山西省部分学校2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试题

2023~2024学年高二5月质量检测卷 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时问120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密片线内项日填写清是 3.考生作答时，请将公案答在答题卡上。选杯题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫未黑色墨水签字笔在公题卡上各题的答 题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选扑性必修第二册，选择性必修第三册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.在一项中学生近视情况的调查中，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近 视，在检验这些中学生近视是否与性别有关时最有说服力的方法是用 A.平均数与方差 B.回归分析 C.独立性检验 D.概率 2.根据3对数据A(1,7),B(3,m),C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归 方程为y=2.25x+4.25,则m A.11 B.10 C.9 D.8 3.已知{a.)为等差数列，a1十a,十a5=105,a:十a,十a6=99,则aw= A.7 B.5 C.3 D.1 4.在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下 表，则其中拟合效果最的模型是 模型 1 2 2 4 R 0.67 0.85 0.49 0.23 A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 5.在(x-1)(x-2)(x一3)(x-4)的展开式中，x的系数为 A.-50 3.-35 C.-24 D.-10 6.甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱 中有3个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出1 个球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为 A号 B贵 c贵 DH 7.在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻、 则不同排列方法有 A.36种 B.24种 C.18种 D.12种 【高二5月质量检测卷·数学第1页（共4页）】 242860Z &设B.F是双曲线C后-芳=1o>0,b>0)的左，右集点点A是C的右支上一点，若 △AFF的内切圆M的半径为a(M为圆心)，且3A∈R,使得AM+3O=-AF,,则双曲 线C的离心率为 A.5 B.5 C.2 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有 20 20 20 15 “g 15 10 10 6 相关系数 3 3 6 相关系数 相关系数， 相关系数， A.r<0 B.r<0 C.n>r D.r:>r 10.某水果店经过统计30天的销售情况，发现苹果的日销售量y(单位：千克)关于售价x(单位： 元/千克)的回归方程为y=一12.5x十300，则下列结论正确的是 A.若售价每增加1元/千克，则日销售量平均减少12.5千克 B.若售价为10元/千克，则日销售量一定是175千克 C.若水果店想要将店内的200千克的苹果在当日销售完，则售价预计不高于8元/千克 D.若售价定为12元/千克且苹果数量充足，则当日苹果销售收入约为1800元 1.已知椭圆C后+芳=1a>b>o)过点(5，)，直线：y=-+m与椭圆C交于MN 两点，且线段MN的中点为P,O为坐标原点，直线OP的斜率为三，则下列结论正确的是 AC的离心率为时 BC的方程为后+y=】 C.若m=1,则|MN=3y5 D若m=号·则椭圆C上存在E,F两点，使得E,F关于直线1对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X~N(2,a2),若P(X≥3)=0.3，则P(1<X<2)= 13.用模型y=c心拟合一组数据时，为了求出回归方程，设：=y,其变换后得到线性回归方 程=2x+0.5,则c= 14.若关于x的不等式号+e≥a(x-lhx)恒成立，则实数a的最大值为 【高二5月质量检测卷·数学第2页（共4页）】 242860Z 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 某中学的一次数学考试，试卷满分为100分，得60分成绩为及格，为了调查正确学习习惯教 育培养对本次考试前两个川双习效果的影响.特对复习中参加正确学习习惯教育培养和未 加正确学习习惯牧育培养的考生进行了考试成绩的统计如下表： 分数段 「29,40) 40.50) [50.G0) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100 参加正确学习习枫 23 47 30 21 14 31 14 教有培养考生人数 未参加正确学习习惯 17 51 67 15 30 17 3 牧有培养考生人数 (1)根据上述表格完成2×2列联表： 及格人数 不及挤人数 总计 参加正确学习习做牧育培养 未参加正确学习习惯牧有培养 总计 (2)根据列联表中的数据，依据k=0.025的独立性检验，能否认为考生成绩及格与参加正确 学习习惯教育培养有关系？ n(ad-be)2 注：X=a+b0+a+c+dn=a+b+ctd). 附表： 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001 I. 2.7063.841 5.02 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分) 如图，过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F的直线与C相交于A,B两点，当直线AB与y 轴垂直时.AB=4. (1)求C的方程： (2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点O?若能，求出直线 AB的方程；若不能，请说明理山. 【高二5月质量检测卷·数学第3页（共4页）】 242860Z 17.(木小题满分15分) I.在四仪价P-)中，平PADLA11),A∥(.A1.PA一， PA1P.=3.(D-- (1)求证：PA⊥.平面P (2)求直线PA与平面PC所成角的正弦值. 18.(木小题满分17分) 2023年全竞走大奖赛（第1站）好世你赛及亚运会选拔赛3月4目在安微黄山开赛.重因 队的贺相红以2小时22分55秒的成错被男予35公里克走业洲纪水.某山径协公组织开 展克走的步长和少之间的关系的课购研完.得到应的试验妆据： l0(单位，) 0.28 29 .30 .31 0.32 业K(单位， 9 93 99 1o3 117 (1)根据表中数据，得到业和业长近似为线性川关关系，求出y关于x的回归线方程，并 利用回门方程衡测，当步长为80（时.步约是多少？ (2)记e,=y一。.=y一b红，一a,其中￥为税测值，.为顶测值，为对应(y)的我差，求 (1)中步长的我差的和，川探究这个结果是否对「意具行线性川关关系的两个变量都成 立？若成立，请证明：着不成立，请说明理. 参y数：-0.451.-151.82. 参考公式：b= 之y,-y 19.(本小题满分17分) 已函数f(r)=e+(a-2)c'-x. (1)i讨论(：)的单调性： (2)若(x)有两个零点.求4的取值范围 【高二5月质量检测·数学第4页（共项）】 242860Z 2023-2024学年高二5月质量检测卷 请在布指口的新组区罐内作若。妇出影制边后日室区婚的答考无位 数学答题卡 透在名量目的香理区材内性着，组出华形的信时宝说过的若名无资： 15:车手慧满设11： 1福44个超满#15到 校 及格人数 不及精人数 e计 参如正纳学习习时数有结行 姓 名 太参如正镜7习习的鞋有精 班级 e计 考场 无里用手用专：号年件卡中手年年。年4 事光事4事中年·0等卡去g 贴条形科区 ”卡4卡中带：卡有年卡5第年小卡E0大5道 #方手卡为许中年面无产后生于有后业年 专通：。中5第8 填涂样到正精暗2■ 触每文：☐ 意开是（共58分） 60+22141 0”5010】【: :.C172101 肆透排日（共92分） 1 11 14 请在备量目的言置区姐内作新，程出整形边框层定区道的需多无效 请在音是口的新慧区组内作著，士矩彩边但日家区好的若率无验 请在务组目的答题区蜡内作首，铅出每形边程假定好的答多无结， 回 透在各程口的新国区罐内件苦。鞋出出标信定区域的落车无然 请在奇程日的养提区罐内件着。出年影的红得宝区好的若多天效， 请在各量目的著程民健内作养。制出标粗出行口了送磁养起天劳 17:痛◆1料 s手鞋溢净17伊 1911经6净11# 请在备陆目的养程区好肉传若，智出是形边爬限定区的若影无效 墙在备想目的着想区罐内作着，相士乖衫边框限定区域的着密无效 请在喜程目的若量区罐内性苦，组出好制边框量定区道的答卷无数 4二3月道经2期6-面？专：燕（员2到）242023~2024学年高二5月质量检测卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验.故选C 2,B由已知，得元=3,5=23”，又3=225+4.25经过点(3.230)，所以23告m=225×3+425,解得 3 =10.故选B. 3.D因为a:十a:十as=3aa=105,所以a3=35,因为ag十a4十a6=3a4=99,所以4=33.于是d=a4一a= -2,所以a0=a4+16d=33+16×(-2)=1.故选D. 4.B在线性回归分析中，R越大拟合效果越好，R越小拟合效果越差.故选B. 5.A(x一1)(x一2)(x一3)(x一4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x,另外3个因 式中选择常数项相乘积的和，则(x一1)(x一2)(x一3)(x一4)的展开式中，含x的项为（一1）×（一2）× (-3)x+(-1)×(-2)×(-4)x+(-1)×(-3)×(-4)x+(-2)×(-3)×(-4)x=-50x,所以 x的系数为一50.故选A. 6.C设事件A,表示从甲箱中随机取出一个红球，事件A2表示从甲箱中随机取出一个白球，事件B表示从乙 箱中随机取出一个红球，则P(A)=号，P(BA)=亭，P(A)=号，P(B1A)=号，所以P(B)= PAP(BlA,)+PA)PBA)=号×号+号×号-费故选C 7.D先排列3幅书法作品有A=2种排法，再将3解美术作品插入3幅书法作品形戒的3个空中，有A=6 种排法，所以不同排列方法有2×6=12种.故选D. 8.A设M(xM,y),A(xAyA)由对称性不妨设点A在第一象限，此时M也在第一象限，因为AM+3OM =入F,所以w-4十3w=0,M=4w=4a,所以S5=号·2c·a=是· (|AF|+|AF2+2c)·a,又|AF|-|AF|=2a,解得|AF|=3十a,|AF|=3c-a,F(-c,0),所 以|AF,|=√+c)+i=√(x+c)+形(-1)=VP+2c+a=V(e+a)=e十a, 所以台十a=十a,解得=3a,所以A(3a,a).代人双直线方程，得-（仁-1，解得=区a, a c=V瓜+6=3a,所以c=台=.故选A 9.BD由图形特征可知，广对应的样木数据都是负相关，所以，r都是负数，又n对应的样本数据比n对 应的样本数据的线性相关程度更强，所以<<0,2，广对应的样本数据都是正相关，又2对应的样本数 据比%对应的样本数据的线性相关程度更强，所以O<<2,所以BD正确.故选B) 10.ACD对于A,由b=一12.5知售价每增加1元/千克，则日销售量平均减少12.5千克，A正确：对于B,若 售价为10元/千克，则日销售量可能是175千克，B错误：对于C,若日销售量为200千克，则x=8,所以售价 预计不高于8元/千克，C正确：对于D,若x=12,则y=150,xy=1800,故当日苹果销售收入约为1800元， D正确.故选ACD. 1.AC设M.N),则P(色产，“产）即m一兴器-多因为M.N在椭圆C上，所 以是+是=1，等+普=1.两式相减，得山十+士”二2=0，即是十 a 【高二5月质量检测卷·数学参考答案第1页（共4页）】 242860Z 2)2=0.又n=身去=-名所以时一品=0，即=子女，所以=子，离心* (x1+x2)(一x） x1一x2 =←=之，故A正确：因为椭圆C过点(3，受)，所以子+忌=1，解得。=4，公=3，所以椭圆C的标准 方程为号+号-1，故B错误：若m=1,则直线1的方程为y=一分十1，由 2x+1, 得x2-x-2= +- 0,所以3=-1=2，MN-√1+（一之）12+1-35，放C正确：若m=号，则直线1的方程为y =一之十假设椭圆C上存在E,F两点，使得E,F关于直线1对称，设E(y),F(),EF的 中点为Q(,),所以十x=2o,为十y=2,因为E,F关于直线1对称，所以k=2且点Q在直线 1上，即0=一号十之又EF在椭圆C上，所以车+普=1，普+普=1，两式相减，得 3 3 西+x)(-)++y)二业)=0，即+L+)C业)=0，所以为+= 3 4 3(x3一x) 1 302,即%=- 2x十 21 x0=4, 8 80.联立 解得 3 %= 8, 2· >1,所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦EF的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E,F两点，使得E,F关于直 线I对称.故选AC. 12.0.2由正态分布的性质得P(1<X<2)=P(2<X<3)=0.5-0.3=0.2. 13.Ve由=lny,得y=e,故y=e=e2+ai=e4s·e2r,所以c=e=√e. 14.e不等式号+e>a(x-nx),即号+e>alne-lnx),所以号-aln号+e≥0.设x)= （x>0),则1(x)=1)C(x>0),所以当0<<1时，1(x)<0,(x单调递减：当x>1时，1(x)>0, tx)单调递增，所以x)≥)=e令f)=t一alnt+e(>e),则f()=1-g-=气(>e.当a≤e 时，f(t)≥0，f(t)单调递增，则f(t)≥f(e)=e一a十e≥0，故a≤e满足条件：当a>e时，f(t)在(e,a)上单 调递减，在(a,十o∞)上单调递增，则f(1)mm=∫(a)=a一alna十e2,设g(a)=a一alna十e2(a>e),则 g'(a)=-lna<0,则g(a)在(e,+o∞)上单调递减，又g(c2)=e2-ene2+e2=0,所以g(a)≥g(e2),所以 ea≤e2,所以a的最大值为e2. 15.解：(1)根据题表中数据可以得到2×2列联表如下： 及格人数 不及格人数 总计 参加正确学习习惯教育培养 80 100 180 未参加正确学习习惯教育培养 65 135 200 总计 145 235 380 …5分 (2)零假设为H。:考生成绩及格与参加正确学习习惯培养无关. …7分 X2- 380(80×135-65×100)2 180×200×145×235 5.728>5.024. 10分 【高二5月质量检测卷·数学参考答案第2页（共4页）】 242860Z 依据=0.025的独立性检验，H。不成立，故可以认为考生成绩及格与参加正确学习习惯培养有关系 …13分 16.解：(1)F点的坐标是(0，) …1分 当直线AB与y轴垂直时，点A,B的坐标分别是(p,),(-p,), …3分 AB引=2p=4,解得p=2,…… …5分 所以C的方程是x2=4y…6分 (2)以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O,理由如下：…7分 直线AB的斜率显然存在，设其方程为y=k.x+1,代入x2=4y,消去y并整理得x2一4kx一4=0，…10分 设A(1y),B(x2,2),则x1x2=一4.…11分 因为O.0i=1n十=+ =-4十1=-3. 16 所以OA与OB不垂直. 14分 因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点。…15分 17.(们)证明：过点D作DN⊥AB于N,…1分 因为AB/CD.AB1C.AB=3.CD=BC=号， 所以DN=BC-号AN=BN=是，所以BD=3 2,AD=32 所以AD十BD=AB,所以ADLBD,…3分 因为平面PADL平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BDC平面ABCD, 所以BD⊥平面PAD, 5分 又PAC平面PAD,所以BD⊥PA, 又PA⊥PD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD, 所以PA平面PBD.…7分 (2)解：因为AB∥CD,DN⊥AB,所以DN⊥DC,如图，以D为坐标原点， DN,DC所在直线分别为x轴，y轴，以过点D且垂直于平面ABCD的直 线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(号号o),B(号，20).c(0,是0).P(,-￥，32） 所以币-(-￥，，3）.=（号00）.市=(，-，32) +t0……+0…+…0…4*4+0…04+………4…9分 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), nCi=号x=0, 则 42=0, 令=3,0则x=0,y=√2，所以n=(0,W2,3),…12分 设直线PA与平面PBC所成角为0， 【高二5月质量检测卷·数学参考答案第3页（共4页）】 242860Z cos(Ap,n） n 则sin0= 2√22 =AP·n 11 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为22四 11 15分 18.解：1=号名4=0.3=号含=10.8 6-5XxX =620,a=100.8-620X0.3=-85.2,…4分 2-5x 所以回归直线方程为y=620x一85.2.… …5分 将y=80代人得80=620.x一85.2，解得x≈0.27，所以当步长为80cm时，步频约是0.27秒.…7分 (2)根据(1)得到y1=620×0.28一85.2=88.4，e1=90一88.4=1.6： 2=620X0.29-85.2=94.6,2=95-94.6=0.4;…9分 g=620×0.30-85.2=100.8,ca=99-100.8=-1.8: y1=620×0.31-85.2=107,e=103-107=-4: ...... 11分 y%=620×0.32-85.2=113.2,c6=117-113.2-3.8. 所以=1,6十0,4-1,8-4什3,8=0，即步长残差和为0.…13分 对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下： 26=2(y-)=2(g-im,-a)=2y-2,-i=y-d-ny-h)=0.…17分 19.解：(1)f(x)的定义域为(-oo,+o∞)，f(x)=2aer+(a-2)e-1=(ae-1)(2e+1), (i)若a≤0，则(x)<0,所以f(x)在（一0∞，十o∞）上单调递减；…3分 (1)若a>0,则由f(x)=0得x=-lna. 当x∈(-o∞，-lna)时，f(x)<0:当x∈(-na,十oo)时，f(x)>0, 所以当a>0时，f(x)在(-∞，一na)上单调递减，在(-lna,十oo)上单调递增. …6分 (2)(1)若a≤0，由(1)知，(x)至多有一个零点.…8分 (i)若a>0,由(1)知，当x=-na时，f)取得最小值，最小值为f(-na)=1-+na.…10分 ①当a=1时，由于f(一lna)=0,故f(x)只有一个零点；…11分 ②当a∈(1，十oo)时，由于1-是十lna>0,即-na)>0,故fx)没有零点：…13分 ③当a∈(0,1D时，l-合+na<0,即f-ha)<0 又f(-2)=ae++(a-2)e+2>-2e”+2>0,故f(.x)在(-∞，-lna)上有一个零点.…15分 设正整数%满足m>n(各-1），则f()=e心(ae十a一2)->e一>2一>0. 由于n(会-1)>-lna,因此f(x)在(-lha,+o)上有-个零点. 综上，a的取值范围为(0,1).…。 17分 【高二5月质量检测卷·数学参考答案第4页（共4页）】 242860Z