2.2.3一元二次不等式的解法课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.3　一元二次不等式的解法 人教B版——必修——第一册 -1- 课标分析： 首页 一 二 三 单元分析： 课前篇 自主预习 一 二 三 课前篇 自主预习 一 二 三 知识点一： 下列不等式中,哪些是一元二次不等式 (其中a,b,c,m为常数)? (1)ax2>0; (2)x3+5x-6≥0; (3)-x-x2≤0; (4)x2>0; (5)mx2-5y>0; (6)ax2+bx+c≤0 课前篇 自主预习 一 二 三 知识点二、因式分解法解一元二次不等式 1.填空 一般地,如果x1<x2, 则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2); 不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是 (-∞,x1)∪(x2,+∞). 课前篇 自主预习 一 二 三 课前篇 自主预习 一 二 三 知识点三、配方法解一元二次不等式 1.填空 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为 (x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集. 2.做一做 解不等式:7+6x-x2≥0. 解:由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0, 即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16, 即(x-3)2≤16, 两边开平方,得|x-3|≤4, 从而可知-4≤x-3≤4, 即-1≤x≤7. 所以原不等式的解集为[-1,7]. 课前篇 自主预习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟 课堂篇 探究学习 【思考】 (1)因式分解法的实质是什么？ 提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解. (2)配方法的实质是什么？ 提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解. 小结： 课堂篇 探究学习 谢谢观看 -1- 课标阐释 思维脉络 1.理解一元二次不等式的定义. 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式. 3.了解简单的分式不等式,并会求其解集. 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如______________________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. ax2＋bx＋c>0 ■点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即ax2＋bx＋c<0(a≠0)，ax2＋bx＋c≥0(a≠0)，ax2＋bx＋c≤0(a≠0)都是一元二次不等式． 　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－eq \f(1,2)x2＋3x－5>0. 解不含参数的一元二次不等式 eq \a\vs4\al( ) 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解含参数的一元二次不等式 【解】　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq \f(1,a)或x>1. ③当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0. 若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解； 若a>1，即eq \f(1,a)<1时，解得eq \f(1,a)<x<1； 若0<a<1，即eq \f(1,a)>1时，解得1<x<eq \f(1,a). 综上可知，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>1))))； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))). 　解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0，(a∈R)． 解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0， 所以(x＋a)(x＋1－a)>0， 当－a>a－1，即a<eq \f(1,2)时，x<a－1或x>－a， 当a－1>－a，即a>eq \f(1,2)时，x<－a或x＞a－1， 当a－1＝－a，即a＝eq \f(1,2)时，x≠－eq \f(1,2)， 所以当a<eq \f(1,2)时，原不等式的解集为{x|x<a－1或x>－a}； 当a>eq \f(1,2)时，原不等式的解集为{x|x<－a或x>a－1}； 当a＝eq \f(1,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，x∈R)))). eq \a\vs4\al( ) 含参一元二次不等式的解法 　 　解下列不等式： (1)eq \f(x＋2,3－x)≥0；(2)eq \f(2x－1,3－4x)>1. 解简单的分式不等式 【解】　(1)原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋2）（3－x）≥0，,3－x≠0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋2）（x－3）≤0，,x≠3))⇒－2≤x<3. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜3}． (2)原不等式可化为eq \f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq \f(3x－2,4x－3)<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. 所以eq \f(2,3)<x<eq \f(3,4). 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,3)<x<\f(3,4))). 分式不等式 同解变形1 同解变形2 >0 >0⇔或 >0⇔ f(x)g(x)>0 <0 <0⇔或 <0⇔ f(x)g(x)<0 ≥0 ≥0⇔ ≤0 ≤0⇔ 　不等式eq \f(x＋5,（x－1）2)≥2的解是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))　　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，3] D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，3] 解析：选D.eq \f(x＋5,（x－1）2)≥2⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋5≥2（x－1）2，,x－1≠0))⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1，))所以x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，3]． 课标阐释 思维脉络 1.理解一元二次不等式的定义. 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式. 3.了解简单的分式不等式,并会求其解集. $$