清单01 平面图形的认识（二）全章复习（2个考点梳理+12种题型解读）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

清单01 平面图形的认识（二） 全章复习 （2个考点梳理+12种题型解读） 考点一 平行线的性质与判定 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.. 平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合. 平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【易错易混】 1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 【考试题型1】三线八角模型 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（     ）    A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是同位角 D．和是内错角 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法不正确的是（　　） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【考试题型2】补充过程证明两直线平行 3．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数． 将该题解题过程补充完整： 解：（    ） ____________ 平分（已知） ____________ （已知） （      ） （      ） ______ 4．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，．将下列推理过程补充完整： (1)因为（已知）， 所以_____ （_______________）． (2)因为（已知）， 所以____________（内错角相等，两直线平行）． (3)因为（已知）， 所以__________（_________________）． 5．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：平分， （___________） 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． ___________（___________）． 【考试题型3】证明两直线平行 6．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）证明题 (1)已知直线a，b，c，d，e，且，．请证明a与c平行． (2)已知直线与相交于点D，且．请证明：直线与平行．（本题可用多种方法，选择一种即可） 7．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，，于点A，平分． (1)证明； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 8．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇用6块相同的三角尺（注：在三角尺中，，，）拼接成一个如图所示的图形． (1)请你帮她找出图中的各组平行线． (2)选择（1）中的一组平行线，进行证明． 【考试题型4】利用平行线的性质求角度 9．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线上，则的和是多少度？并证明你的结论． 10．（22-23七年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，点D是上一点，点E是三角形外一点，且，点F为线段上一点，连接，且．    (1)请判断与的位置关系，并证明； (2)若，求的度数； (3)若，，求的度数． 11．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，已知，，．求出的度数． （2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，是长方形，，是延长线上一点，是上一点，并且，请证明 【考试题型5】利用平行线的性质解决实际生活问题 12．（20-21七年级下·河南三门峡·期中）2018年9月，习近平总书记在全国教育大会上提出“要树立健康第一的教育理念，开齐开足体育课，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，依据《国家学生体质健康标准》“使每个学生掌握至少两项终身受益的体育锻炼项目”的目标要求，我市某学校增设了篮球项目的教学，如图①，为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状志时，篮球架的横梁平行于，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角度为，且，这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．在调整的高度时，为使和平行，需要改变和的度数，如图②，调整使其上升到的位置，此时，与平行，，并且点，，在同一直线上，请你帮忙求出的大小． 13．（19-20七年级下·云南昆明·期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．    14．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期中）“千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：　　　，　　　． (2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数． 【考试题型6】平行线之间的距离 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 17．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 考点二 三角形的概念及性质 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【考试题型7】与三角形高、中线、角平分线有关的计算题 18．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，直线，与分别相交于点，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，求点到直线的距离． 19．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，于平分, (1)若，且，求的度数； (2)若，的面积为2，，求点E到边的距离． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 21．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为偶数，求的长和的长． 22．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【考试题型8】利用三角形的三边关系确定第三边长或取值范围 23．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）在中，． (1)求第三边长的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，求的长； (3)若是等腰三角形，求其周长． 25．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是边上的中线，是上一点，交于， (1)若，，求的值. (2)若，，求的取值范围. 【考试题型9】利用三角形的三边关系求等腰三角形的周长 26．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：等腰三角形的三边长分别为，，，求这个三角形的底边长． 27．（2024七年级下·全国·专题练习）已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【考试题型10】与平行线、角平分线有关的三角形内角和问题 28．（23-24七年级下·江西抚州·期中）在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 29．（23-24七年级下·河北廊坊·期中） 【阅读材料】 光的反射定律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内； 反射光线、入射光线分别位于法线两侧； 反射角等于入射角．    【问题解决】 数学兴趣小组的同学利用光的反射定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图．如图，、是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，，求证：； 【尝试探究】 如图2，改变两平面镜、的位置，使点、重合．若平面镜与的夹角，经过两次反射后，，，反射光线与入射光线平行但方向相反，求．    30．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线与直线平行，、是直线上的点，、是直线上的点，且． (1)如图1，为的角平分线，交于点，连接，猜测、，之间的等量关系并给出证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点．若，且，请直接写出的度数． 31．（22-23七年级下·广西河池·阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    【考试题型11】与三角板有关的三角形内角和问题 32．（23-24七年级下·山东泰安·期中）将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点E落在边上，且．求的度数． 33．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 34．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【考试题型12】利用三角形内角和定理、外角和性质综合 35．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）； 【拓展提升】 （4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 36．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 37．（2024七年级下·全国·专题练习）【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． （1）若，，则　　度，　　度． （2）若，求的度数． 【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 平面图形的认识（二） 全章复习 （2个考点梳理+12种题型解读） 考点一 平行线的性质与判定 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.. 平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合. 平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【易错易混】 1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 【考试题型1】三线八角模型 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（     ）    A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是同位角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．根据同位角，同旁内角以及内错角的定义进行判断． 【详解】解：A．和是内位角，选项说法错误，符合题意； B．和是同旁内角，正确，不符合题意； C．和是同位角，正确，不符合题意； D．和是内错角，正确，不符合题意． 故选A． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法不正确的是（　　） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．根据同位角、内错角、同旁内角的定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同位角，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是内错角，故本选项不符合题意； D、与不是同位角，故本选项符合题意； 故选：D． 【考试题型2】补充过程证明两直线平行 3．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数． 将该题解题过程补充完整： 解：（    ） ____________ 平分（已知） ____________ （已知） （      ） （      ） ______ 【答案】平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130 【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，根据平行线的判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可． 【详解】解：（ 平角的定义） ， 平分（已知） ， （已知） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130 4．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，．将下列推理过程补充完整： (1)因为（已知）， 所以_____ （_______________）． (2)因为（已知）， 所以____________（内错角相等，两直线平行）． (3)因为（已知）， 所以__________（_________________）． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)； (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定方法．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． （1）根据同位角相等两直线平行作答； （2）根据内错角相等两直线平行作答； （3）根据同旁内角互补两直线平行作答． 【详解】（1）证明：因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）； （2）证明：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）； （3）证明：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 5．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：平分， （___________） 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． ___________（___________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及角平分线的定义，由角平分线的定义可得出，结合已知条件即可得出，从而可证明． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， （角的平分线的定义）． （等式性质）． 即． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，角平分线的定义，等式性质，，等量代换，，同旁内角互补，两直线平行． 【考试题型3】证明两直线平行 6．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）证明题 (1)已知直线a，b，c，d，e，且，．请证明a与c平行． (2)已知直线与相交于点D，且．请证明：直线与平行．（本题可用多种方法，选择一种即可） 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键； （1）先证明，，再利用平行公理的含义可得结论； （2）先证明，再利用平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； 7．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，，于点A，平分． (1)证明； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用推出； （2）由，结合角平分线求出，即可得到． 【详解】（1）解：， ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇用6块相同的三角尺（注：在三角尺中，，，）拼接成一个如图所示的图形． (1)请你帮她找出图中的各组平行线． (2)选择（1）中的一组平行线，进行证明． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）直接写出平行线即可解题； （2）选取一组平行线根据证明同旁内角互补，两直线平行解题即可． 【详解】（1）解：平行线为，，． （2）我选择． 证明：∵， ∴点，，在同一条直线上． ∵， ∴点，，在同一条直线上． ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【考试题型4】利用平行线的性质求角度 9．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线上，则的和是多少度？并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质．先过点B作，由直线，可得，由两直线平行，内错角相等，可得出，故，由此即可得出结论． 【详解】解：的和是． 如图，过点B作， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（22-23七年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，点D是上一点，点E是三角形外一点，且，点F为线段上一点，连接，且．    (1)请判断与的位置关系，并证明； (2)若，求的度数； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，利用平行线的判定，内错角相等两直线平行即可证明； （2）由（1）中，利用平行线的性质，两直线平行同旁内角互补解决问题即可； （3）首先求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 证明如下： ，， ， ； （2）解：， ， ． （3）解：设，则，， ， ， ，解得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 11．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，已知，，．求出的度数． （2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，是长方形，，是延长线上一点，是上一点，并且，请证明 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的利用平行线的等腰三角形的性质进行角的转化是解本题的关键； （1）设为，可得，，再利用平行线的性质建立方程求解即可； （2）证明，，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】 解：（1）设为， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， ， （2）在中，， ， ， ， ， ， ， ． 【考试题型5】利用平行线的性质解决实际生活问题 12．（20-21七年级下·河南三门峡·期中）2018年9月，习近平总书记在全国教育大会上提出“要树立健康第一的教育理念，开齐开足体育课，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，依据《国家学生体质健康标准》“使每个学生掌握至少两项终身受益的体育锻炼项目”的目标要求，我市某学校增设了篮球项目的教学，如图①，为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状志时，篮球架的横梁平行于，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角度为，且，这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．在调整的高度时，为使和平行，需要改变和的度数，如图②，调整使其上升到的位置，此时，与平行，，并且点，，在同一直线上，请你帮忙求出的大小． 【答案】 【分析】过D作DI∥EF，根据平行线的性质、对顶角性质可以得到解答． 【详解】如图，过点作． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键 ．　 13．（19-20七年级下·云南昆明·期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．    【答案】∠E＝30°． 【分析】直接利用平行线的性质得出∠EAB＝∠EFC＝80°，进而利用三角形的外角得出答案； 【详解】如图所示：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD，∠EAB＝80°， ∴∠EAB＝∠EFC＝80°， ∵∠ECD＝∠E+∠EFC， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EFC， ∵∠ECD＝110° ∴∠E＝110°﹣80°＝30°．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确利用外角性质是解题的关键． 14．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）过点作，得出，进而根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点作,根据平行线的性质可得 ，进而得出； （3）过点作得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）过点作， ∵， ∴， ∵ ， ， （2） 理由如下: 如图所示, 过点作, ， 即 ； （3）如图所示，过点作 与桌面 垂直． ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 故答案为：． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期中）“千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：　　　，　　　． (2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数． 【答案】(1)， (2)秒，秒 (3)， 【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图，   ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值， 此时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【考试题型6】平行线之间的距离 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析 【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积， 【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论； （2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论； 【深入思考】根据问题思考的结论即可得证； 【推广探究】根据问题思考的结论即可得证； 理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键． 【问题思考】解：（1）∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴和同底同高， ∴， 故答案为：； 【深入思考】证明：∵， ∴（由问题2的结论得） ∴， 即， ∵是的中点， ∴（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积； 【推广探究】证明：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴直线平分四边形的面积， 则直线即为所求直线． 17．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 考点二 三角形的概念及性质 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【考试题型7】与三角形高、中线、角平分线有关的计算题 18．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，直线，与分别相交于点，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到； （2）过作于，依据，即可求出． 【详解】（1）解：∵直线， ， 又， ； （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离． ， ， ∴点到直线的距离为． 19．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，于平分, (1)若，且，求的度数； (2)若，的面积为2，，求点E到边的距离． 【答案】(1) (2)点E到边的距离为4 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据等边对等角以及三角形内角和得到，结合已知可求出，利用即可求出结果； （2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，根据角平分线性质即可求出最后结果． 【详解】（1）解：平分， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点M，于点N， ，， 即， ， ， ， ， ，，平分， ， 点E到边的距离为4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，三角形内角和定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 21．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为偶数，求的长和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积计算，构成三角形的条件，先由三角形中线平分三角形面积得到，进而根据三角形面积计算公式得到，再由构成三角形的条件求出的长即可． 【详解】解：∵在中，是中线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长为偶数且， ∴． 22．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答． （2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【考试题型8】利用三角形的三边关系确定第三边长或取值范围 23．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)的周长为11或13 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）在中，． (1)求第三边长的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，求的长； (3)若是等腰三角形，求其周长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义： （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据（1）所求进行求解即可； （3）根据等腰三角形的定义结合（1）所求得到，再根据三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴，即； （2）解：∵且第三边的长是偶数 ∴第三边的长为或； （3）解；∵， ∴只能是， ∴的周长为． 25．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是边上的中线，是上一点，交于， (1)若，，求的值. (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、三角形三边关系的应用，根据三角形的中线求三角形面积，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先求出，，再根据即可求出结果； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据三边关系得出，即可求出． 【详解】（1）解：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：延长，取，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考试题型9】利用三角形的三边关系求等腰三角形的周长 26．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：等腰三角形的三边长分别为，，，求这个三角形的底边长． 【答案】4或； 【分析】 本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，根据题意，分三边各做底边讨论求解即可得到答案； 【详解】解：①当是底边时， ， 解得：， ∴，， 此时三边为：7，7，，， 满足三边关系，故底边为：， ②当是底边时， ， 解得：， ∴，， 此时三边为：1，1，4，， 不满足三边关系，此类情况不存在， ③当是底边时， ， 解得：， ∴，， 此时三边为：，，4，， 满足三边关系，故底边为：4， 综上所述：底边为4或． 27．（2024七年级下·全国·专题练习）已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【答案】(1)，， (2)，． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用. （1）设底边，则，根据三角形的周长是，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出答案． （2）设，，根据中线将的周长分为两部分，得出两部分的长度，然后列出关于a，b的二元一次方程并求解，然后分2种情况讨论，并根据三角形的三边关系得出正确的答案． 【详解】（1）解：如下图： 设底边，则， ∵三角形的周长是， ∴， ∴，， 答：等腰三角形的三边长是，，． （2）如下图： 设，， ∵中线将的周长分为两部分，，， ∴，或，， 解得：，或，， 当，时， ∴三角形三边长是，，， 因为，不符合三角形三边关系定理， ∴此种情况舍去， 当，，时， 三角形的三边长是，，， 符合三角形的三边关系定理， 综合上述：符合条件的三角形三边长是，，， 答：等腰三角形的边长是，．． 【考试题型10】与平行线、角平分线有关的三角形内角和问题 28．（23-24七年级下·江西抚州·期中）在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 【答案】（1）；；相等；互补；（2）；（3）或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键． （1）利用平行线的性质可得答案； （2）证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案； （3）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，∵，， ∴，， 则； 如图2，∵，， ∴，， 则， 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补， 故答案为：；；相等；互补； 应用结论 （2）∵ ，， ∴， ∵， 由（1）的结论可得：， ∵， ∴ ． （3）过B作， ∵ ， ∴， ∵ 同理可得：， ∴， ∵， 同理可得：， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵中有两个相等的角， 当时，则， ∴； 当时，则， 当时，． 综上所述，的度数为或或． 29．（23-24七年级下·河北廊坊·期中） 【阅读材料】 光的反射定律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内； 反射光线、入射光线分别位于法线两侧； 反射角等于入射角．    【问题解决】 数学兴趣小组的同学利用光的反射定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图．如图，、是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，，求证：； 【尝试探究】 如图2，改变两平面镜、的位置，使点、重合．若平面镜与的夹角，经过两次反射后，，，反射光线与入射光线平行但方向相反，求．    【答案】问题解决：证明见解析：尝试探究： 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． 问题解决：由平行线的性质，得到，进而得出，再根据平角的定义，得出，即可证明平行； 尝试探究：由平行的性质，得到，进而得到，再结合，，得出，最后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】问题解决：证明：， ， ， ， ，， ， ； 尝试探究：解：， ， ，， ， ，， ， ， ， 30．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线与直线平行，、是直线上的点，、是直线上的点，且． (1)如图1，为的角平分线，交于点，连接，猜测、，之间的等量关系并给出证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点．若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线，三角形的内角和，三角形的外角，二元一次方程等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角，二元一次方程组的运用，即可． （1）根据平行线的性质，，，根据，等量代换，则，根据角平分线的性质，则，根据三角形的内角和，则，求得，根据三角形的内角和，则，求得，等量代换，即可； （2）根据题意，设，；设，；根据三角形内角和，求得，根据（1）得，，三角形内角和，求得；根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，等量代换，则，根据三角形的内角和，求得，联立，解得：，再根据，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴设，， ∵， ∴设，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平方， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平方， ∴， 在中，， ∴， ∴， 联立 ∴， 解得：， ∴． 31．（22-23七年级下·广西河池·阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    【答案】（1）；（2）①；②， 【分析】（1）如图1，过点E作．根据两直线平行，内错角相等即可作答． （2）①如图2，根据平行线的性质，由，得．根据三角形外角的性质，即可作答．②如图3，根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠1＝∠2．根据角平分线的定义，得∠EAB＝∠1＝ ，∠2＝∠3，那么∠3＝∠EAB＝．根据三角形内角和定理，得∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°，进而求得α＝25°，β＝55°． 【详解】解：（1）如图1，过点E作．    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）①∵， ∴． 又∵，， ∴． ②如图3，    ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∵平分于， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理是解决本题的关键． 【考试题型11】与三角板有关的三角形内角和问题 32．（23-24七年级下·山东泰安·期中）将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点E落在边上，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先求解，，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，， ，， ， ， ， ． 33．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；，（答案不唯一）； (2)； (3)①；②10或40． 【分析】（1）由三角板的性质可得出，由三角板的度数求解即可． （2）由图可知，结合已知条件可求出． （3）①设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； ②分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：， 例如：，， 故答案为：；，（答案不唯一） （2）由图可知：， ∴， 由∵， ∴， ∴ （3）①如图，， 设直线与，分别交于P，Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：；      综上：所有满足条件的t的值为10或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 34．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）①根据平行线的性质得到，进而求出，由此即可得到答案； ②根据三角形内角和定理得到，则； （2）如图，过点D作射线．根据三角形外角的性质，可得，，由此即可证明； （3）①利用（2）的结论可知，由角平分线的定义得到，则； ②设，，则，，根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图3，过点D作射线． 根据三角形外角的性质，可得，， 又∵，， ∴； （3）①如图4，由（2）可得， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∵， ∴； ③如图5，设，，则，， ∵， ∴，， 解得， ∴， 即的度数为． 【考试题型12】利用三角形内角和定理、外角和性质综合 35．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）； 【拓展提升】 （4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）F在E左侧；F在中间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ． （2） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ． （3）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． （4）当点在点左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ， ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得 ，， ， ， 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得 ，， ， ， 综上所述，F在E左侧；F在中间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 36．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即，证明，可得． 【详解】解：（1）结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即 ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 37．（2024七年级下·全国·专题练习）【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． （1）若，，则　　度，　　度． （2）若，求的度数． 【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）30，125；（2）；拓展： 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 探究：（1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到的度数，依据三角形内角和定理，即可得到的度数； （2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到的度数； 拓展：根据和的平分线交于点，可得，，再根据进行计算，即可得到的度数． 【详解】探究：（1），平分， ， 又， ； ，平分， ， 中，； 故答案为：30，125； （2）平分，平分， ，． ， ． ， ，． ． ， ． 拓展：和的平分线交于点， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司57 学科网（北京）股份有限公司 $$