个不同实根0与1，令+nx=0,得a=-,设g)=_血三，则 )=产在(0，e止单调道减，在(e,+国止单调递增s)-=8(e)。且>1时6国< 0,所以当4<-L时，直线y=a与函数g(x)的图象设有交点，当a≥0或a=-时，直线y=a与函数g(x)的 图象有1个交点，当-<a<0时，直线y=a与函数g(x)的图象有2个交点，令x+nx=l,得a=1-n, 设a()-兰则（也子，4（国在(0，上单调通减，在（心，+）上单调适增，4()=4(e) -号，且x>心时，4()<0，所以当a<-时，直线y三a与函数A()的图象设有交点，当a≥0或a=-时， 直线=a与函数()的图象有1个交点，当-。<a<0时，直线y=a与函数6()的图象有2个交点，综上待 当-是<a<0时，函数y=。二的图象与直线y=a有4个交点 e-1-x ex-x 【评分细则】 14题答案写成al-吉<a<0或-之<a<0或-e2<a<0也正确 15.解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，(1分) P(X=0)= S=aP(X=1)= 0s29=2,Px=2)= C=0,(4分) 所以X的分布列如下表所示， 2 6分) 10 10 x=0x高1x房+2x0-号(8分) 3 14 (2)设事件A表示“X≠0”，事件B表示“广东省没有被选取到”， 则)=1-品-品 Ci+Cc =交，(11分) 所以在X0的条件下，广东省没有被选取到的概率为P(81A)-0-子-亭(3分) P(A) 10 【评分细则】 第(2)小题，不设事件，直接列式计算，若计算正确，不扣分 16.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，且AE⊥CD. 所以AE⊥AB,(1分) 因为PA⊥平面ABCD,AEC平面ABCD, 高二·数学第3页（共6页） 所以PA上AE,(3分) 因为PA∩AB=A,所以AE1平面PAB,(4分) 因为AEC平面AEF,所以平面PAB⊥平面AEF.(6分) (2)解：由(1)可得AB,AE,AP两两垂直. 因为AD=4,DE=2,AE⊥CD, 所以AE=23,(7分) 以点A为坐标原点，AB,AE,P所在的直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(2.23.0).(0,23.0).P(0,0,2),F(-1,3,1). 所以P=(4,0,-2),BC=(-2.23.0),正=(0.23.0)，E示=(-1.-5.1).(9分) 设平面PBC的法向量n,=(,水，)， 则·厉=0,4-24=0. 即 lm4·BC=0,-2x+23y1=0. 取1=1，得x=3,1=23,故平面PBC的一个法向量1=(3,1.23)，(11分) 设平面AEF的法向量2=（少，2）， 则·花=0， 23y1=0, 即 m,E=0,1-￥-3%+=0 取=1，得为=0，=1，故平面AEF的一个法向量m=(1,0,I),(13分) 设平面PBC与平面AEF的夹角为8， n,·m_5+2336 则os6=m,m 4×,2 8· 所以平面PaC与平面4F的夹角的余弦值为(15分) 【评分细则】 如用其他解法，若正确，也给满分 17.(1)证明：因为”=++4n2+4n, 0.t。 所以元=+1+4n(n+1),(2分) 两边同时除以a(a+1)得aa一女+4， 即1。一-上=4，(5分) (n+1)a1a, 所以数列品是公差为4的等差数列(7分) (2)解：由(1)得1是公差为4的等差数列，首项上=8. 1 所以d=8+4a-)=4(a+.9分) 高二·数学第4页（共6页） 1 所以a,产4n(n+D（10分) 6=2m+ 4n(n+1) 111 +-g0(5分) 【评分细则】 第(2)小题最终结果写成1+十4也正确 10)据因为C的离心*为号所以学2分) 整理得a2=4h,所以a=26,(3分) 因为a,b的等比中项为2，所以ab=4, 即262=4,62=2，a2=8, 所以C的方程为后+号=15分 （2)证明y=+2与写+号=1联立得(4线+2+16+8=0，所以与” 8，,(6分) 因为飞，=当2 ,且+4=8，(7分) 所以= 8 8x1 ,4(-2y+买2-3(9分) 所以为=当2. 3y-4 3y1-4 (i)解：()知与=“2-3为2-3 因为直线A'经过点(0,2)，(y),直线BB经过点(0,2)，(-1，-)， 13y1+4 设B'(6).则=2+32，+行（12分》 3y1+43y1-4 又k=4,从=》-当.2+32-3 3一上 卖=-学(5分 2y,+3+2,-3 所以9贴2=2，所以2,9的一个等比中项为k,即存在m=9,使得k是m,2的等比中项.(17分) 【评分细则】 如用其他解法，若正确，也给满分 19.解：(1)(i)因为x)=(x2+x+a)e”, 所以f'(x)=(2x2+4r+2a+1)e,(x)=(4x2+12x+4a+6)e,(2分) 因为x)是R上的自律函数， 高二·数学第5页（共6页） 所以2x2+4x+2a+1≥0恒成立，且4x2+12x+4a+6≥0恒成立， r16-8(2a+1)≤0， 所以 144-16(4a+6)≤0. 4分) 解得a≥子.所以a的取值范围是子，+小(5分) (m)当a=时)=(4以+12+9)e2. 设()=f(.则()=(8+32x+30)e2=8+儿+ 所以当xe(-子，-引时，()<0)单测递减。 当xe(-,-）或e(-是+时，A()>0)单调递增，(7分) 因为r-)号(-)=0()≥0， 所以若户()=1只有一个实根1的取值花围是1=0，或1>专.(9分) （2)由g到=子-67+得g(到=-26+cg)=8r-26. 令g(x)=0得x=±2 所以g)在印，)上单调递减，在台，+上单调递增，（山分） 由()在（行，+四上不单调，且g)是行）及(，+m)上的自律函数， 得=宁，(12分) 则g)={台)-2·2+e=0,c=,(13分) 所以（行+时。 g)=2-26x+号8=--26-2)-引-x+6)30, (x)在(2，+四上单调递增，与已知矛盾， 所以不存在b,e及∈（分，+：使得g()在（分，+∞上不单调，且g()是(2及(，+）上的自律函 数.(17分) 【评分细则】 如用其他解法，若正确，也给满分 高二·数学第6页（共6页）