精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

环县一中2023～2024学年度第一学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：概率，统计，数列，直线，圆，圆锥曲线. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 3. 抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为，则该学生这10次成绩的分位数为（ ） A. 86.5 B. 87.5 C. 91 D. 89 【答案】A 【解析】 【分析】将该学生的10次数学成绩从小到大排列，即可求出该学生这10次成绩的分位数. 【详解】该学生10次的数学成绩从小到大分别为. 又，这10次成绩的分位数为. 故选：A. 4. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 5. 圆：与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 6. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和公式易求得答案，注意观察下标之间的关系. 【详解】在等差数列中， 故选:B 7. 已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设D点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D的轨迹，利用点与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】解：根据题意可得，设D点坐标，可知，，则，， 又，代入得，即，可得D点是在以点为圆心，半径为1的圆上， . 故选：C． 8. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给条件表示出、、，再由等比中项的性质得到、的关系，即可得解. 【详解】因为，当时，， 当时，，故， 当时，，从而， 由于是等比数列，故，显然且，解得， 所以． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由成等比数列，求出公比，由此能求出结果. 【详解】成等比数列， 当时，； 当时，. 故选：BD. 10. 关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 实轴长相等 B. 离心率相等 C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可 【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD 11. 实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】按照甲乙丙顺序进行罗列情况， 则实验有，，，，，，共6种结果. 其中满足事件的有，，共2种，故； 其中满足事件的有，，，，共4种，故. 则同时发生的有1种，或发生有5种， 则，，则AC正确；BD错误. 故选：AC. 12. 已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（ ） A. B. 当轴时， C. 为定值1 D. 若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将点代入可判断A；求出焦点可判断B；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D. 【详解】对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误； 对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确； 对于选项C，设点A，B的坐标分别为，， 直线的方程为，联立方程 消去y后整理为， 可得， 有， 故选项C正确； 对于选项D，有， 可得，由有解得，故选项D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程. 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 【答案】2米 【解析】 【详解】 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 将A（2，-2）代入， 得m=-2， ∴，代入B得， 故水面宽为米，故答案为米． 考点：抛物线的应用 15. 已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】任意交换两个数的位置之后有：，，，，，，共种， 两个奇数相邻有，，共种， 所以两个奇数相邻的概率为. 故答案为： 16. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算即可. 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：， 在中，根据余弦定理可知， 解之得或（舍去）， 则， 即 ， 解之得. 故答案为： 【点睛】思路点睛：椭圆中焦点三角形问题，可以联系到使用椭圆的定义，大胆设元表示线段.结合焦半径之间具有确定的比例关系，可以两次使用余弦定理构造齐次式确定关系. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知圆经过点，，. （1）求圆的方程； （2）求直线截圆所得两段弧长之比. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，把三个点代入即可解出答案. （2）圆心在直线上，即可得出答案. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，把三个点代入得 ，得 所以圆的方程为 即. 【小问2详解】 由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为. 18. 已知等差数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解； (2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【小问1详解】 设公差为d，由得， 解得 故； 【小问2详解】 因为，由（1）可得：， 故． 19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【小问1详解】 由题意得， 当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得， ，解得， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，且直线的斜率存在， 设，，且， 则，， ，即， 线段的中点的纵坐标为， ，即， ，即直线的斜率， 直线的方程为，即． 20. 某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示. （1）估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】（1）众数为70，平均数为65； （2） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可； (2)先求出6人中第一、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同的组”包含的样本点个数，代入概率公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 众数为； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3， 所以平均数为 ； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中， 第一组抽2人，记为；第二组抽4人，记为， 则， 设事件为抽到的2人来着不同的组， 则， 所以. 21. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点． 【答案】（1）； （2）设直线的方程为，点，的坐标分别为，， 联立方程，消去后整理为． 有， 有， 同理：， 所以 又， 由直线、的倾斜角互补，有， 有，通分整理后可得， 可得直线的方程为，即，可知直线过定点． 【解析】 【分析】（1）先求出，利用的面积为，点在椭圆上列方程组，解出a、b，写出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，用“设而不求法”把直线，的倾斜角互补，表示为，求出k、m的关系，利用点斜式方程求出定点坐标. 【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，令，代入椭圆的方程可求． ∵，∴ 由的面积为，可得，有． 将点的坐标代入椭圆的方程，可得，解得． 联立方程组解得：，，， 故椭圆的标准方程为． （2）略 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. （3）证明直线过定点，通常有两类： ①把直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； ②把直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2023～2024学年度第一学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：概率，统计，数列，直线，圆，圆锥曲线. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 3. 抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为，则该学生这10次成绩的分位数为（ ） A. 86.5 B. 87.5 C. 91 D. 89 4. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 圆：与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 6. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. C. 0 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 实轴长相等 B. 离心率相等 C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等 11. 实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（ ） A. B. 当轴时， C. 为定值1 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 15. 已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______. 16. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知圆经过点，，. （1）求圆的方程； （2）求直线截圆所得两段弧长之比. 18. 已知等差数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 20. 某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示. （1）估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 21. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $