清单03 整式的乘除与因式分解 全章复习（3个考点梳理+13种题型解读）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

清单03 整式的乘除与因式分解 全章复习 （3个考点梳理+13种题型解读） 考点一 整式的乘除 整式的乘法 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【考试题型1】整式乘法的混合运算 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 2．（22-23七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 3．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【考试题型2】利用整式乘法求字母或代数式的值 4．（22-23七年级·上海·假期作业）先化简，再求值：，其中． 5．（20-21八年级上·全国·课后作业）有理数x，y满足条件，求代数式的值． 6．（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【考试题型3】已知多项式乘积不含某项求字母的值 7．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习） 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含项，且的系数为2，求的值． 8．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若的积中不含项与项， (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【考试题型4】整式乘法的错看/错解问题 9．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 10．（22-23七年级下·全国·假期作业）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 11．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 12．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，请求出正确的运算结果． 【考试题型5】多项式乘多项式与图形面积 13．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，某校有一块长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形草坪，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． (1)用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； (2)若，，硬化成本为每平方米50元，则完成硬化共需多少钱 14．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： 请你解答下面的问题： (1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ； (2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你分析这个长方形的长和宽． 15．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的三种纸片：边长为a的小正方形（A类），长为、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的正方形（C类）． 用图1中的A类纸片2张，B类纸片3张、C类纸片1张可以拼出图2所示的长方形．根据长方形的面积，可以用来解释整式乘法：，也可以解释因式分解：    (1)如果要拼成一个长为（），宽为的大长方形，则需要B类纸片 张，C类纸片 张； (2)若用4张B类纸片围成图3所示的图形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，则下列等式中：①；②；③；④；⑤，正确的有 ；（写出所有正确结论的序号） (3)如果取若干张纸片（三种都要取）拼成一个长方形，使其面积为，请在虚框中画出图形，并根据所画图形将多项式分解因式； (4)如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求m的值． 考点二 乘法公式 平方差公式的几何背景 1）意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2）通过面积法推导完全平方公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 完全平方公式的几何背景 1）意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2）通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 【考试题型6】利用乘法公式化简求值 16．（20-21九年级下·湖南长沙·开学考试）先化简，再求值:，其中． 17．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）先化简，再求值：其中．． 18．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）化简求值：，其中． 【考试题型7】乘法公式与几何图形 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______ (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 20．（22-23七年级下·广东茂名·期末）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：___________，___________；（只需表示，不必化简）； (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？___________； (3)试利用这个公式计算： ①； ②； ③． 21．（22-23七年级下·浙江金华·期中）已知图甲是一个长为，宽为的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形 (1)请用两种不同的方法，求图乙中阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示，不用化简） 、 ； (2)观察图乙，并结合（1）中的结论，，之间的相等关系式是 ； (3)根据（2）中的等量关系解决如下问题：当，时，求的值． 22．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）在学习《整式乘法与因式分解》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式．从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法． (1)如图1，边长为a的正方形纸片，在其右边和下边同时剪去宽为b的长方形，计算剩余纸片（图中阴影部分）的面积，可得等式：________； (2)两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简； (3)利用（2）中的结论计算：在直角三角形中，一条直角边的长为6，斜边的长为10，求另一直角边b的长度； (4)如图3，在直角三角形中，，，垂足为D．且，．求的长． 【考试题型8】通过对乘法公式变形求值 23．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 24．（23-24八年级上·四川巴中·期末）已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 25．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 小亮同学把图①长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分为四个小长方形，然后拼成了如图②所示的正方形． 小亮进一步发现图②里面的小正方形的面积可以用两种方法去求，请写出小亮的两种方法所得的结果（结果用含m，n的代数式表示） 方法一： ；方法二： ； 【提出问题】 、之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】（完成下列填空） 分析一：因为上述两种方法都是求同一个正方形的面积，所以这两个面积的结果一定相等． 分析二：因为是两个数m与n和的完全平方，所①， 因为是两个数m与n差的完全平方，所以②， 由得 ； 类似的，由可得 ． 【解决问题】 （1）若，则 ；（直接写出结果） （2）已知，求与的值． 26．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题： 已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ． ， ， ，， ． 【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【考试题型9】利用配方法求最值 27．（23-24九年级上·河南南阳·期中）〖我阅读〗阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4． 〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答． (1)直接写出代数式的最小值． (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 28．（23-24八年级上·四川眉山·期中）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1、分解因式： 例2、求代数式的最小值： 又∵ ∴当时，代数式有最小值，最小值是． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)代数式有最 （大、小）值，当x＝ 时，最值是 ； (3)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 29．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 考点三 因式分解 因式分解的一般步骤： 【考试题型9】选用合适的方法分解因式 30．（23-24八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 31．（23-24八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)； (9)． 【考试题型10】已知因式分解的结果求参数 32．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 33．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【考试题型11】利用特殊方法分解因式 34．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把分解因式． 35．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． (1)根据材料 ，把分解因式． (2)结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 36．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)已知等腰三角形的三边均为整数，且，求等腰三角形的三边长． 37．（21-22八年级下·河南郑州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，并且的三边长是a，b，c，且c为奇数，求的周长． 【考试题型12】因式分解在有理数简算中的应用 38．（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）利用乘法公式计算：． 39．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算． (1) (2) 40．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 41．（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【考试题型13】因式分解的应用 42．（23-24八年级上·全国·课堂例题）图中1，2，3号卡片各若干张，如果1号、2号、3号卡片分别选取1张、2张、3张，请通过拼图把分解因式，并画出图形（画出一个即可）． 43．（22-23八年级下·全国·假期作业）（1）求证：当n为正整数时，能被8整除； （2）已知a，b，c是的三边长，试说明的值一定是负数． 44．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）已知的三边长，，满足，试判断的形状． （2）已知，，是的三边长，且满足，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的乘除与因式分解 全章复习 （3个考点梳理+13种题型解读） 考点一 整式的乘除 整式的乘法 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【考试题型1】整式乘法的混合运算 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可； （2）根据多项式乘以多项式化简即可； 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，掌握相关法则和公式是解题的关键． 2．（22-23七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式计算即可． （2）利用整式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题考查整式的乘法，和完全平方公式的计算，熟练地掌握整式乘法的运算法则是解题的关键． 3．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】（1）先分别计算负整数次幂、乘方、零次幂，再进行加减运算； （2）利用平方差公式计算； （3）先计算多项式的乘法，再合并同类项； （4）按照多项式乘多项式法则计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式、有理数的乘方运算、零次幂等，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算． 【考试题型2】利用整式乘法求字母或代数式的值 4．（22-23七年级·上海·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 5．（20-21八年级上·全国·课后作业）有理数x，y满足条件，求代数式的值． 【答案】192 【分析】由非负数的性质，得到方程组，然后求出x、y的值，即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ． 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，绝对值的非负性，解题的关键是由非负性求出x、y的值，从而进行解题． 6．（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了乘法公式，单项式乘多形式，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．先根据乘法公式，单项式乘多形式的运算法则计算，再合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 将，代入， 原式． 【考试题型3】已知多项式乘积不含某项求字母的值 7．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习） 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含项，且的系数为2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再利用关于x的多项式与的乘积的展开式中不含项，且的系数为2建立方程，即可求解． 【详解】解： ∵展开式中不含项，且的系数为2 ∴，，解得， ∴． 8．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若的积中不含项与项， (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)33 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含项与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解： ， 积中不含项与项， ， ． （2）解：由（1）知：，， ∴原式． 【考试题型4】整式乘法的错看/错解问题 9．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到，，解关于的方程组即可求出a、b的值； （2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为，得到的结果为， 那么， 可得 乙抄错为，得到的结果为， 可知 可得， 解关于的方程组，可得，； （2）正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键． 10．（22-23七年级下·全国·假期作业）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为， ， ∵的计算结果不含一次项， ∴， ∴， ∴被遮住的一次项系数是2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法和除法以、因式分级以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是关键． （1）按题意将除法运算改成乘法，计算，将乘积与对应系数相等，即可求出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可； （3）先将提公因式，再将，代入即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）由题意，得 ， 故答案为：； （3） ∴原式． 12．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，请求出正确的运算结果． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，多项式乘单项式； 首先根据题意求出原多项式，再根据多项式乘单项式的运算法则进行计算． 【详解】解：∵算成了加上，得到的结果是， ∴原多项式为， ∴． 【考试题型5】多项式乘多项式与图形面积 13．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，某校有一块长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形草坪，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． (1)用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； (2)若，，硬化成本为每平方米50元，则完成硬化共需多少钱 【答案】(1) (2)7000元 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）用长方形的面积减去中间正方形的面积，得出结果即可； （2）根据，，求出活动场地的面积，然后再求出硬化需要的费用即可． 【详解】（1）解：由图得，阴影面积为： ； （2）解：把，代入得：（平方米）， 即阴影部分的面积为平方米， 完成硬化共需要的费用为： （元）， 答：完成硬化共需元钱． 14．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： 请你解答下面的问题： (1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ； (2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你分析这个长方形的长和宽． 【答案】(1)； (2)图形见解析，长方形的长为，宽为． 【分析】（1）本题考查多项式乘法的几何形式，根据图形，利用直接求和间接求两种方法，列出等式即可； （2）本题考查考查了因式分解的应用，根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出长方形的长和宽即可． 【详解】（1）解：由图知，； 故答案为：． （2）解：， 由图知，长方形的长为，宽为． 15．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的三种纸片：边长为a的小正方形（A类），长为、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的正方形（C类）． 用图1中的A类纸片2张，B类纸片3张、C类纸片1张可以拼出图2所示的长方形．根据长方形的面积，可以用来解释整式乘法：，也可以解释因式分解：    (1)如果要拼成一个长为（），宽为的大长方形，则需要B类纸片 张，C类纸片 张； (2)若用4张B类纸片围成图3所示的图形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，则下列等式中：①；②；③；④；⑤，正确的有 ；（写出所有正确结论的序号） (3)如果取若干张纸片（三种都要取）拼成一个长方形，使其面积为，请在虚框中画出图形，并根据所画图形将多项式分解因式； (4)如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求m的值． 【答案】(1)4，3； (2)①③④⑤； (3)图见详解，； (4)或或． 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系： （1）根据长方形的长和宽求出面积即可得到答案； （2）根据图形表示出两个正方形边长与，的关系，，结合面积加减计算即可得到答案； （3）根据整式得到两个大正方形，两个小正方形，五个长方形组合即可得到答案； （4）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴需要，一个A类图形，4个B类图形，3个C类图形， 故答案为：4，3； （2）解：由图形可得， ，，故①正确， ∴，， ，故②错误，④⑤正确， 由图形可得，， ∴，故③正确， 故答案为：①③④⑤； （3）解：由题意可得，图形如图所示，    ∴； （4）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，， 故答案为：或或． 考点二 乘法公式 平方差公式的几何背景 1）意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2）通过面积法推导完全平方公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 3）常见验证平方差公式的几何图形 完全平方公式的几何背景 1）意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2）通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 【考试题型6】利用乘法公式化简求值 16．（20-21九年级下·湖南长沙·开学考试）先化简，再求值:，其中． 【答案】，8． 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 先利用平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则进行化简，再代入求值． 【详解】解： = =， 当时，原式=． 17．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）先化简，再求值：其中．． 【答案】， 【分析】题目主要考查整式的乘法运算及化简求值，利用平方差公式及整式的乘法先化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式，然后再合并同类项，代入数值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考试题型7】乘法公式与几何图形 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______ (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：∵图1和图2中的阴影部分面积相等， ∴以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3）解： ． 20．（22-23七年级下·广东茂名·期末）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：___________，___________；（只需表示，不必化简）； (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？___________； (3)试利用这个公式计算： ①； ②； ③． 【答案】(1)， (2) (3)①；②；③1 【分析】（1）图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积；图②中阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，据此求解即可； （2）根据图①和图②中阴影部分面积相等即可得到答案； （3）①等式前面乘以，利用平方差公式求解即可； ②等式前面乘以，利用平方差公式求解即可； ③把原式变形为利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵图①和图②中阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：； （3）解：①原式， ， ， ②原式 ． ③原式 ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟知平方差公式是解题的关键． 21．（22-23七年级下·浙江金华·期中）已知图甲是一个长为，宽为的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形 (1)请用两种不同的方法，求图乙中阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示，不用化简） 、 ； (2)观察图乙，并结合（1）中的结论，，之间的相等关系式是 ； (3)根据（2）中的等量关系解决如下问题：当，时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)16 【分析】本题考查列代数式，完全平方公式的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由正方形面积公式直接求出阴影部分面积：；利用大正方形面积减去四个长方形面积：； （2）根据图中阴影部分的面积不变列等式即可； （3）根据（2）所求式子求解即可． 【详解】（1）解：方法①：直接利用正方形面积公式求阴影部分面积：， 方法②：利用大正方形面积减去四个长方形面积：． 故答案为：，； （2）解：因为图中阴影部分的面积不变，所以， 故答案为：； （3）解：由（2）得：， ∵，， ∴． 22．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）在学习《整式乘法与因式分解》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式．从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法． (1)如图1，边长为a的正方形纸片，在其右边和下边同时剪去宽为b的长方形，计算剩余纸片（图中阴影部分）的面积，可得等式：________； (2)两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简； (3)利用（2）中的结论计算：在直角三角形中，一条直角边的长为6，斜边的长为10，求另一直角边b的长度； (4)如图3，在直角三角形中，，，垂足为D．且，．求的长． 【答案】(1) (2)这个图形的面积是；化简为 (3) (4) 【分析】（1）用两种不同方式计算阴影部分面积即可求解； （2）用三个直角三角形可得面积，直接利用梯形可得面积，由此可得等式，化简即可； （3）直接利用（2）中等式，代入求解即可； （4）利用（2）中等式，再结合等面积法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得阴影部分面积为：， 阴影部分面积为：， ∴， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， ∴； （3）由（2）得，得：， 即：， 解得：； （4）由（2）得， ∴ ∴ ∵： ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 【考试题型8】通过对乘法公式变形求值 23．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形． （1）利用完全平方公式得到，进一步计算即可求解； （2）利用完全平方公式求得，进一步计算即可求解； （3）解方程组或，求得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，又， ∴或， 解得或， ∴当时，； 当时，； ∴． 24．（23-24八年级上·四川巴中·期末）已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴ 25．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 小亮同学把图①长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分为四个小长方形，然后拼成了如图②所示的正方形． 小亮进一步发现图②里面的小正方形的面积可以用两种方法去求，请写出小亮的两种方法所得的结果（结果用含m，n的代数式表示） 方法一： ；方法二： ； 【提出问题】 、之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】（完成下列填空） 分析一：因为上述两种方法都是求同一个正方形的面积，所以这两个面积的结果一定相等． 分析二：因为是两个数m与n和的完全平方，所①， 因为是两个数m与n差的完全平方，所以②， 由得 ； 类似的，由可得 ． 【解决问题】 （1）若，则 ；（直接写出结果） （2）已知，求与的值． 【答案】发现问题：，； 提出问题：； 分析问题：； ； 解决问题：（1）；（2）4， 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式，解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值． 发现问题：观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积； 提出问题：利用“发现问题”中的结论进行计算可得； 分析问题：利用前面的结论计算可得； 解决问题：根据前面的结论代入计算即可． 【详解】发现问题： 方法一：图2中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积， 故答案为： ； 方法二：图2中的阴影部分的正方形的边长等于，故阴影部分面积为； 故答案为：     （方法一和方法二可以调换） 提出问题： ； 故答案为：； 分析问题： 得．    可得． 故答案为：，； 解决问题： （1）由可得， ， ， ， 则， 故答案为：； （2）解：把，两个等式左右两边相减得∶ ； ∵变形得 把代入中，得 ∴ 故答案为：4，17． 26．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题： 已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ． ， ， ，， ． 【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 化简，得：， 将代入得， 解得：． （2）， ， 化简，得， 即， 则 【考试题型9】利用配方法求最值 27．（23-24九年级上·河南南阳·期中）〖我阅读〗阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4． 〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答． (1)直接写出代数式的最小值． (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1) (2)代数式有最大值，最大值为32 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 由，得：； ∴代数式的最小值是； （2）∵， 又∵， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为32． 28．（23-24八年级上·四川眉山·期中）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1、分解因式： 例2、求代数式的最小值： 又∵ ∴当时，代数式有最小值，最小值是． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)代数式有最 （大、小）值，当x＝ 时，最值是 ； (3)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)大，2，2 (3)当时，这个多项式有最小值，最小值为8 【分析】本题考查了因式分解、求最值，完全平方公式，平方差公式的运用． （1）利用完全平方公式计算因式分解可得； （2）利用完全平方公式可得代数式有最大值还是最小值，当x为何值时，最值等于多少；（3）利用完全平方公式，对多项式进行因式分解，再求出最小值是多少． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴有最大值，当时，有最大值2； （3）解： ∵ ∴当时，这个多项式有最小值，最小值为8． 29．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 【答案】(1) (2)当时，p的最大值为6 (3)是等边三角形，理由见解析 (4)3 【分析】（1）根据材料步骤配方即可； （2）先配方成顶点式即可解题； （3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题； （4）先配方成几个平方的和的形式，整体代入即可解题． 【详解】（1） （2）∵ ∴当时，p的最大值为6 （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形 （4）∵，， ∴，， 原式 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键． 考点三 因式分解 因式分解的一般步骤： 【考试题型9】选用合适的方法分解因式 30．（23-24八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提公因式法因式分解即可； （4）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 31．（23-24八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)； (9)． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【小题4】 【小题5】 【小题6】 【小题7】 【小题8】 【小题9】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． （1）先提取公因式再利用公式法分解因式即可； （2）直接利用公式法分解因式即可； （3）直接找出各式的公因式进而提取公因式分解因式即可； （4）直接找出各式的公因式进而提取公因式分解因式即可； （5）直接利用公式法分解因式即可； （6）直接利用公式法分解因式即可； （7）直接利用公式法分解因式即可； （8）直接利用公式法分解因式即可； （9）直接利用公式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【考试题型10】已知因式分解的结果求参数 32．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为，利用多项式乘法得到，进而得到，求出，则，． 【详解】解：为的一个因式， 可设另一个因式为 ∴ ， ， ∴，． 33．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 【考试题型11】利用特殊方法分解因式 34．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把分解因式． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．运用十字相乘法进行分解因式，即可． 【详解】解：． 35．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． (1)根据材料 ，把分解因式． (2)结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了因式分解．掌握十字相乘法和完全平方公式进行因式分解是解题的关键． （1）根据进行解答即可； （2）①将看成一个整体，令，分解因式，然后再还原即可；②令，原式可变为，即，进行因式分解可得，代换后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）①解：令， 原式 ∴； ②解：令， 原式 ∴原式 ， ∴． 36．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)已知等腰三角形的三边均为整数，且，求等腰三角形的三边长． 【答案】(1) (2)等腰三角形的三边长分别为2，2，1 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， （1）前两项符合平方差公式，后两项提公因式，然后再提公因式分解因式即可； （2）将所给等式左边分解因式得，继而可求解，或，或，或，由三角形的三边关系及等腰三角形的性质即可求解； 熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，或，或，或， 即，或，或，或， ∵是等腰三角形的三条边， ∴， ∴， ∵a，b，c均为正整数， ∴或2或3， 当或3时，均不构成三角形， ∴， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，1 37．（21-22八年级下·河南郑州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，并且的三边长是a，b，c，且c为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)16或18或20 【分析】（1）根据题干中提供的方法进行解答即可； （2）根据，得出，求出，，根据三角形三边关系得出，根据c为奇数，求出，7，9，然后分别求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c为奇数， ∴，7，9， 当，，时，的周长是：， 当，，时，的周长是：， 当，，时，的周长是：． ∴的周长为16或18或20． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式． 【考试题型12】因式分解在有理数简算中的应用 38．（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）利用乘法公式计算：． 【答案】100 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 39．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用平方差公式进行求解即可； （2）原式根据完全平方公式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 41．（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1； 【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算． 【考试题型13】因式分解的应用 42．（23-24八年级上·全国·课堂例题）图中1，2，3号卡片各若干张，如果1号、2号、3号卡片分别选取1张、2张、3张，请通过拼图把分解因式，并画出图形（画出一个即可）． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的面积与恒等式．根据大长方形的面积有两种表示方法，即可求解． 【详解】解：如图所示． 大长方形的面积有两种表示方法．一是； 二是． 所以． 43．（22-23八年级下·全国·假期作业）（1）求证：当n为正整数时，能被8整除； （2）已知a，b，c是的三边长，试说明的值一定是负数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）证明：∵， ∴当n为正整数时，原式能被8整除． （2） ． ∵a，b，c是的三边长， ∴，，，， ∴， ∴原式的值一定是负数． 44．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）已知的三边长，，满足，试判断的形状． （2）已知，，是的三边长，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）是等边三角形；（2） 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系等知识． （1）首先将其化成两个平方形式与绝对值形式的和，然后根据非负数的性质求出，，的值，最后进行判断； （2）根据题意，首先求出和的值，然后根据三角形三边关系求的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$