决胜2024年中考数学解答题：二次函数与实际问题6大考点汇总与跟踪训练

决胜2024年中考解答题：二次函数与实际问题6大考点汇总与跟踪训练 6大考点汇总 考点1：图形问题 考点2：图形运动问题 考点3：拱桥问题 考点4：销售问题 考点5：投球问题 考点6：喷水问题 6大考点跟踪训练 考点1：图形问题 1．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 2．在锐角中，，，矩形的两个顶点，分别在，上，另两个顶点，均在BC上，高交于点，设的长为，矩形的面积为． (1)求的长，并用含的式子表示线段的长； (2)请求出关于的函数解析式； (3)试求的最大值． 3．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点，点B在第一象限，点P在边（点P不与点O，A重合），过点P作，交的直角边于点Q，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段，点P的对应点为M，连接． (1)如图①，若点M落在上，点B的坐标是 　　，点M的坐标是 　　； (2)设与重合部分面积为S，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可） 考点2：图形运动问题 5．如图，在正方形中，，动点P从点A出发，经过点B，向点C匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，向点C匀速运动，速度为．连接，，，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)当t为何值时，为等腰三角形？ (4)设的面积为S，求出S关于t的函数表达式，以及当t为何值时，S等于正方形面积的． 6．如图，在中，，，，是边上的中线．P，Q两点同时从点A出发，点P在上以的速度向终点C运动；点Q在上以的速度向终点B运动，以，为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为x（），平行四边形．与重叠部分图形的面积为．    (1)点P到的距离为________；（用含x的代数式表示） (2)当点E落在中线上时，求x的值； (3)当时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 7．如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)设的面积为，求S与t的函数关系式； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，． 8．在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，等边三角形的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，边与相交于点，边与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点3：拱桥问题 9．某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式； ②求出改造前大棚的最大高度； (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 10．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 11．根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 12．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． x/米 0 1 3 4 y/米    经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数．    (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为，宽为，露出水面高度为的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为多少米．    考点4：销售问题 13．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． (1)当时，P等于______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？ 14．某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件． (1)用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中x≥25； (2)已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 15．为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 16．我校锡绣公社将在月份举行社团作品义卖，出售一批由学校师生亲手制作的创意书签（平均制作成本为每枚元，定价为每枚元），并将筹集的善款捐给我校对口援建的青海省海东市学校．设第天（为正整数）的销售量为枚，与的函数关系如图所示．售卖窗口设置在学校南门对面的友谊书店，由于月份书店要增加人手，售卖书签的成本逐日上涨，第天小卖部从每枚书签中抽成为元． (1)求与的函数表达式． (2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出在第几天时当天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 考点5：投球问题 17．掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度y(单位：米)的数据如表： 水平距离x/m 0 4 5 6 10 竖直高度y/m 2.4 4.8 4.9 4.8 2.4 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10.5米时，即可得满分20分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 18．如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P 点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似的看成抛物线的一部分；队友小乐则在点 P 选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似的f满足一次函数关系 ．    (1)根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，已知球网 与y轴的水平距离( 且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？ 19．亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 20．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 考点6：喷水问题 21．如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ (3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 22．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． (1)写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． (2)若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 23．河南是农业大省，小麦又是我省主要作物，小麦大田灌溉已经从漫灌逐步改为更省水的喷灌，图是喷灌装置，水的轨迹可近似看作抛物线，图中，水到地面距离（）与水平距离（）满足函数关系，已知喷头到支撑钢架底部的距离为米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米．    (1)求抛物线的函数表达式和对称轴． (2)该喷灌装置的喷洒半径（水的落点到支撑钢架底部的距离）为多少米？水距地面的最大距离为多少米？ 24．图是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系，已知中间立柱顶端到水面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点，若水柱上升到最高点时，到水面的距离为，到中间立柱的距离为． (1)求图中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 2．(1)， (2)； (3)的最大值是． 【分析】（）利用三角形的面积计算公式求得高即可，证得，得出，进一步字母与数值得出答案即可； （）利用矩形的面积计算方法求得关于的函数解析式； （）利用二次函数的性质和配方法求得最大值即可， 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握对应高的比等于对应边的比的性质 是正确列出比例式解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）∵， ∴， ∴矩形的面积为； （3）， ∴当时，的最大值是． 3．(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 4．(1)； (2)①，t的取值范围为；② 【分析】（1）过点B作于点G，过点M作于点N，利用等腰直角三角形的性质得到，则点B坐标可求；设，则，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质求得线段，的长度即可得出结论； （2）①当时，由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，的长度，再利用解答即可； ②利用分类讨论的思想方法求得当时，S与t的函数解析式，并求出对应的极值，综合解答过程即可得出结论． 【详解】（1）解：过点B作于点G，过点M作于点N，如图， 是等腰直角三角形， ． 点， ， ， ， 设，则， ，， 为等腰直角三角形， ． ，， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ． ． 故答案为：； （2）①当时，如图， ， ． 由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ，． 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 用含t的式子表示，t的取值范围为． ②当时， 与重合部分面积为的面积， ， 当时，，当时，； 当时，， 当时，S的最大值为； 当时，如图， 与重合部分面积为的面积， 由题意：，为等腰直角三角形，， ， ， ， 当时，，当时，． 综上，当时，S的取值范围． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，点的坐标的意义，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键． 5．(1) (2) (3)当时，为等腰三角形 (4)；；当时， 【分析】（1）根据题意证明，利用相似三角形的性质建立等式求解，即可解题； （2）利用勾股定理分别表示出、、，再根据，利用勾股定理建立方程求解，即可解题； （3）由为等腰三角形，分以下三种情况讨论，①若，则，②若，则，③若，则，根据以上三种情况讨论分析，即可解题； （4）由动点P从点A出发，经过点B，向点C匀速运动，速度为；分以下情况讨论S关于t的函数表达式，以及当t为何值时，S等于正方形面积的，①当点P在上运动时，易知，根据求解即可，②当点P在上运动时，易知，根据求解即可． 【详解】（1）解：正方形中，， ， 由题知，，，， 通过可证， ，即，解得； （2）解：存在， 在中，由勾股定理得， 同理可得，， 若，则在中，由勾股定理得， 即， ，解得，（舍）； （3）解：易知点P在上运动时，可能为等腰三角形． ①若，则， 由（1）得， ，解得（舍），（舍）， ②若，则， 由（1）得， ，即， 解得，（舍）， ③若，则， 由（1）得， ，即， 解得（舍），（舍）， 综上，当时，为等腰三角形． （4）解：， ． ①当点P在上运动时，易知， ， ， 若，则，即， 解得，（舍）． ②当点P在上运动时，易知， ， ， 若，则，解得（舍）， 综上，当点P在上运动时，； 当点P在上运动时，； 当时，． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形性质和判定，二次函数的实际应用，解题的关键在于根据动点运动情况，以及几何图形性质，结合方程建立等式求解． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点P作于点H，利用解直角三角形求解即可； （2）画出图形，证明，是等边三角形，可得，再利用可得，，建立等式求解，即可解题； （3）根据当时及点的运动情况，分情况讨论：①当时；②当时；③当时；作出相应图形求解面积即可． 【详解】（1）解：过点P作于点H，如图1，    在中，， 点P到的距离为：； 故答案为：； （2）解：如图2，   ，， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ； （3）解：①当时， 重叠部分是平行四边形（如图1），此时； ②如图3中，当时， 重叠部分是五边形， ，， ， 由（2）同理可知，是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 由（1）同理可得，点J到的距离为：， 此时；    ③如图4中，当时， 重叠部分是四边形， 由（1）同理可得，点C到的距离为：， 点C到的距离为：， 此时；    综上所述，． 【点睛】本题考查点的运动，代数式表示式，解直角三角形，等边三角形的判定及性质，平行四边形的性质，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能够做出相对应的图形，结合图形进行求解． 7．(1) (2)当时， 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神； （1）为特殊角，过作，垂足为，则、、高（含30度角的直角三角形的性质和勾股定理）的长可用表示，与的函数关系式也可求； （2）由题目线段的长度可证得为等边三角形，进而得出四边形是矩形，由，得出比例式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过作，垂足为， 在中，，， ， 由，得 ； （2）解： ， 是等边三角形 ， 四边形是平行四边形 又， ， ， 解得 当时，． 8．(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据矩形的性质求得，进而过点作轴于点，根据等边三角形的性质得出，，，进而求得的坐标； （2）①由平移可得，则，根据得出函数关系，即可求解． ②分三种情况讨论，当，，时，分别结合图形列出函数关系式，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点，， ∴， ∴， ∵等边三角形的顶点，顶点在第二象限，则 过点作轴于点， ∴，， ∴ ∴ （2）①∵， ， ∴ ∵是等边三角形， ∴ 由平移可得 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∵与矩形重叠部分为五边形 ∴ 即 解得：， ∴ ②当时，如图所示，重叠面积为 时取得最小值为， 如图所示，当时，同①可得 重叠面积为 当时最小值为，当时，最大值为 由①可得当时， ∴当时，最大值为， 综上所述，当时， 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．(1)①；② (2)最大值是2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，一元一次函数的增减性，是解题的关键． （1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；②把得到函数的解析式配方，即可得到结论； （2）求出，设改造后抛物线解析式为，根据对称轴，得到，根据时，求出 ，得到．同理时，得到 ， 根据经费预算为40000元，得到，解得，根据随a的增大而减小，得到时， ． 【详解】（1）①设改造前的抛物线解析式为， 由题意可知，，，在抛物线上， ∴， 解得，， ∴． ②∵，，， ∴时， ． （2）中，当时，， ∴， 设改造后抛物线解析式为， ∵对称轴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵经费预算为40000元， ∴， 解得，， ∵， ∴随a的增大而减小， ∴时，最大，． 答：最大值是2米． 10．(1)解析式，自变量x的取值范围为： (2)能，说明见解析 (3)20米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ，， 自变量x的取值范围为：； （2）解：当时，， 能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆． （3）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则   ∴ ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 11．(1) (2)补光灯悬挂部分的长度应是 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据图象，利用待定系数法即可求解； （2）当时，得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为，点B的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）， 当时，， ， 补光灯悬挂部分的长度应是． 12．(1) (2) (3)C处距离桥墩的距离至少为米 【分析】（1）当时，其对应的函数值，就是的高度，计算即可； （2）选择两个点的坐标，代入解析式计算即可； （3）令，解答即可． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，当时，其对应的函数值是， 故的高度为， 故答案为：． （2）把、代入 得 解得， ∴． （3）令， 则， 解得（舍去）． 答：C处距离桥墩的距离至少为米． 13．(1)400； (2)当时，取最大值，最大值为8750元； (3)小红错误，理由见详解． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案； （3）根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是， 当时，， 故答案为：400． （2）解：由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ， 即，解得． 当时，取得最大值，此时， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元； （3）解：小强：， 设日销售额为元， ， 当时，值最大，此时， 当时，值最大，此时， 小强正确． 小红：当日销售利润不低于8000元时， 即， ，解得：， ， 当日销售利润不低于8000元时，． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，． 14．(1) (2)柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件列出对应的函数关系式即可； （2）设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元， 由题意得，，     ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为450，                  ∴柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元． 15．(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 16．(1)； (2)，在第30天时当天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确求出函数解析式是解题的关键． （）根据函数图象和利用待定系数法即可求出表达式； （）根据题意分和两种情况求出函数解析式即可，分别求出每个范围内的最值，比较后即可得到答案． 【详解】（1）当时，， 当时， 设，由图象可得： ， 解得：， ∴， 综上可知：； （2）当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， ∴当时，， 当时， 当时，解得 ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随着x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上可知，与的函数表达式为，在第30天时当天的销售利润最大，最大利润是元 17．(1)， (2)明明在此次考试中能得到满分，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据表格中的数据分析即可； （2）设抛物线的解析式为，再代入求出解析式，把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时， ， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2.4米， 由当时，； 当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是4.9米， 故答案为：，； （2）明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 由 (1)得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 把代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； 把代入 得 解得，(不符合题意，舍去)， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 18．(1) (2)选择吊球击球 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设该二次函数的表达式为 求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分别求出两种击球方式落地点与C点的距离，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点为， ∴设该二次函数的表达式为 ∵经过点 P， ∴令，得，即， 将代入 中，得 ∴二次函数的表达式为： （2）令 ，则：，解得， 令 ，则：，解得：得 (舍去)． ∵， ∴两种击球方式离点的距离为：，， ∵ ∴吊球的落地点离C点的距离更近，应选择吊球击球． 19．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； （3）解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 20．(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 21．(1) (2)米 (3)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； （2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，可得，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为： 二次函数经过原点， 解得： 该二次函数的解析式为：； （2）解： 当时， 答：护栏的最大高度为米． （3）解：点的坐标为，点的坐标为 设的解析式为 解得： 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 答：河水降至离路面距离米时，水柱刚好落在水面上． 22．(1) (2)①；对称轴为：；②， 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线L的解析式为经过点， ∴， 整理得：； （2）①∵着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ∴， ∴， 由（1）得， ∴抛物线的解析式为：， ∵水流恰好经过着火点A， ∴代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：； ②∵消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， ∴当抛物线经过点时， ，解得：； 当抛物线经过点时， ，解得：； 综上可得：， ∵，， ∴c随b的增大而增大， ∴当时，c取得最小值为， ∴c的最小值为． 23．(1)，对称轴：直线； (2)，水距地面最大距离为米． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （）利用二次函数的对称性及待定系数法即可求解； （）令中，，得，求解可得该喷灌装置的喷洒半径（米），把代入得，水距地面最大距离． 【详解】（1）解：∵喷头到支撑钢架底部的距离为米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米， ∴过，，， ∴，的对称轴为直线， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：令中，，得， 解得舍去或， ∴该喷灌装置的喷洒半径（米）， 把代入得， ， ∴水距地面最大距离为米． 24．(1) (2) 【分析】（）求出点的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把点坐标代入计算即可求解； （）利用（）中所得的二次函数解析式求出点坐标，得出的长，根据即可求解； 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴点的坐标为， 由题意可得顶点的坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，有， 解得，（不合，舍去）， ∴点坐标为， ∴，此时有 答：圆形水池的直径不能小于． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$