精品解析：2024 年四川省南充市顺庆区中考二模数学试卷

2021级初中毕业班第二次诊断性检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，等号两边同时除以5即可作答． 【详解】 ， 故选：B． 2. 如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成，则该几何体俯视图的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，先得出从上面看所得到的图形，再求出俯视图的面积即可． 【详解】解：该几何体的俯视图如下： 故该几何体俯视图的面积是． 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解七年级（一）班学生的视力情况，适合采用抽样调查 B. 李老师想了解小菲同学4次数学模拟考试成绩的变化情况应选用折线统计图 C. 事件“乘坐公共汽车恰好有空座”是必然事件 D. 掷一枚质地均匀的硬币两次，一定有一次正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，统计图的选择，普查与抽样调查，熟练掌握事件的分类，概率的意义，普查与抽样调查的定义是解题的关键．根据事件的分类，统计图的特点，普查与抽样调查逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、一个班级的人数较少，要了解七年级（一）班学生的视力情况，适合采用普查，故错误； B、李老师想了解小菲同学4次数学模拟考试成绩的变化情况应选用折线统计图，故正确； C、事件“乘坐公共汽车恰好有空座”是偶然事件，故错误； D、掷一枚质地均匀的硬币两次，不一定有一次正面朝上，故错误； 故选：B． 4. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查分式加减运算，根据分式的加减运算法则即可求解． 【详解】， 故选：D． 5. 数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， ， 米， 在中，， 解得， （米． 故选：A． 6. 我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组， 根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两，构建方程组即可． 【详解】解：若设共有名客人，两银子， 可列方程组为：， 故选：B． 7. 如图，在中，是直径，是弦，过点作于点，交于点，连接交于点，若为的中点，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理，勾股定理．由推出，得到，，由三角形中位线定理得到，求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，于是得到． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ，， 是中点， ， ， ， ，， ，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数便可换算为人的质量．已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量的关系满足函数关系式：．则下列说法不正确的是（ ）（温馨提示：，其中为电源电压） A. 当时，随的增大而减小 B. 电源电压， C. 当时，踏板上人的质量为 D. 当踏板上人的质量为时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．根据函数图象和函数增减性判断A选项中说法正确，根据，代入数据计算，判断B选项中说法正确，根据图中数据，代入计算，即可判断C选项中说法错误，将代入求出，结合电源电压，，代入计算，即可判断D选项中说法正确． 【详解】解：A、由图2可知，当时，随的增大而减小，A选项不符合题意； B、根据，如图2的图像过，若电源电压为，则，解得：，故B选项不符合题意； C、当时，根据图2，对应的为，代入得，解得，C选项合题意； D、当踏板上人的质量为时，，则，解得：，D选项不符合题意． 故选：C． 9. 若是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次解的定义得到，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ． 故选：A． 10. 如图，在等边中，，点，分别是，边上的动点．且，以为边向上作等边，与交于点，连接，．下列结论： ①若，则； ②； ③当点为中点时，； ④当点，分别在，边上的运动时，长度的最小值为．其中正确结论的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，根据等边三角形与直角三角形的性质即可解答；对于②，证明，可得到，再利用，即可得到答案；对于③，连结，以点F为圆心，长为半径作，根据圆周角定理，即可证明点C在上，从而可得结论；对于④，过点D作于点H，设，根据勾股定理可计算得出，当时，即可求出的最小值． 【详解】解：对于①， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 所以①正确； 对于②， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 所以②正确； 对于③， 如图，连结，以点F为圆心，长为半径作， 点为中点，是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 点C在上， ， 所以③正确； 对于④， 如图，过点D作于点H， 设，则， ， ， ，， ， ， 当时，取最小值， 所以④正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定于性质，等边三角形的性质，圆周角定理，二次函数的最值，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知实数，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】∵有理数x、y满足， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 12. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小雯等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测天文现象，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小雯抽在丑时观测的概率为________． 古时 子时 丑时 寅时 卯时 今时 23:00~1:00 1:00~3:00 3:00~5:00 5:00~7:00 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵每个人进行抽签，每个签被抽到的概率相同， ∴每个人抽到第一个的概率都是一样的，即每个人抽到丑时观测的概率都是， ∴小雯在丑时观测的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．由题意可知，，由平行四边形的性质推出，，，得到，证明，推出，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ，，， ， ． 故答案为：8． 14. 如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高______cm． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，先证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，然后再证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ，， ， ， ， ∵， ，， ， ， ， 解得：， 像高为， 故答案为：12． 15. 如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用求出直线解析式为：，再求出，根据点在线段上可得，再表示出，问题得解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴将代入，有：， 解得：， 即直线解析式为：， 当时，，即， ∵点在线段上，点在直线上， ∴，，且， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，且为， 故答案为：． 16. 如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【答案】或者 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合， 如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点，准确画出图形，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向上平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令， 解得：，， ∴，， ∵将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方， ∴翻折之后的二次函数的解析式为：， 将一次函数与二次函数联立得：， 整理得：， 令， 解得：， 当一次函数过点A时，将代入得：， 解得：， ∴若直线与这个新图象有3个交点，则b的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】利用整式的相应的法则（完全平方公式、多项式乘多项式法则）对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18. 如图，在中，点是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的意义和等腰三角形的性质： （1）根据等式的性质得出，进而利用证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 某校加强了学生对安全知识的学习，并组织学生参加《安全知识》测试（满分100分）．为了解学生对安全知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 七年级：86 88 95 90 94 95 92 97 93 100 八年级：100 98 98 89 91 98 95 93 90 89 整理数据： 成绩x（分） 年级 七年级 a 5 2 八年级 3 3 4 分析数据： 成绩x（分） 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 93.5 95 八年级 94 b c 应用数据： （1）填空： ， ， ； （2）若七年级共有500人参与答卷，请估计七年级测试成绩大于95分的人数； （3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地某小学担任安全宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率． 【答案】（1）3；94；98 （2）估计七年级测试成绩大于95分的人数约100人； （3）恰好抽到同年级学生的概率为． 【解析】 【分析】（1）由题意可直接得出的值．根据中位数和众数的定义可得，的值． （2）根据用样本估计总体，用500乘以样本中七年级测试成绩大于95分的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到同年级学生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，． 将八年级抽取的10名学生的测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6的为93和95， ． 八年级抽取的10名学生的测试成绩中，98出现的次数最多， ． 故答案为：3；94；98； 【小问2详解】 解：（人． 估计七年级测试成绩大于95分的人数约100人； 【小问3详解】 解：将八年级3名学生分别记为，，，七年级2名学生分别记为，， 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好抽到同年级学生的结果有：，，，，，，，，共8种， 恰好抽到同年级学生的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数、众数，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数和众数的定义是解答本题的关键． 20. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． 【小问2详解】 解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线沿轴向左平移与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）先求出点坐标，根据两直线平行，设直线解析式为，将代入求出值，即可知道点坐标．再求出线与交于一点为，运用三角形面积公式列式作答； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 【小问1详解】 解： 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：， 点与点在一次函数图象上， ， 解得：， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在反比例函数中，当时，， ， ， ， 设直线解析式为：，将代入得：，解得， 直线解析式为， ． 当时，，则 即直线与交于一点为 ∵，， ∴的面积 22. 如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，，的反向延长线与的延长线交于点，连接与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ，， ， ∴． 点为弧的中点， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和平行线的判定定理得到，利用垂径定理的推论得到，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，设与交于点，设，则，利用垂径定理得到，再利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理得到，设，则，利用同圆的半径线段得到，则，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设与交于点，如图， ， 设，则， ． ， ． ． 为直径， ， ， ∴， ， ， ∵， ， ， 设，则， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 23. 某商店销售一款进价为20元新背包，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若该背包销售单价为30元，销售该背包每天获利多少元？ （2）设该背包销售单价为元，销售该背包每天获利为元，当为多少时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是多少元？ （3）经过试营销后，商店按（2）中单价销售，为了回馈广大顾客，同时提高该背包知名度，商店决定开展降价促销活动，若每个背包降价率为，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，求的值． 【答案】（1）2000元 （2）当为35元时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是2250元 （3）40 【解析】 【分析】（1）利用销售该背包每天获得的利润每件该背包的销售利润日销售量，即可求出结论； （2）利用销售该背包每天获得的利润每件该背包的销售利润日销售量，可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用销售总额销售单价日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要使销量尽可能的大，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：根据题意得： （元． 答：销售该背包每天获利2000元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ， ． ， 当时，取得最大值，最大值为2250． 答：当为35元时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是2250元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 即， 解得：，， 又要使销量尽可能的大， ． 答：的值为40． 24. 在矩形中，，在边上截取，使，点为的中点．如图1，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，证明． （3）如图2，若，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∴在中，， 在（1）中已经证明，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，， ∵， ∴， ∴， 即； （3）的最小值为，此时矩形的面积为 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）根据可得，结合，且，可得，即有，证明，即有，即，，根据，可得，问题随之得证； （3）在中，，根据，可得，当且仅当时，，此时有最小值，最小值为，在的条件下，结合勾股定理即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， ∵， ∴， 当且仅当时，， 此时有最小值，最小值为 ∵，， ∴，即， ∵在中，，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∴， 即的最小值为：， 此时矩形的面积为：， 即：的最小值为，此时矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，问题的难点在（3），得出，当且仅当时，，此时有最小值，最小值为，是解答本题的关键． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点是抛物线对称轴直线上一动点，点，在直线左侧的抛物线上，点在的左侧，若为等腰直角三角形，，设点，的横坐标分别为，，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； （3）点是轴左侧抛物线上一点（不与点重合），过点作轴，垂足为点，直线与直线交于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）的值是定值，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设直线与轴交于点，过作直线于，过作直线于，证明，可得，，由可得，即可得出结论； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为： 点，的横坐标分别为，， ，， 设直线与轴交于点，过作直线于，过作直线于， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值是定值，； 【小问3详解】 解：当点在第二象限时，如图， 设．则， 点，点． 直线的解析式为， ， 轴， ∴轴， ， 点关于直线的对称点落在轴上， ，，， ， ， ， 解得或0（舍去）， 点的坐标为， 当点在第三象限时，如图， 同理得， ，解得或0（舍去）， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021级初中毕业班第二次诊断性检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2. 如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成，则该几何体俯视图的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解七年级（一）班学生的视力情况，适合采用抽样调查 B. 李老师想了解小菲同学4次数学模拟考试成绩的变化情况应选用折线统计图 C. 事件“乘坐公共汽车恰好有空座”是必然事件 D. 掷一枚质地均匀的硬币两次，一定有一次正面朝上 4. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 5. 数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是直径，是弦，过点作于点，交于点，连接交于点，若为的中点，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数便可换算为人的质量．已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量的关系满足函数关系式：．则下列说法不正确的是（ ）（温馨提示：，其中为电源电压） A. 当时，随的增大而减小 B. 电源电压， C. 当时，踏板上人的质量为 D. 当踏板上人的质量为时， 9. 若是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在等边中，，点，分别是，边上的动点．且，以为边向上作等边，与交于点，连接，．下列结论： ①若，则； ②； ③当点为中点时，； ④当点，分别在，边上的运动时，长度的最小值为．其中正确结论的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知实数，满足，则的值为________． 12. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小雯等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测天文现象，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小雯抽在丑时观测的概率为________． 古时 子时 丑时 寅时 卯时 今时 23:00~1:00 1:00~3:00 3:00~5:00 5:00~7:00 13. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为______． 14. 如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高______cm． 15. 如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为________． 16. 如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简再求值：，其中． 18. 如图，在中，点是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 19. 某校加强了学生对安全知识的学习，并组织学生参加《安全知识》测试（满分100分）．为了解学生对安全知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 七年级：86 88 95 90 94 95 92 97 93 100 八年级：100 98 98 89 91 98 95 93 90 89 整理数据： 成绩x（分） 年级 七年级 a 5 2 八年级 3 3 4 分析数据： 成绩x（分） 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 93.5 95 八年级 94 b c 应用数据： （1）填空： ， ， ； （2）若七年级共有500人参与答卷，请估计七年级测试成绩大于95分的人数； （3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地某小学担任安全宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率． 20. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线沿轴向左平移与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，求的面积． 22. 如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，，的反向延长线与的延长线交于点，连接与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 23. 某商店销售一款进价为20元新背包，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若该背包销售单价为30元，销售该背包每天获利多少元？ （2）设该背包销售单价为元，销售该背包每天获利为元，当为多少时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是多少元？ （3）经过试营销后，商店按（2）中单价销售，为了回馈广大顾客，同时提高该背包知名度，商店决定开展降价促销活动，若每个背包降价率为，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，求的值． 24. 在矩形中，，在边上截取，使，点为的中点．如图1，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，证明． （3）如图2，若，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点是抛物线对称轴直线上一动点，点，在直线左侧的抛物线上，点在的左侧，若为等腰直角三角形，，设点，的横坐标分别为，，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； （3）点是轴左侧抛物线上一点（不与点重合），过点作轴，垂足为点，直线与直线交于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $