安徽省金榜教育2023-2024学年高一下学期5月阶段性大联考数学试题

姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 高一数学（人教版） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时问120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数z=-2023+2024i在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列命题正确的是 A.零向量小于单位向量 B.零向量与单位向量一定共线 C.两个向量的和的模至少大于其中一个向量的模 D.两个向量的差的模至少小于其中一个向量的模 3.下列说法正确的是 A.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台 B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C.圆台的所有母线延长不一定交于一点 D.一个多面体至少有3个面 4.若复数z满足3iz=3+i,则z·z= A号 B. D.9 5.已知a⊥b,|a=5,b=6,且4a+λb与2a-b垂直，则实数入的值为 50 A. B 50 9 C.士g D. 50 6.设m,n是两条不同的直线，，B是两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若ma,mB,则ag B.若m/∥a,n∥a,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥B,则a3 D.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n 高一数学试卷(RJ)第1页（共4页）】 扫描全能王创建 7.如图所示，△ABC中，AB=AC=16,BC=165,B币=B元，D成= D成，则B配.c应= 4 D A.-161 B.-232 C.-291 D.-300 8.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温。一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器 内有一定量的饮料。若在高脚杯内放人一个半径为6m的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰 球，则原来高脚杯内饮料的体积是 A.180mr cm3 B.270m cm2 C.360m cm? D.504T cm' 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知复数：，则下列结论正确的是 A.复数：对应复平面内的向量是单位向量 B.复数z的虚部等于i C.z+z=0 D.z与平面向量a=(0,1)对应 10.下列关于平面向量的运算中，错误的是 A.(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d) B.(a-b)·c=b·(a-c) C.(a·b)·c=b·(a·c) D.若a·b=a·c,则b=c 11.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AA1=2AB=2AD=2,点P为线段C,D上一动点，则下列说法正确的是 A.直线PB∥平面AB,D B.直线PB与AD1是异面直线 C四棱维P-ABD,的体积为定值号 D.直线PB与平面ABBA,所成角的正弦值的最大值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x+(2x+7y)i=1-5i,其中x,y∈R,i为虚数单位.则实数x= 13.已知平面向量a=(-4,2),b=(6,入)，若ab,则入= 14.如图，一块正三棱柱体形木料的上底面有一点P,经过点P在上底面上画一条B 直线与A,P垂直，写出作该直线的方法：」 高一数学试卷(RJ):第2页（共4页） 魔扫描全能王创建 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 复数z=a2-6a-7+(a2-4a-21)i,其中a∈R (1)若复数：为实数，求a的值： (2)若复数：为虚数，求a的取值范围： (3)若复数：为纯虚数，求a的值 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2√5 acsinB=a2-b2-c2 (1)求A: (2)若a=√万，且△ABC的周长为1+5+万，求△ABC的面积 17.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A,B1C,D,中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=2CD=8,∠BAD= 45°，点E是线段AB的中点 (1)求证：平面CC,E/平面ADD,A: (2)求证：BC⊥平面ADD,A 高一数学试卷(U)第3页（共4页） 魔细扫描全能王创建 18.(17分) 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E,F分别为BC,AC上的两点且=3A花，B成=AB心 (0≤A≤1)，AE,BF相交于点P. (1)求|B的值： (2)试问：当入为何值时，AE⊥BF? (3)求证：A花.B丽≥A店.E示 19.(17分) 如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线CF折起，记二面角A-FC-E的大小为(0<0<)， 连接AE,BD构成多面体AB-CDEF (1)求证：CF∥平面ABDE; (2)向当0为何值时，直线CF到平面ABDB的距离等于 (3)在(2)的条件下，求多面体AB-CDEF的表面积 高一数学试卷(RJ)第4页（共4页） 暖国缩 扫描全能王创建高一数学（人教版）参考答案 题号 5 6 6 9 10 11 答案B B A D A ACD BCD ACD 1,【解析】复数z=-2023+2024i在复平面内所对应的点的坐标为(-2023,2024)，位于第二象限.故选B. 2.【解析】零向量与单位向量不能比较大小，只能模比较大小，故A错误：零向量与任意非零向量共线， 故B正确：举反例：如：a=(4,0),b=(-3,0),则a+b=(1,0),a=4,b=3,a+b=1,但 a+b<4,a+b<b,故C错误：举反例：如：a=(4,0),b=(-3,0),则a-b=(7,0), a=4,b=3,a-=l,但la->a,a-b>b,故D错误故选B. 3.【解析】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台， 故A正确：对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误：对于C项，圆台的所有母线延长一定 交于一点，故C错误：对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误故选A 4【解折调为犯=3i所以：36-5-1则：-传-得-得--号 3i 3i2 -33 5.【解析】因为a⊥b,所以ab=0,因为4a+元b与2a-b垂直，所以(4a+2b(2a-b)=0,得 8a2+(22-4)ab-6=0,得200-362=0，解得元=50故选A 6.【解析】在A中，a,B还可能相交，故A错误：在B中，若m∥a,n∥a,则m与n相交、平行或异 面，故B错误：在C中，若m⊥a,m⊥B,则由线面垂直的性质定理得a∥B,故C正确：在D中，若 m⊥a,n⊥a,则由线面垂直的判定定理得m∥n,故D错误.故选C. 7【解折】由愿意：正=丽+正=丽+而=+(D-网列=丽+C-网号西+总C =西+c-例-+C, 16 16 =-C-而-C-丽-列-C-得c-厨C-c-厨-C c-例-c-2西C 在△ABC中，由余弦定理得cOS∠BAC 16+16-1651. 2×16×16 2 所以哑，正-（2+2c品-2c-%而+ac-24C 256 256 高一数学(RJ)答案第1页，共7页 =-63x16+118 39 ×162=-161故选A. 256 256 16×16× 2 256 8【解析】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，如图，作OD⊥AC, 垂足为D,则球的半径r=OD=6,此时OA=2r=12,OO'=r=6,水面半径 R=OC=18×tan30°=65，设加入冰球后水面以下的体积为V',原来水的体积为V,冰球的体积为， 所以水的体积为=r-片=写65x18-音x6=360m放选C 9【解折1由题意，复数：=士1=+4+-=，对于A项，复数z=i对应复平面内的向量 4-i(4-i)(4+i)17 是OZ=(0,1),是单位向量，故A正确：对于B项，复数z=i,所以复数z的虚部等于1，故B错误：对 于C项，z+z=i+(-i)=0,故C正确：对于D项，z与平面向量a=(0,I)对应，故D正确：故选ACD. 10.【解析】(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),故A正确： (a-b)c=ae-bc,b(a-c)=ab-bc,而ac-bc≠ab-bc,故B错误： (ab)c表示与c共线的向量，b(ac)表示与b共线的向量，而c与b不一定共线，且(ab)c与b(ac)不 一定相等，故C错误：若a=0,且ab=ac,则b与C是任意向量，故D错误.故选BCD. 1L.【解析】如图，连接BD,BC对于A项，因为AB∥CD,AB=CD,所以四边形 B ABC,D为平行四边形，所以AD∥BC,BCC平面BCD,ADa平面BCD,故AD∥4 平面BCD,同理得AB,∥DC,DCc平面BCD,ABd平面BCD,故AB∥平面 BCD,又因为ADc平面ABD,ABc平面AB,D,AD∩AB=A,所以平面ABD∥ 平面BCD,PBC平面BCD,从而直线PB∥平面ABD,故A正确： 对于B项，当点P与点C重合时，PB∥AD,故B错误：对于C项，因为平面ABD∥平面BCD,CDC 平面BCD,从而直线CD∥平面ABD,所以点P到平面ABD的距离等于点D到平面ABD的距离， 设点D到平面ABD的距离为d.在△ABD中，AB=4D=P+2=5,BD=P+P=√5，则 32 高一数学(RJ)答案第2页，共7页 →10日aAA·=D↓"X乙 11 32 32 3 1 对于D项，设直线PB与平面ABBA所成角为0，易知sinO= PB'故当PB最短时，直线PB与平面 ABBA所成角的正弦值最大，因为当PB⊥CD时，PB最短，此时直线PB与平面ABBA所成角的正弦 值最大，因为Sn=5cD号PBCD,所P9x5,解特PB=行，所以直酸PB与平面 22 ABBA所成角的正弦的最大值为1= 2故D正确，故选ACD. PB 3 x=1 x=1, 12.【答案】1：-1【解析】由题意得 解得 2x+7y=-5, y=-1. 13.【答案】-3【解析】因为a∥b,所以ab=2×6-（-4)2=0,解得元=-3. 14.【答案】在平面ABC中，画出经过点P与AP垂直的直线 【解析】设经过点P在上底面所画与AP垂直的直线为1，由ABC-ABC是正三棱柱， 则AA⊥平面ABC,1c平面ABC,则有A4⊥I,又A,P⊥1，A4,AP是平面AAP8 内的相交直线，所以I⊥平面AAP,APC平面AAP,则1⊥AP,所以在平面ABC中， 画出经过点P与AP垂直的直线即可. 15.【解析】(1)由复数z为实数，得a2-4a-21=0, 解得☑=7或a=-3.…4分 (2)由复数z为虚数，得a2-4a-21≠0， 解得≠7且0≠-3. ……8分 (3)由复数：为纯虚数，得 [a2-6a-7=0, a2-4a-21≠0， 解得=一l.………l3分 16.【解折】)由23 aesin B=a2-6-c2,得V3sinB=-2+c2-a 2ac 得V5sinB.9=-+c2-a2a …2分 2ac b 得V3sinB.=-b+c2-a …3分 b 2bc 高一数学(RJ)答案第3页，共7页 由余弦定理得√5sinB.a=-cosA, …5分 b 由正弦定理得V3sinB.sin =-cosA, …7分 sin B 所以V5sinA=-cosA,所以anA=- …8分 3 因为4e(0,,所以A= 6 ……9分 (2)因为a=√万，且△ABC的周长为1+√3+√万， 所以b+c=1+√5， …11分 由余弦定理可得7==+2-2冰ceos=公+c2+5ce-(b+e+5-2到ke。 所以7=+5+(5-2bc,解得bc=V5, …13分 …15分 24 17.【解析】证明：(1)因为AB=2CD=8,点E是线段AB的中点， 所以B=AB=4,所以4E=CD,…1分 2 又AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形，所以CE∥AD,…3分 又CE在平面ADD,A,ADC平面ADDA, 所以CE∥平面ADDA… …5分 同理，CC∥DD,CC文平面ADD,A,DDC平面ADD,A, 所以CC∥平面ADDA,…7分 又CE∩CC=C,CE,CCC平面CCE,所以平面CCE∥平面ADDA.…8分 (2)如图，作CF⊥EB,垂足为F, 因为AB=2CD=8,所以BF=4B-CD=2, …9分 2 又因为∠BAD=45°，所以∠ABC=45°，所以CF=BF=2,…10分 由勾股定理得EC=BC=√22+22=2√2， 所以EC2+BC2=(22+(22=BE2,所以BC1EC,…12分 高一数学(RJ)答案第4页，共7页 因为CC⊥平面ABCD,所以CC⊥BC,………I3分 又CC∩EC=C,所以BC⊥平面CCE, …14分 因为平面CCE∥平面ADDA,所以BC⊥平面ADDA.…I5分 18.【解折】)因为征-子4C,所以8F-正-丽-4C-，2分 所以可-得c--d-4c+-84-x44+4=134分 所以BF=3.… …5分 (2)因为BE=BC,所以AE=AB+BE=AB+1BC,6分 所以G.F-(丽+ABC目4C-丽4c6-丽+28c.4c-8c. 4x4x+2x4x4x44(》 3 =-10+14，…9分 4 2 4 因为B1B那，所以花F=0,即-10+142=0，解得A= 故当元=号时，AE1BF,… …11分 （3)EF=CT-C正=-4C-(2-)BC=-AC+0-)BC,…12分 .F=64c+0-A刘c号.c+0-刘c -×4×4×cos60°+(1-2)×4×4×cos120° =44+0-x44( =82-10 …5分 因为AE.BF-AB.EF=-10+141-(81-10)=62≥0， 所以AE.BF≥AB.EF ……17分 高一数学(RJ)答案第5页，共7页 19.【解析】(1)证明：在正六边形ABCDEF中，CF∥AB, 折起后，在多面体AB一CDEF中，同样也有CF∥AB,…2分 又CF文平面ABDE,ABC平面ABDE, 所以CF∥平面ABDE,…3分 B (2)如图所示，作AG⊥CF,垂足为G,连接EG, 因为∠AFC=∠EFC=∠AFE=60P 所以AG=AF6in60°=2x5-5, 2 FG=AFcos60-2x1=1, 44444444440444 ………4分 在△EG华，由定理将o∠EG.”C-解限6G=小，5分 2×1×2 则FG2+EG2=12+(W=22=EF2,所以FG⊥EG, 所以∠AGE是平面ABCF与平面EDCF所成的角，则∠AGE=O,…6分 因为AG⊥CF,CF⊥EG,AG∩EG=G, 所以C℉⊥平面AEG,…7分 又CF∥DE,所以DE⊥平面AEG,如图，作GH⊥AE垂足为H,则DE⊥GH, H G 因为AE∩DE=E,所以GH⊥平面ABDE,…8分 所以GH是点G到平面ABDE的距离，也是直线CF到平面ABDE的距离，即GH=5 …9分 因为AG=EG,所以∠EGH=2,所以Gcos 5,得5cos2 05 22 2 2 解得号=60°，所以0=120° 故当8=120°时，直线CF到平面ABDE的距离等于5 …11分 高一数学(RJ)答案第6页，共7页 (3)由(2)得0=120°，在△AGE中， 由余弦定理得cos∠AGE= (N5+(5-AE 。二1，解得4B=3.…12分 2×5×√3 2 在△AEF中，由余弦定理得cos∠AFE= 2+22-321 2×2×28 则sin∠AFE= 9 …13分 因为CF⊥平面AEG,所以CF⊥AE,又因为CF∥AB,所以AB⊥AE 同理，DE⊥AE,所以ABDE是矩形，… …14分 则Sam=Sam=4F-EFsin∠AFE=x2x2x35_3V7 2 2 84 C=SeW009=2+4×3=33,SE形40E=2x3=6,16 2 故S多面练HB-CDEF=S△BCD十SAAFE+S棉形Cr+S佛形EDCF+S能形BDE= 3w73 -+3W3+3V3+6 44 36 +63+6.…17分 高一数学(RJ)答案第7页，共7页