天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共9题，每小题3分，共27分。 1．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 2．（3分）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 3．（3分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（3分）（1+x）2n（n∈N*）的展开式中，系数最大的项是（　　） A．第+1项 B．第n项 C．第n+1项 D．第n项与第n+1项 5．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）＝0.8，则P（0＜X＜2）＝（　　） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1 6．（3分）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P（X＝2）等于（　　） A． B． C． D． 7．（3分）某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）＝（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（　　） A．﹣20 B．﹣40 C．20 D．40 9．（3分）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　） A．243 B．252 C．261 D．279 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。 10．（4分）的展开式中x2y2的系数为 　 　．（用数字作答） 11．（4分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为 　 　． 12．（4分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a3+a5+a7＝　 　 13．（4分）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为{a2，a+b，0}，则a2024+b2024＝　 　． 14．（4分）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有　 　种． 15．（4分）某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 　 　． 三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（9分）（Ⅰ）证明：组合数性质； （Ⅱ）计算：（用数字作答）． 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0} （1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 18．（10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考公式：＝，＝﹣；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 19．（10分）某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多． （Ⅰ）根据以上数据填写2×2列联表； 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总计 （Ⅱ）依据小概率α＝0.10的独立性检验，分析喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系？ 参考公式：K2＝，参考数据：P（K2≥2.072）＝0.15，P（K2≥2.706）＝0.10，P（K2≥3.841）＝0.05，P（K2≥5.024）＝0.025． 20．（10分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和． （1）求X的分布列； （2）求X的数学期望E（X）． 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共9题，每小题3分，共27分。 1．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}， ∴A∪B＝{1，2，3}， ∵全集U＝{1，2，3，4}， ∴∁U（A∪B）＝{4}． 故选：D． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．（3分）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关， u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关． 【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关， 由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关． 故选：C． 【点评】本题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题． 3．（3分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案． 【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4； 若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2． 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义． 4．（3分）（1+x）2n（n∈N*）的展开式中，系数最大的项是（　　） A．第+1项 B．第n项 C．第n+1项 D．第n项与第n+1项 【分析】由于第r+1项的系数为，可得当r＝n时，系数最大，从而得出结论． 【解答】解：由于第r+1项的系数为，故当r＝n时，系数最大，即第n+1项的系数最大， 故选：C． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题． 5．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）＝0.8，则P（0＜X＜2）＝（　　） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（0＜X＜2）． 【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2）， ∴正态曲线的对称轴是x＝2． 又P（X＜4）＝0.8， ∴P（X＞4）＝0.2， 则P（0＜X＜2）＝． 故选：B． 【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题． 6．（3分）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P（X＝2）等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据X为随机变量，X～B和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n的值，再根据二项分布概率公式得到结果． 【解答】解：∵随机变量X为随机变量，X～B， ∴其期望EX＝np＝＝2，∴n＝6， ∴P（X＝2）＝＝． 故选：D． 【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式． 7．（3分）某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】求出P（B），P（AB），再利用条件概率求解即可． 【解答】解：由题意可知，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查条件概率公式的应用，属基础题． 8．（3分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（　　） A．﹣20 B．﹣40 C．20 D．40 【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x＝1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项． 【解答】解：令x＝1则有1+a＝2，得a＝1，故二项式为（x+）（2x﹣）5 故其常数项为﹣22×C53+23C52＝40． 故选：D． 【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要． 9．（3分）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　） A．243 B．252 C．261 D．279 【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可． 【解答】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8＝648， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648＝252． 故选：B． 【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。 10．（4分）的展开式中x2y2的系数为 　70　．（用数字作答） 【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得答案． 【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，r＝0，1，2，…，8，令8﹣＝﹣4＝2，求得 r＝4， 故展开式中x2y2的系数为＝70． 故答案为：70． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了化简运算能力，属于中档题． 11．（4分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为 　∃x∈R，x2+1≤0　． 【分析】由全称命题的否定方法可得结论． 【解答】解：由全称命题的否定可知： ￢p：∃x∈R，x2+1≤0． 故答案为：∃x∈R，x2+1≤0． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 12．（4分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a3+a5+a7＝　﹣1094　 【分析】根据题意，在（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x＝1可得a0+a1+a2+…+a7＝1，令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2+…+a7＝2187，两式相减，变形可得答案． 【解答】解：根据题意，（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7， 令x＝1可得：（﹣1）7＝a0+a1+a2+…+a7，即a0+a1+a2+…+a7＝﹣1，① 令x＝﹣1可得：（3）7＝a0﹣a1﹣a2+…+a7，即a0﹣a1+a2+…+a7＝2187② ①﹣②可得：2（a1+a3+a5+a7）＝﹣2188； 则a1+a3+a5+a7＝﹣1094； 故答案为：﹣1094． 【点评】本题考查二项式定理的应用，注意用特殊值的使用，属于基础题． 13．（4分）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为{a2，a+b，0}，则a2024+b2024＝　1　． 【分析】由已知结合集合的相等条件及集合元素的互异性即可求出a，b，从而可求． 【解答】解：因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为{a2，a+b，0}， 所以a≠0，＝0，即b＝0， 则a2＝1，即a＝1或a＝﹣1， 当a＝1时，集合为{1，0，1}，{1，1，0}与集合元素的互异性矛盾， 故a＝﹣1，b＝0， a2024+b2024＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题． 14．（4分）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有　60　种． 【分析】分类讨论，一个贫困村去一位老师；一个村有两个老师，另一个村有一个老师，利用加法原理可得结论． 【解答】解：一个贫困村去一位老师，有＝24种； 一个村有两个老师，另一个村有一个老师，有×＝36种， ∴不同的分配方法有60种 故答案为：60． 【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15．（4分）某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 　0.3　． 【分析】根据题意利用全概率公式能求出结果． 【解答】解：设A1＝“第1天去甲餐厅用餐“，B1＝“第1天去乙餐厅用餐”，A2＝“第2天去乙餐厅用餐”， 根据题意得P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2|A1）＝0.4，P（A2|B1）＝0.2， 由全概率公式得： P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）＝0.5×0.4+0.5×0.2＝0.3． ∴小李第二天去乙家餐厅的概率为0.3． 故答案为：0.3． 【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（9分）（Ⅰ）证明：组合数性质； （Ⅱ）计算：（用数字作答）． 【分析】（Ⅰ）利用组合数的阶乘公式证明； （Ⅱ）利用组合数的性质求解． 【解答】解：（Ⅰ）证明：＝+＝＝＝＝＝； （Ⅱ）＝+…+＝+…+＝++…+＝…＝+＝＝＝166650． 【点评】本题主要考查了组合数的阶乘公式，考查了组合数的性质，属于基础题． 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0} （1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； （3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【分析】（1）分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m+1小于2m﹣1列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，由B为A的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，找出m范围的交集得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，得出m+1大于2m﹣1，列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，综上，得到所有满足题意的m范围． （2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，m无解； （3）利用A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}，建立不等式，即可求得结论． 【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}， 分两种情况考虑： （i）若B不为空集，可得m+1≤2m﹣1，解得：m≥2， ∵B⊆A，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣6}， ∴m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3， ∴2≤m≤3 （ii）若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m﹣1，解得：m＜2， 综上，实数m的范围为m≤3； （2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，∴m无解； （3）∵A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}， ∴m﹣6≤﹣2，且2m﹣1≥5， ∴m≤4，且m≥3，∴3≤m≤4． 【点评】本题考查两集合的包含关系，根据题意得出不等式是解本题的关键． 18．（10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考公式：＝，＝﹣；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 【分析】（1）根据数据，作出散点图．（2）根据回归直线方程的求法求出线性回归方程．（3）根据回归直线方程进行预测． 【解答】解：（1）由数据作出散点图： 分 （2） 序号 x y xy x2 l 3 2.5 7.5 9 2 4 3 12 16 3 5 4 20 25 4 6 4.5 27 36 18 14 66.5 86 …（6分） 所以：＝4.5，＝3.5， ＝＝＝0.7， ＝3.5﹣0.7×＝0.35， 所以线性同归方程为：y'＝0.7x+0.35…（9分） （3）x＝100时，y'＝0.7×100+0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤…（12分） 【点评】本题主要考查回归直线的基础知识，要求熟练掌握最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并能运用回归直线进行预测． 19．（10分）某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多． （Ⅰ）根据以上数据填写2×2列联表； 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总计 （Ⅱ）依据小概率α＝0.10的独立性检验，分析喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系？ 参考公式：K2＝，参考数据：P（K2≥2.072）＝0.15，P（K2≥2.706）＝0.10，P（K2≥3.841）＝0.05，P（K2≥5.024）＝0.025． 【分析】（Ⅰ）根据题中所给数据，画出列联表； （Ⅱ）根据公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）根据题中所给数据，得到如下列联表： 认为作业多 认为作业不多 总　　计 喜欢玩电脑游戏 9 3 12 不喜欢玩电脑游戏 4 6 10 总　　计 13 9 22 （Ⅱ）零假设H0：喜欢玩电脑游戏与认为作业多少没有关系， 计算K2＝≈2.7641＞2.706＝K0.10， 所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10． 【点评】本题考查了独立性检验应用问题，解题的关键是利用列联表计算出观测值，是基础题． 20．（10分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和． （1）求X的分布列； （2）求X的数学期望E（X）． 【分析】（1）X的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列； （2）利用X的数学期望公式，即可得到结论． 【解答】解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6． P（X＝3）＝；P（X＝4）＝； P（X＝5）＝；P（X＝6）＝． 故所求X的分布列为 X 3 4 5 6 P （2）所求X的数学期望E（X）＝3×+4×+5×+6×＝ 【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$