精品解析：广东省广州市第五中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

广州市第五中学2023学年下学期高二年级5月月考试卷 科目数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 随机变量的分布列如下： -1 0 1 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ） A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点 4. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 5. 某公司安排5名职工去3地调研，每地至少去1名职工，每个职工只能去一个地方，则不同的安排方法总数为（ ） A. 50 B. 150 C. 240 D. 300 6. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 7. 边长为4的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ） A. 男生必须排在一起的坐法有576种 B. 女生互不相邻的坐法有1440种 C. 男女生相间的坐法有72种 D. 男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 10. 若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 展开式中各项系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中各二项式系数和为 11. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 13. 世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为___________. 14. 设函数，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差为正的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，且，求数列的前项和． 16. 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数的分布列和数学期望． 17. 函数的图像在点处的切线与y轴垂直，且． （1）求a与b的值，并求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为20，求c的值． （3）若函数的图象与x轴有三个交点，求c的范围． 18. 2022年1月26日，岳阳市主城区全新投放一批共享电动自行车.本次投放的电动自行车分红､绿两种，投放比例是2：3.监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取5辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等. （1）求抽取的5辆电动自行车中恰有3辆是绿色的概率；（用数字作答） （2）在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束；若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车规定抽样的次数最多不超过次在抽样结束时，已抽到的红色电动自行车的数量用表示，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设是函数的两个极值点， （i）求a的取值范围 （ii）证明：恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第五中学2023学年下学期高二年级5月月考试卷 科目数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断． 【详解】A：； B：； C：； D：． 故选：C． 2. 随机变量的分布列如下： -1 0 1 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率之和为1得到，利用期望的公式得到，两个联立算出再利用方差的计算方式算出结果 【详解】由题设可得， 所以随机变量的方差为， 故选：D． 3. 定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ） A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，三个交点对应的横坐标为，，根据图像得到函数的单调区间得到答案. 【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 故函数有一个极大值点，两个极小值点. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用， 4. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 5. 某公司安排5名职工去3地调研，每地至少去1名职工，每个职工只能去一个地方，则不同的安排方法总数为（ ） A. 50 B. 150 C. 240 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】依题意5名职工的分组方式有，，或，，，先分组，再分配，需注意部分平均分组需除以组（平均的组数）的全排列. 【详解】依题意5名职工的分组方式有，，或，，两种； 若为，，，则有种不同的安排方法； 若为，，，则有种不同的安排方法； 综上可得一共有种不同的安排方法. 故选：B 6. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得基本事件总数为， 设， ， ， ， 由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； 易知与不同时发生，即与为互斥事件， 但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误. 又， 则，， 从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确. 故选：D 7. 边长为4的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设底面边长为 ，则斜高为，正四棱锥的高为，从而表示出，令，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】设底面边长为 ，则斜高为， 即此正四棱锥的高为， 所以此正四棱锥体积为， 令， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以， 所以， 即正四棱锥体积的最大值为. 故选：C. 8. 数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，利用数列通项与前n项和的关系，求得，，再根据对任意，恒成立求解. 【详解】解：当时，， ∴，当时，符合上式， ∴， ∴． 当n为奇数时，， 令知，当时，， ∴， 当n为偶数时，， 令， ∴， ∴． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ） A. 男生必须排在一起的坐法有576种 B. 女生互不相邻的坐法有1440种 C. 男女生相间的坐法有72种 D. 男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 【答案】ABD 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法，即可判断A、D；不相邻问题利用插空法，即可判断B；确定男、女的顺序，按照分步乘法计数原理判断C. 【详解】对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列， 再排4个男生的内部顺序，共有种结果，故A正确； 对于B：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生， 共有种结果，故B正确； 对于C：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有种排法，故C错误； 对于D：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有种， 再排他们内部的顺序，有种结果， 根据分步计数原理，共有种结果，故D正确． 故选：ABD 10. 若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 展开式中各项系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中各二项式系数和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式定理以及二项展开式系数的性质，运用赋值法和二项式展开项公式求解. 【详解】因为第5项和第6项是相邻的两项， ，A正确； 令 ，则有 ，B正确； ， ，常数项 ，C正确； 二项式系数之和 ，错误； 故选：ABC. 11. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导得到导函数，再次求导证明单调递增，根据零点存在定理得到，AB正确，代换得到，C正确，若D成立得到，矛盾，得到答案. 【详解】，则，恒成立， 故单调递增， ，， 故存在，函数在上单调递减，在上单调递增，AB正确； ，， ，故C正确； 若，，则，， ，则，这与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 【答案】0.52## 【解析】 【分析】先根据对称性得到，结合求出答案. 【详解】由对称性可知，，故. 故答案为：0.52 13. 世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式分别计算比赛三场、四场、五场的概率之和即可求解. 【详解】因为每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为， 比赛一般实行“五局三胜制”， 总共比赛三场，第二次和第三次中国女排都获胜的概率为， 总共比赛四场，第二次和第三次中国女排胜一场、该国女排胜一场，第四场中国女排获胜的概率为， 总共比赛五场，第五场中国队获胜，第二、三、四场中国队胜一场的概率为： ， 所以在中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为： ， 故答案为：. 14. 设函数，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围是_______. 【答案】或 【解析】 【分析】令，利用导数刻画的性质和图象，将的图象绕旋转，使得的图象在的图象上方部分有且只有一个横坐标为整数的点，从而可得参数的取值范围. 【详解】令， 则存在唯一的整数使得等价于的图象在的图象上方部分有且只有一个横坐标为整数的点. 又， 当时，，为上的增函数； 当时，，为上的减函数. 的图象如图所示： 的图象为过的动直线， 当时，的图象在的图象上方部分有无穷多个横坐标为整数的点，舍去； 当时，若该直线过的图象上的点时，； 若该直线过的图象上的点时，， 因为的图象在的图象上方部分有且只有一个横坐标为整数的点，所以； 若该直线过的图象上的点时，； 若该直线过的图象上的点时，， 因为的图象在的图象上方部分有且只有一个横坐标为整数的点，所以； 故答案为：或. 【点睛】本题考查函数不等式的有解，一般地，如果函数不等式较为复杂，可以将其转化为两个熟悉函数图象的位置要求，其中一个函数不含参数且可以利用导数刻画其性质和图象，另一个为含参数的动直线，此题为难题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差为正的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，且，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列下标和性质得到，即可求出、，从而求出公差，即可求出通项公式； （2）首先求出，的值，即可求出的通项公式，从而得到，再利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 在等差数列中，则， 又，解得或， 又的公差，所以，则， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，又，， 所以，， 因为是等比数列，所以公比为， 所以，所以. 所以 . 16. 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）首先按照分层抽样求出第一、二批次的芯片数，则的可取值为，，，，利用超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【小问1详解】 设事件为“任取一个芯片是合格品”，事件为“产品取自第一批”， 事件为“产品取自第二批”， 则，，， 所以 . 【小问2详解】 由条件可知第一批芯片抽取个，第二批芯片抽取个； 则的可取值为，，，； 则；； ；； 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 函数的图像在点处的切线与y轴垂直，且． （1）求a与b的值，并求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为20，求c的值． （3）若函数的图象与x轴有三个交点，求c的范围． 【答案】（1）的单调递增区间为单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数，再求解单调性即可. （2）利用单调性讨论极值，再求出端点值，建立方程求解参数即可. （3）将问题转化为三次函数的最值问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【小问1详解】 由可得 因为函数的图像在点处的切线与y轴垂直， 故，结合 所以，解得， 所以 令，解得令，解得或 所以的单调递增区间为单调递减区间为 【小问2详解】 由上问知, 在上单调递减, 在上单调递增, 所以当时, 取得极小值， 而 则在区间上的最大值为解得 故c的值为. 【小问3详解】 由（1）知当时,取得极小值 当时,取得极大值 若函数的图象与x轴有三个交点， 解得，故c的范围是. 18. 2022年1月26日，岳阳市主城区全新投放一批共享电动自行车.本次投放的电动自行车分红､绿两种，投放比例是2：3.监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取5辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等. （1）求抽取的5辆电动自行车中恰有3辆是绿色的概率；（用数字作答） （2）在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束；若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车规定抽样的次数最多不超过次在抽样结束时，已抽到的红色电动自行车的数量用表示，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 n-1 n P 数学期望： 【解析】 【分析】（1）根据随机的抽取一辆电动自行车是绿色的概率为，由X服从二项分布求解； （2）由的可能取值为0，1，…，n.分别求得其相应的概率，然后求期望. 【小问1详解】 解：因为随机的抽取一辆电动自行车是绿色的概率为 用X表示“抽取的5辆电动自行车中，绿色电动自行车的辆数”， 则X服从二项分布， 抽取的5辆电动自行车中恰有3辆是绿色的概率： ； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，，n. 则；； ；； 所以的分布列为 0 1 2 . n-1 n P 则① ② ①-②得： ， ， ， ， 所以. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设是函数的两个极值点， （i）求a的取值范围 （ii）证明：恒成立. 【答案】（1） 当时，单调递增区间为；单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，无减区间； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i）； （ii）证明：由（i）得， 又，所以，， 令，则， 所以， 则， 所以 ， 则， 令， 则，所以在单调递增 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由题得，且，分类讨论的取值情况，结合导数的符号，即可确定函数单调性； （2）（i）将问题转化为在上有两个不等实根，结合对应二次函数性质求参数范围；（ii）由（i）得，令，从而得到， 进一步化简，构造函数，然后利用导函数求最值即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，，单调递减； ，单调递增； 当时，，单调递减； ，单调递增； 当时，，单调递增； ，单调递减； 当时，在上恒成立，单调递增； 当时，，单调递增； ，单调递减； 综上：当时，单调递增区间为；单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，无减区间； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 （i）由已知得，， 则的定义域为，得， 又设是函数的两个极值点， 所以在上有两个不等实根， 令，只需满足，解得， （ii）略. 【点睛】方法点睛：极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $