精品解析：陕西省西安市东城第一中学2023-2024学年七年级下学期5月月考数学试题

七年级学业水平质量监测 数 学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. D. 2. 古城最美四月天，学科融合促发展．某校七年级开展项目式学习课程—在剪纸中感受轴对称的美．以下剪纸作品不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 7. 已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为边上一动点，连接，以为边向左侧做正方形，则正方形的面积的最小值为（ ） A. 12 B. 36 C. 24 D. 52 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜．小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为，那么，它与地面所成的较大的角的度数是______． 10. ______． 11. 远通工程队承建一条长的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度与施工时间（天）之间的关系式为______． 12. 如图，在中，平分，，则是______三角形． 13. 如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 已知，，求的值． 17. 如图，请用尺规作图的方法，在边上找一点，使得． 18. 如图，，，，试说明． 19. 先化简，再求值：，其中，，． 20. 如图，在正方形网格上有一个，且网格上最小正方形的边长为1． （1）画出关于直线的对称图形． （2）求的面积与的面积之和． 21. 如图，在等腰中，，为的中线，，，，求的度数． 22. 数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度． 23. 小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 24. 数学课上，老师布置的任务是利用三角形的内角和定理探究四边形的性质．请你思考并完成以下任务． （1）请猜想任意四边形的内角和的度数，并说明理由． （2）如图，在四边形中，，，是对角线，延长到点，且，连接．试说明． 25. 已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． （1）如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，已知，为边上一动点，，则的最小值为______． 问题探究 （2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题：如图2，正方形的边长为4，为的中点，为对角线上的动点，为上的动点，请求出的最小值．请你解决小哲提出的问题． 问题解决 （3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地，公园管理部门在内规划设置体育锻炼区域，在内设置合唱团训练区域，在处修建养生小路，要求尽可能的长，其中，，，．已知铺设小路的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级学业水平质量监测 数 学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等边对等角，可知两个底角相等，再根据三角形内角和定理，可计算出答案． 【详解】该等腰三角形的顶角为 底角为 故选：D． 2. 古城最美四月天，学科融合促发展．某校七年级开展项目式学习课程—在剪纸中感受轴对称的美．以下剪纸作品不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 是轴对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； B、不是轴对称图形，符合题意，故该选项是正确的； C、 是轴对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； D、 是轴对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：B． 3. 已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴， 即， 观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的在范围内， 故选：C． 4. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键． 根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中点， ， ， ， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式以及多项式的乘法运算，根据乘法公式与多项式的乘法运算逐项计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 7. 已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽列出函数关系式．此题主要考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为， ∴， 长方形的另一边长为， 故选：D． 8. 如图，在中，，，为边上一动点，连接，以为边向左侧做正方形，则正方形的面积的最小值为（ ） A. 12 B. 36 C. 24 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴，即， ∴， ∵为边上一动点，， ∴的最小值为的长， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜．小美同学在网上查阅资料得知，斜塔与地面所成的较小的角为，那么，它与地面所成的较大的角的度数是______． 【答案】##95度 【解析】 【分析】比萨斜塔与地面所成的较小的角是，它与地面所成的较大的角与较小的角互补，因而与地面所成的较大的角是95度．此题考查了邻补角的定义．理解较小的角与较大角的含义及两者间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：比萨斜塔与地面所成的较大的角与较小的角是邻补角，且它与地面所成的较小的角是， ∴， 比萨斜塔与地面所成的较大的角是． 故答案为：． 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 11. 远通工程队承建一条长的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度与施工时间（天）之间的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据总工程量减去已修的工程量，可得答案． 【详解】解：由题意，得 每天修30÷120＝km， ∴还未完成的公路长度与施工时间（天）之间的关系式为y＝30−x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用总工程量减去已修的工程量是解题关键． 12. 如图，在中，平分，，则是______三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 13. 如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，，连接，．此时，的周长最小，最小值为线段的长．证明是等边三角形，从而可得结论． 【详解】解：如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，， 连接，． 此时，的周长最小，最小值为线段的长． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为2． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂，零次幂，积的乘方的逆运算，先计算负整数指数幂，零次幂，积的乘方的逆运算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘除混合运算，根据几个单项式相乘，首先把各个单项式的系数相乘的积作为积的系数，然后把相同字母的幂相乘，底数不变，指数相加的和作为积里这个字母的指数，据此进行计算化简，即可作答． 【详解】解：原式 ． 16. 已知，，求的值． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值．利用完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以． 17. 如图，请用尺规作图的方法，在边上找一点，使得． 【答案】 如图，点即为所求； ． 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，先作线段的垂直平分线交于，则可得，可得，从而可得即为所求作的点． 【详解】解：略． 18. 如图，，，，试说明． 【答案】 解：∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，，再证明即可得到结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式化简求值，先把括号内通过乘法公式展开，合并同类项，再运算除法，得出，然后把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 20. 如图，在正方形网格上有一个，且网格上最小正方形的边长为1． （1）画出关于直线的对称图形． （2）求的面积与的面积之和． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）10 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，求解网格三角形的面积，掌握轴对称的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）先确定关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法与轴对称的性质可得两个三角形的面积之和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵网格上最小正方形的边长为1， ∴的面积． 由轴对称图形的性质可知，的面积与的面积相等， ∴的面积与的面积之和为． 21. 如图，在等腰中，，为的中线，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，等边对等角，先证明，，再结合平行线的性质与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，为的中线， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度． 【答案】博智楼的高度是18米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答． 【详解】解：由题意，得． ∵，， ∴． 在与中， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 答：博智楼的高度是18米． 23. 小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 【答案】 解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线法证明三角形的全等，根据延长到点，使得，连接，得出，且结合是的中线，得，证明，再通过等边对等角以及角的等量代换，即可作答． 【详解】略 24. 数学课上，老师布置的任务是利用三角形的内角和定理探究四边形的性质．请你思考并完成以下任务． （1）请猜想任意四边形的内角和的度数，并说明理由． （2）如图，在四边形中，，，是对角线，延长到点，且，连接．试说明． 【答案】（1）四边形的内角和等于，理由如下： 依题意，将四边形沿对角线分割成两个三角形， ∴四边形的内角和等于两个三角形的内角和之和． ∴四边形的内角和等于． （2） 证明：∵四边形的内角和等于，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和、三角形的内角和、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的内角和为，而四边形沿对角线分割成两个三角形，得出四边形的内角和等于，即可作答． （2）根据角的运算得出，则，证明，即可作答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 25. 已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． （1）如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1） （2）不成立． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，已知，为边上一动点，，则的最小值为______． 问题探究 （2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题：如图2，正方形的边长为4，为的中点，为对角线上的动点，为上的动点，请求出的最小值．请你解决小哲提出的问题． 问题解决 （3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地，公园管理部门在内规划设置体育锻炼区域，在内设置合唱团训练区域，在处修建养生小路，要求尽可能的长，其中，，，．已知铺设小路的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱． 【答案】（1）2 （2）的最小值为4 （3）铺设小路的费用最多需要花费41600元 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质。全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据垂线段最短以及面积公式，列式代数计算，即可作答． （2）根据正方形的性质，得出为的中点，结合垂线段最短，得出满足取最小值，根据矩形的判定与性质，得出，即可作答． （3）先以为腰向外侧作等腰三角形，，连接，易证明，即则当三点共线时，最大，的最大值为，即，结合铺设小路的费用是每米1600元，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，当时，有最小值 ∵， ∴ 解出 故答案为：2； （2）如图，作点E关于的对称点，过点作垂足为交于点 ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵为的中点， ∴为的中点， 此时满足取最小值， 则 即 ∴的最小值为4； （3）如图，以为腰向外侧作等腰三角形，，连接 ∵， ∴ 即 在和中， ∴ ∴ 所以当三点共线时，最大，的最大值为 即 ∵铺设小路的费用是每米1600元 ∴费用为（元） 答：铺设小路的费用最多需要花费41600元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $