精品解析：2024年吉林省长春市二道区九年级中考一模数学试卷

九年级质量调研数学试题 本试卷包括三道大题，共24题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 长白山脉，粉雪静风，滑雪爱好者驰骋雪浪；查干湖畔，冰湖腾鱼，八方来客熙熙攘攘．这个雪季，吉林省冰雪旅游异常火热， 数据显示，2024年春运期间，吉林省接待国内游客约为20 500 000人次．其中20 500 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体均由五个大小相同的小正方体搭成，其中主视图与其它三个都不同的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆高9米，灯臂长1米，灯臂与水平面的夹角为，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，已知小于，在射线上取一点C，以点О为圆心，长为半径作交于点D，连结．以点D为圆心，长为半径作弧，交于点P，再以点P为圆心，长为半径继续作弧，交于点Q，连结，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数第一象限内图象上一点，过点A分别作轴，轴，交反比例函数的图象于点B和点C，过点B作轴于点P，连结．若平分，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6道小题,每小题3分，共18分） 9. 计算：_______． 10. 因式分解：____． 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为__________． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点．若，则的大小为__________度． 14. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方发出，把球看成点，其运行的高度（米与运行的水平距离（米满足表达式．已知球网与点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点的水平距离为18米．若排球不碰球网且不出界，则的取值范围是____________．（排球落在边界线上时为界内） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字0，1，2，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率． 17. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 18. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为 ． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等； （2）在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍； （3）在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍． 20. 近期，许多市民对我市 “道路交通拥堵指数”很感兴趣，它相当于把拥堵情况数字化，其计算公式是： ． 例如：从A点→B点畅通期只需要10分钟，拥堵期需要20分钟，那么就意味着拥堵期从A点→B点需要花费的时间是畅通期的2倍，这个时候的道路交通拥堵指数将会显示为2．目前，我市界定交通状况的道路拥堵指数范围如下： 拥堵指数为畅通；拥堵指数为缓行； 拥堵指数为拥堵；拥堵指数为严重拥堵． 小张同学为了解本市早高峰时段部分路段的交通情况，随机查阅了本市某天的早高峰道路交通拥堵指数，整理这些数据并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）估计我市360条重点管理道路中早高峰时段处于拥堵和严重拥堵的总条数； （3）基于以上统计结果，我市交通管理部门建议交通参与者要绿色出行，文明行车，使我市360条重点管理道路中早高峰时段交通状况为畅通或缓行的道路条数占比达到85％，则我市交通管理部门应在保证现有的通畅和缓行道路条数的基础上至少要改变________条拥堵或严重拥堵的道路． 21. 小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； （2）当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； （3）当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 22. 【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 23. 如图，在中，，，，点M是的中点，动点P从点C出发，沿折线向终点A运动，点P在上的运动速度为每秒4个单位长度，在上的运动速度为每秒5个单位长度，作点P关于点C的中心对称点Q，连结、．设点P的运动时间为秒． （1）线段的长为 ； （2）设点P到的距离为h，用含t的代数式表示h； （3）当是直角时，求t的值； （4）当点P在上运动时，在边上存在一点N，使四边形是轴对称图形，直接写出此时t的值及的长度． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴相交于点，点在此抛物线上，其横坐标为，该抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； （3）设图象G的最高点与最低点的纵坐标差为h，横坐标差的绝对值为l，当时，求m的值； （4）过点作轴，点的横坐标为，连结，以和为邻边构造，若图象与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量调研数学试题 本试卷包括三道大题，共24题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， 所给的各数中，负数是． 故选：D 2. 长白山脉，粉雪静风，滑雪爱好者驰骋雪浪；查干湖畔，冰湖腾鱼，八方来客熙熙攘攘．这个雪季，吉林省冰雪旅游异常火热， 数据显示，2024年春运期间，吉林省接待国内游客约为20 500 000人次．其中20 500 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C 3. 下列几何体均由五个大小相同的小正方体搭成，其中主视图与其它三个都不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：选项A、C、D的几何体的主视图相同，均为底层是三个正方形，上层的中间是一个正方形； 选项B的主视图与其它三个都不同，其底层是三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：B． 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．移项、合并可得不等式的解集，继而可得答案． 【详解】解：由得， 解集在数轴上表示为 故选：B 5. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理，邻补角． 由直尺得，所以，已知，进而可得的度数． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：B． 6. 近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆高9米，灯臂长1米，灯臂与水平面的夹角为，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点B作，垂足为E，延长交于点G，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：过点B作，垂足为E，延长交于点G， 由题意得：米，， 在中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴灯臂的最高点B到地面的距离为米， 故选：A． 7. 如图，已知小于，在射线上取一点C，以点О为圆心，长为半径作交于点D，连结．以点D为圆心，长为半径作弧，交于点P，再以点P为圆心，长为半径继续作弧，交于点Q，连结，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，由题意可知，，则，可得；根据圆周角定理可得，进而可得，；由题意可知，则， 【详解】解：连接， 由题意可知，， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； 由圆周角定理得，， ∴， 故B选项正确，不符合题意； 由圆周角定理得，， 故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数第一象限内图象上一点，过点A分别作轴，轴，交反比例函数的图象于点B和点C，过点B作轴于点P，连结．若平分，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确作出相关辅助线是解答此题的关键，同时还考查了解直角三角形及勾股定理．延长交y轴于点，设，可得，由角平分线定义及平行线的性质得，从而得出，求得，再由得出，再根据勾股定理列出等式，最后求解即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点， 设， 轴， 可得， 轴，轴， ， ， 平分 ， ， ， 点C在函数的图象上，且轴， ， ，即， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ， ， ， 故选：D 二、填空题（本大题共6道小题,每小题3分，共18分） 9. 计算：_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．先根据算术平方根的定义计算，再进行减法计算即可． 【详解】解：． 故答案为∶2． 10. 因式分解：____． 【答案】． 【解析】 【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键． 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点．若，则的大小为__________度． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接，，，如图，先根据切线的性质得到，则，再证明得到，所以，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数． 【详解】解：连接，，，如图， 直线与相切于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故答案为：80． 14. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方发出，把球看成点，其运行的高度（米与运行的水平距离（米满足表达式．已知球网与点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点的水平距离为18米．若排球不碰球网且不出界，则的取值范围是____________．（排球落在边界线上时为界内） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用函数的性质解答．把代入解析式求出的，把代入解析式求出的，即可求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：当时，， 解得； 当时，， 解得； 排球不碰球网且不出界，则的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．先通分，再进行同分母的加减运算，接着把分子因式分解后约分得到最简结果，然后把的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式= ． 16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字0，1，2，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的结果数为5，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图为 共有9种等可能的结果数，其中小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的结果数为5， 所以小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率． 17. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 【答案】甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据． 【解析】 【分析】设乙每小时输x个数据，根据题意列出分式方程，求解并检验，然后用各自的数据除以60即可得出答案． 【详解】解：设乙每小时输x个数据，根据题意得： ， 解得x＝660， 经检验x＝660是原方程的解． ∴甲每小时输1320个数据． 1320÷60＝22（个）， 660÷60＝11（个）． 答：甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 18. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，根据三角函数的定义得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 菱形的面积． 故答案为：24． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等； （2）在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍； （3）在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，点即为所求； （3） 如图，点，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等高模型解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用平行线构造等高模型解决问题； （2）利用三角形中线的性质及等高模型解决问题． （3）利用平行线及等高模型，构造四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 近期，许多市民对我市 “道路交通拥堵指数”很感兴趣，它相当于把拥堵情况数字化，其计算公式是： ． 例如：从A点→B点畅通期只需要10分钟，拥堵期需要20分钟，那么就意味着拥堵期从A点→B点需要花费的时间是畅通期的2倍，这个时候的道路交通拥堵指数将会显示为2．目前，我市界定交通状况的道路拥堵指数范围如下： 拥堵指数为畅通；拥堵指数为缓行； 拥堵指数为拥堵；拥堵指数为严重拥堵． 小张同学为了解本市早高峰时段部分路段的交通情况，随机查阅了本市某天的早高峰道路交通拥堵指数，整理这些数据并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）估计我市360条重点管理道路中早高峰时段处于拥堵和严重拥堵的总条数； （3）基于以上统计结果，我市交通管理部门建议交通参与者要绿色出行，文明行车，使我市360条重点管理道路中早高峰时段交通状况为畅通或缓行的道路条数占比达到85％，则我市交通管理部门应在保证现有的通畅和缓行道路条数的基础上至少要改变________条拥堵或严重拥堵的道路． 【答案】（1） 总抽取道路数为：（条， 缓行的道路条数为：（条， 补全的条形统计图如下图所示： （2）90条 （3）36 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体和扇形统计图，能从统计图中提取有用信息是解题的关键． （1）先计算出总抽取道路数为：（条，则缓行的道路条数为：（条，即可补全的条形统计图； （2）估计我市360条重点管理道路中早高峰时段处于拥堵和严重拥堵的总条数为，计算即可； （3）当前交通状况为畅通或缓行的道路条数占比为：，设至少要改变条拥堵或严重拥堵的道路，才使我市360条重点管理道路中早高峰时段交通状况为畅通或缓行的道路条数占比达到，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （条， 答：估计我市360条重点管理道路中早高峰时段处于拥堵和严重拥堵的总条数为90条． 【小问3详解】 当前交通状况为畅通或缓行的道路条数占比为：， 设至少要改变条拥堵或严重拥堵的道路，才使我市360条重点管理道路中早高峰时段交通状况为畅通或缓行的道路条数占比达到， 即， 解得：， 故答案为：36． 21. 小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； （2）当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； （3）当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】（1） （2） （3）千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【小问1详解】 由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． 【小问2详解】 当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 22. 【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 23. 如图，在中，，，，点M是的中点，动点P从点C出发，沿折线向终点A运动，点P在上的运动速度为每秒4个单位长度，在上的运动速度为每秒5个单位长度，作点P关于点C的中心对称点Q，连结、．设点P的运动时间为秒． （1）线段的长为 ； （2）设点P到的距离为h，用含t的代数式表示h； （3）当是直角时，求t的值； （4）当点P在上运动时，在边上存在一点N，使四边形是轴对称图形，直接写出此时t的值及的长度． 【答案】（1）3 （2） （3）或 （4）①时，；②时， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，最后由线段中点的定义可得结论； （2）分两种情况：①当点P在边上时，，直接根据速度×时间可得h与t的关系式；②当点P在边上时，，如图1，过点P作于E，根据相似三角形的判定与性质可得结论； （3）分两种情况：①如图2，点P在边BC上时，根据列式可得结论；②如图3，作辅助线构建全等三角形和直角三角形，先由勾股定理计算的长，证明，可得，由内错角相等，两直线平行可得，最后由面积法列式可得t的值； （4）分①当四边形是轴对称图形，且对称轴是对角线所在的直线时，②当四边形是轴对称图形，且对称轴是一组对边的公共垂直平分线时两种情况讨论可得结论． 【小问1详解】 解：（1）∵，，， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 分两种情况： ①当点P在边上时，， ∴； ②当点P在边上时，， 如图1，过点P作于E，则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，； 【小问3详解】 分两种情况： ①如图2，点P在边上时， ∵点P关于点C的中心对称点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴t； ②如图3，点P在边上，延长至D，使，连接，，过点P作于N，过点D作于K，则， 由勾股定理得：， 由（2）知：，， 在中，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是或； 【小问4详解】 四边形的对称轴只能是一组对边的公共垂直平分线或者对角线所在的直线， ①当四边形是轴对称图形，且对称轴是对角线所在的直线时，对称轴是直线，如图4， 过点P作于G， 由对称可知：平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ②当四边形是轴对称图形，且对称轴是一组对边的公共垂直平分线时，四边形是等腰梯形，对称轴是与的公共垂直平分线，则， 过点P、M作的垂线，垂足为E、D，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述：使四边形是轴对称图形有两种情况：①时，；②时，． 【点睛】本题是三角形的综合题，涉及勾股定理及应用，三角形全等的性质和判定，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴相交于点，点在此抛物线上，其横坐标为，该抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； （3）设图象G的最高点与最低点的纵坐标差为h，横坐标差的绝对值为l，当时，求m的值； （4）过点作轴，点的横坐标为，连结，以和为邻边构造，若图象与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或4 （4）或3 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式求出的值，即可求函数的解析式； （2）先求函数图象与轴的交点，再由题意可求的取值范围； （3）当时，，，再由，求；当时，，，此时值不存在；当时，，，不符合题意；当时，，，； （4）分别求出，，，，当时，当是的中点时，直线分的面积为的两部分，则，再将点代入函数解析式可得；当时，当是的中点时，直线分的面积为的两部分，则，，求得． 【小问1详解】 抛物线的顶点为， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ， 当时，， 解得或， 图象与轴有交点， 或； 【小问3详解】 点横坐标为， ， 当时，，， ， ， 解得或（舍； 当时，，， ， ， 解得（舍或（舍； 当时，，， ，不符合题意； 当时，，， ， ， 解得（舍或， 综上所述：的值为或4； 【小问4详解】 ，，， 由平移可知， 当时，即点在下方，当是的中点时，直线分的面积为的两部分， ， ， 解得（舍或； 当时，即点在上方，当是的中点时，直线分的面积为的两部分， ，， ， 解得（舍或； 综上所述：的值为3或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $