第1章 勾股定理 培优突破练习【5个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 培优突破练习【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股定理的应用 五．平面展开−最短路径问题 考点精讲精练 一．勾股定理 · 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1．（2024春•武威期中）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•江夏区校级月考）如图，在中，斜边的长为5，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为　　 A．25 B． C． D． 3．（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•建邺区期中）如图，四边形，，，，是的中点，过点作交于，则的长为　　 A． B．15 C． D．16 5．（2023秋•新安县期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，．若，，则的值是　　 A．8 B．50 C．64 D．136 6．（2024•碑林区校级四模）如图，在中，，，于点，边上一动点，过作交的延长线于点，当四边形的面积与的面积相等时，的长度为　　 A． B． C． D． 7．（2024•寿光市二模）如果对于任意图形内的点与图形内的任意一点的连线，总在图形内部，则称点为星点．如图1中的点是星点，图2中的点不是星点．已知图3中，，，，则图3中存在星点的区域的面积是　　 A． B． C． D． 8．（2024•南京模拟）在三边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是　　 A． B． C． D． 9．（2024•新城区校级一模）如图，在中，，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•源汇区校级月考）如图，在中，，是边上的中线，，，则的长为　　 A． B．8 C． D． 11．（2021秋•启东市校级月考）如图①，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有，已知，，，为边上一个动点，点为中点，若筝形的面积为18，则的最大值为 　　． 12．（2022•天宁区校级一模）如图，在中，，以斜边为边向下作正方形，过点作交于点，过点作交于点，连结，若，，则四边形的面积为 　　． 13．如图，在四边形中，，，，，，则　　． 14．（2022•鼓楼区校级开学）在四边形中，，，，，则的长度为 　　． 15．（2018秋•上虞区期末）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积） 16．（2022•香坊区三模）如图，四边形，，对角线，，点为上一点，，连接并延长交于点，交延长线于点，，．则的长为 　　． 17．在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 　　． 18．（2018秋•南岗区校级期中）在中，为边的中点，连接，，若，则的度数为　　． 19．（2024春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　 　； （2）①当P在BC上时，CP的长为 　 　（用含t的代数式表示），t的取值范围是 　 　； ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　 　． 20．（2024春•大兴区期中）已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 21．（2023秋•北流市期末）在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若，，，求的长； （2）如图3，若，求四边形的面积； （3）如图4，若，，，直接写出的长． 二．勾股定理的证明 · 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 22．（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且，，在同一直线，则的长为　　 A． B． C．6 D．5 23．（2024•永昌县三模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为　　 A．4 B． C． D． 24．（2024春•同安区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 25．（2024春•秀屿区校级月考）意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2019春•内黄县期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形．已知为较长直角边，，则正方形的面积为 　　． 27．（2024春•横州市期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以为斜边，，为直角边的全等三角形） （1）毕达哥拉斯的证法（图（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积　　． 正方形②的面积　　． 又正方形①与正方形②的边长相等 　　　　 （2）请你写出弦图（图的另一种证法． 28．（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边、与斜边满足关系式．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． （1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点，连接，得到，三边分别为，，，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． （2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：如图③所示，这个零件符合要求吗？ 29．（2024春•江阴市期中）【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形的面积，从而得到公式：．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为 　　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若，，则图4中阴影部分的周长为 　　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，则三个正方形的面积、、满足的关系式是 　　． 三．勾股定理的逆定理 · 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 30．（2024春•桑植县期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是　　 A．1， B．9，40，41 C．2，3， D． 31．（2024春•惠州校级期中）下列条件中，不能使为直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 32．（2013春•临沂期末）已知：如图，四边形，，，，，且．则四边形的面积为　 　． 33．（2021•江西模拟）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　　． 34．（2016秋•大邑县期中）在中，、、的对边分别为，，且满足，则是　　三角形． 35．（2012春•中方县校级期中）中，三边长分别为，，，则中最小的角为　　度． 四．勾股定理的应用 · 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 36．（2024春•花都区期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是　　 A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 37．（2024春•江夏区期中）已知一轮船以18海里时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里时的速度也从港口出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？　　 A． B． C． D． 38．（2022•温州一模）图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，，，木架高．按压点旋转至点，抛杆绕点旋转至，弹绳随之拉伸至，测得，则抛杆的长为 　　．若弹绳自然状态时，点，，在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度为 　　． 39．（2023•金东区三模）如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条，，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条，一端分别与支撑条，中点连接，并且可绕固定支点与支点转动，通过转动活动条，将末端点与点分别卡入支撑条及上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条． 将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条，使得，调节活动条使得，此时活动条末端点到桌面的距离为 　　，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即，将其放置到上述状态电脑支架上，使点与点重合，此时点恰好与点重合，开合电脑显示屏，点到桌面的最大高度是 　　． 40．（2023秋•宁阳县期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即，消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即高的处救人后，还要从（即高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 41．（2024春•珠海期中）小莉在白莲洞公园划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以一定的速度收绳．当绳长为8米时船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 42．（2023秋•邗江区期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 43．（2023秋•儋州期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题： （1）四边形的面积； （2）点到的距离． 44．（2024春•无为市月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且． （1）若点、到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 45．（2024春•临县月考）攀岩爱好者小霞想知道某攀岩墙的高度，她将安全绳过开，当绳子底端刚好在地面上时，绳子底端到攀岩墙的距离为．小霞询问教练后得知安全绳的长度为，请你帮小霞求墙高．（结果保留根号） 46．（2024春•大连月考）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.6米． （1）求风筝到地面的距离线段的长； （2）如果小龙想要风筝沿方向再上升11米，和的长度不变，则他应该再放出多少米线？ 47．（2024春•临县月考）某中学有一块四边形空地需要绿化，李老师将空地绿化费用预算的任务交给蓝天小组，小组的同学们把“空地绿化的合理预算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算绿化这块空地所需的费用． 课题 空地绿化的合理预算 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①在四边形ABCD中，AB⊥BC，相关长度如图所示． ②每平方米的绿化费用为100元． 计算结果 …… 48．（2024春•思明区校级期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． （1）若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑2米，那么点将向外移动多少米？ （2）若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 五．平面展开−最短路径问题 · 平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 49．（2024春•嘉祥县期中）如图，一圆柱高，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 50．（2024春•安次区月考）如图，一个圆柱的底面半径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则移动的最短距离为　　 A．10 B．12 C．14 D．20 第1章 勾股定理 培优突破练习【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．勾股定理 1．（2024春•武威期中）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】证明，得到四边形的面积的面积，得出空白部分的面积正方形的面积的面积，①，，②，由①和②得，即可得出答案． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 空白部分的面积正方形的面积的面积， ①， ， ， ， ， ②， 由①和②得， （舍去负值）． 故选：． 2．（2024春•江夏区校级月考）如图，在中，斜边的长为5，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为　　 A．25 B． C． D． 【答案】 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出． 【解答】解：为等腰直角三角形， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ． 故选：． 3．（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知． 解得． 的面积为． 故选：． 4．（2024春•建邺区期中）如图，四边形，，，，是的中点，过点作交于，则的长为　　 A． B．15 C． D．16 【答案】 【分析】延长，交于，由，推出，令，由勾股定理得到，求出，得到，，，由推出，即可求出的长． 【解答】解：延长，交于， ， ， ， ， ， ，， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 5．（2023秋•新安县期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，．若，，则的值是　　 A．8 B．50 C．64 D．136 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【解答】解：连接， 根据勾股定理可得，， 即， ， 故选：． 6．（2024•碑林区校级四模）如图，在中，，，于点，边上一动点，过作交的延长线于点，当四边形的面积与的面积相等时，的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，，得，，由，得，得，由四边形的面积与的面积相等，得与面积比，得，即，由，得． 【解答】解：，， ，， ， ， ， 四边形的面积与的面积相等， 与面积比， ，即， ， ． 故选：． 7．（2024•寿光市二模）如果对于任意图形内的点与图形内的任意一点的连线，总在图形内部，则称点为星点．如图1中的点是星点，图2中的点不是星点．已知图3中，，，，则图3中存在星点的区域的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长、，分别交于，点，经过计算分析，点只能在内，此时无论点在哪里，线段都只经过图形内部，星点的区域为，再根据面积公式进行计算即可． 【解答】解：如图所示：延长、，分别交于，点， ，， （直角三角形所对的直角边是斜边的一半）， 点和点重合， ， ， 是等边三角形， 当点在内时，当点在线段附近时线段无法经过图形内部；同理当点在四边形内时，当点在线段附近时线段无法经过图形内部， 因此点只能在内，此时无论点在哪里，线段都只经过图形内部，星点的区域为， ，， ， 且是等边三角形， ， ， ， ． 故选：． 8．（2024•南京模拟）在三边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由三角形的三边关系定理得到，由不等式的性质得到，由；，，是正数，得到，因此，得到，由勾股定理得：． 【解答】解：、，正确，故不符合题意； 、由，，得到，故不符合题意； 、由；，，是正数，得到，因此，所以，得到，故符合题意； 、由勾股定理得：，故不符合题意． 故选：． 9．（2024•新城区校级一模）如图，在中，，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设，则， ， ， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， 故选：． 10．（2024春•源汇区校级月考）如图，在中，，是边上的中线，，，则的长为　　 A． B．8 C． D． 【答案】 【分析】根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出，再用勾股定理求出，根据中线的定义求出，最后用勾股定理解直角即可． 【解答】解：，，， ， ， 是边上的中线， ， ， 故选：． 11．（2021秋•启东市校级月考）如图①，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有，已知，，，为边上一个动点，点为中点，若筝形的面积为18，则的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】由四边形是筝形得：，及，当取最小值时，有最大值，当时，取到最小值为36，即求得，由即可求得的最大值． 【解答】解：如图， 是筝形， ， ， 当取最小值时，有最大值， ，，， ，， ， 是直角三角形， 为边上的一个动点， 当时，取到最小值， 的最小值为：， ， ， 在中，点为的中点， ， 当取最大值时，有最大值， 的最大值为， 故答案为． 12．（2022•天宁区校级一模）如图，在中，，以斜边为边向下作正方形，过点作交于点，过点作交于点，连结，若，，则四边形的面积为 　81　． 【答案】81． 【分析】由四边形是正方形得，由，证明四边形是平行四边形，则，所以，再证明，得，设，，则，根据勾股定理得，可求出的值为9，即，而，四边形是平行四边形，即可求出四边形的面积． 【解答】解：四边形是正方形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ，且四边形是平行四边形， ， 四边形的面积是81， 故答案为：81． 13．如图，在四边形中，，，，，，则　15　． 【分析】如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，作于．解直角三角形求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，作于． ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为15． 14．（2022•鼓楼区校级开学）在四边形中，，，，，则的长度为 　　． 【答案】． 【分析】以为边作等边，连接并延长至，使，连接、，由，，得是的垂直平分线，即有，是中点，证明，可得，，可得是等边三角形，根据，知是的垂直平分线，从而，设，则，，在中，，解得，用勾股定理即得． 【解答】解：以为边作等边，连接并延长至，使，连接、，如图： ，， 是的垂直平分线， ，是中点， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 是的平分线， 是的垂直平分线， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ， ． 故答案为：． 15．（2018秋•上虞区期末）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　6　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积） 【分析】如图，连接，作于，设交于，交于．证明，推出，由，推出，，共线，由四边形是矩形，推出，证明，推出，由，，可证，推出， 【解答】解：如图，连接，作于，设交于，交于． ， ， ，， ， ， ， ，，共线， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ，可证， ， 解法二：， ， 故答案为6． 16．（2022•香坊区三模）如图，四边形，，对角线，，点为上一点，，连接并延长交于点，交延长线于点，，．则的长为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据平行线的性质及等腰直角三角形的性质证明，设，，则，，证明，列比例式可得①，再利用勾股定理可得②，将两式相加整理化简可求解，即可求得的长，再利用勾股定理可求解值，即可求得的长． 【解答】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， ，， ， ， 即， ①， 在中，， 即②， ①②得， 整理得， 解得，（舍去）， ， ， ， ． 故答案为：2． 17．在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 　　． 【分析】如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长； 【解答】解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， 在中，，， ，， 在中，． 故答案为． 18．（2018秋•南岗区校级期中）在中，为边的中点，连接，，若，则的度数为　或　． 【答案】或； 【分析】通过构造以点为圆心，为半径的圆，得到，在通过构造以为圆心，以为半径的圆，进行分类讨论． 【解答】解：为的中点， ． 如图，以点为圆心，为半径画圆，交于点，连接交于点，连接，， ． ． ． ． ，． ． 如图，以为圆心，以为半径画圆，交于点， ． ． 当点与点重合时． ． ． ，． 是等边三角形． ． 当与重合时，如图，则． ，． ． 综上所述度数为：或． 故答案为：或． 19．（2024春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　8　； （2）①当P在BC上时，CP的长为 　3t﹣17　（用含t的代数式表示），t的取值范围是 　　； ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　或　． 【答案】（1）8； （2）①3t﹣17，； ②或． 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）①根据点P的运动路径及速度可表示出CP，根据P在BC上，可得t的取值范围； ②分两种情况讨论． 【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝＝8， 故答案为：8； （2）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17， ∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17， ∵AC≤3t≤AC+BC， ∴≤t≤， 故答案为：3t﹣17，≤t≤； ②当点P在∠BCA 的角平分线上时，如图所示，过点P作PE⊥AC于E， ， ∴∠PEA＝∠PEC＝90°， ∵CP平分∠BCA， ∴∠BCP＝∠ECP， ∵∠PEC＝∠B＝90°，CP＝CP， ∴△BCP≌△ECP（AAS）， ∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2， 设AP＝x，则BP＝8﹣x， 由勾股定理得，AP2＝EP2+EA2， ∴x2＝（8﹣x）2+22， 解得：x＝， ∴AP＝，即40﹣3t＝， 解得：t＝， 点P与点C重合时，点P在∠BCA的平分线上， 此时t＝， 故答案为：或． 20．（2024春•大兴区期中）已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 【答案】． 【分析】由直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，即可得另一条直角边的长． 【解答】解：由直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是， 得另一条直角边的长． 21．（2023秋•北流市期末）在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若，，，求的长； （2）如图3，若，求四边形的面积； （3）如图4，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可以求得的长； （2）根据三角形的面积公式，可以计算出四边形的面积； （3）先证明，然后即可计算出的长． 【解答】解：（1）， 为等腰三角形． ， 为的垂直平分线， ． ， ； （2）， ． （3）， ，，，， ， ， ， ，，， ， 解得． 二．勾股定理的证明 22．（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且，，在同一直线，则的长为　　 A． B． C．6 D．5 【答案】 【分析】利用勾股定理即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， 点是的中点， ，， ， 故选：． 23．（2024•永昌县三模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为　　 A．4 B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，根据正方形的性质、全等三角形的性质可得，又为的中点，从而，故，由，进而，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，，，，，， ． 点为的中点， ． ，． ，即． ． ，即． 设， ． 或（舍去）． 故选：． 24．（2024春•同安区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据勾股定理求出等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出的值，求即可解． 【解答】解：大正方形的面积是29，小正方形的面积是9． 一个小三角形的面积是．三角形的斜边为． ．． ． ． 故选：． 25．（2024春•秀屿区校级月考）意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项符合题意，选项、、不符合题意． 故选：． 26．（2019春•内黄县期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形．已知为较长直角边，，则正方形的面积为 　36　． 【分析】设．．则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题． 【解答】解：设．．则正方形的面积 由题意可知， ， ， ， 正方形的面积为4， ， 正方形的面积， 故答案为：36 27．（2024春•横州市期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以为斜边，，为直角边的全等三角形） （1）毕达哥拉斯的证法（图（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积　　． 正方形②的面积　　． 又正方形①与正方形②的边长相等 　　　　 （2）请你写出弦图（图的另一种证法． 【答案】（1），，，； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【解答】（1）证明：正方形①的面积 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 28．（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边、与斜边满足关系式．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形． （1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点，连接，得到，三边分别为，，，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． （2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：如图③所示，这个零件符合要求吗？ 【答案】（1）见解答； （2）这个零件不符合要求． 【分析】（1）连接，由图1可得正方形的面积为，由图2可得四边形的面积为三角形与三角形面积之和，再利用正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （2）利用反证法，根据勾股定理的逆定理验证，是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． （2）解：这个零件不符合要求． 理由如下：连接，如图， 由勾股定理逆定理，知只有当时，和都是直角， ， ， 且， ， 所以和不可能都是直角． 因此，这个零件不符合要求． 29．（2024春•江阴市期中）【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形的面积，从而得到公式：．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为 　1　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若，，则图4中阴影部分的周长为 　　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，则三个正方形的面积、、满足的关系式是 　　． 【答案】【回顾旧知】推理见解析； 【拓展应用】①1； ②36； ③． 【分析】【回顾旧知】从整体看，大正方形的边长为，那么面积为，从大正方形的构成看，是由四个直角边长为、的直角三角形和一个边长为的小正方形组成，从两个不同的角度计算出大正方形的面积，整理可得勾股定理； 【拓展应用】①小正方形的边长为，则小正方形的面积为，根据所给条件先判断出的值，进而可得小正方形的面积； ②根据勾股定理可得的长，进而根据阴影部分的周长，计算即可； ③分别表示出三个正方形的面积，整理可得三个正方形的面积、、满足的关系式． 【解答】解：【回顾旧知】大正方形的边长为， 大正方形的面积为． 大正方形由四个直角边长为、的直角三角形和一个边长为的小正方形组成， 大正方形的面积为：． ． ． ． 【拓展应用】①大正方形的面积是25， ． ． ， ． ． ． ， 小正方形的面积为1． 故答案为：1； ②，， ． 由题意得：， ． 阴影部分的周长． 故答案为：36； ③由题意得：，，， ． 故答案为：． 三．勾股定理的逆定理 30．（2024春•桑植县期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是　　 A．1， B．9，40，41 C．2，3， D． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形． 【解答】解：、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选符合题意． 故选：． 31．（2024春•惠州校级期中）下列条件中，不能使为直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，能够成直角三角形，不符合题意； 、，能够成直角三角形，不符合题意； 、，能够成直角三角形，不符合题意； 、，，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：． 32．（2013春•临沂期末）已知：如图，四边形，，，，，且．则四边形的面积为　　． 【分析】连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积． 【解答】解：连接， 是直角三角形 在中 是直角三角形． 四边形的面积为． 则四边形的面积为． 33．（2021•江西模拟）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　3.6或4.32或4.8　． 【分析】在中，通过解直角三角形可得出，，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 【解答】解：在中，，，， ，． 沿过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当时，如图①所示， ； ②当，且在上时，如图②所示， 作的高，则， ， ， ； ③当时，如图③所示， ； ④当时，点在线段的垂直平分线上， 根据平行线分线段成比例定理得点是的中点， 是斜边上的中线， ， 此时也是等腰三角形，不符合题意，舍去． 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8． 故答案为3.6或4.32或4.8． 34．（2016秋•大邑县期中）在中，、、的对边分别为，，且满足，则是　等腰直角　三角形． 【分析】首先根据非负数的性质求出，，进而判断出的形状． 【解答】解：， ，， ， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为等腰直角． 35．（2012春•中方县校级期中）中，三边长分别为，，，则中最小的角为　30　度． 【分析】此题利用勾股定理的逆定理和直角三角形的性质进行求解． 【解答】解：中，三边长分别为，，， ， 是直角三角形， 又， 中最小的角为边所对的角， ，， ， 中最小的角为30度． 四．勾股定理的应用 36．（2024春•花都区期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是　　 A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】 【分析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【解答】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． 该河的宽度为24米． 故选：． 37．（2024春•江夏区期中）已知一轮船以18海里时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里时的速度也从港口出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意画出图形，再由勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图， 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 在中，根据勾股定理得：（海里）． 故选：． 38．（2022•温州一模）图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，，，木架高．按压点旋转至点，抛杆绕点旋转至，弹绳随之拉伸至，测得，则抛杆的长为 　　．若弹绳自然状态时，点，，在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度为 　　． 【答案】，． 【分析】（1）延长交的延长线于，证明，从而得出，的值，进而解直角三角形，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 延长交的延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 为， 故答案为：，． 39．（2023•金东区三模）如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条，，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条，一端分别与支撑条，中点连接，并且可绕固定支点与支点转动，通过转动活动条，将末端点与点分别卡入支撑条及上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条． 将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条，使得，调节活动条使得，此时活动条末端点到桌面的距离为 　　，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即，将其放置到上述状态电脑支架上，使点与点重合，此时点恰好与点重合，开合电脑显示屏，点到桌面的最大高度是 　　． 【答案】；． 【分析】①根据题上条件，依据勾股定理先求出长，再算出长，利用求出活动条末端点到桌面的距离即可； ②如图4，当时，点到桌面的高度最大，作于点，延长交于点，作于点，作于点，交于点，交于点，作于点，辅助线构造直角三角形，矩形．根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求出，根据矩形性质，求出，根据勾股定理求出，面积法求出，再用勾股定理求出、解直角三角形求出、，进而求出，，再根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求出，进而求出、，再根据三角形中位线定理，求出，即可求解的值，即点到桌面的最大高度． 【解答】解：①，，， ， ， 又， 活动条末端点到桌面的距离； ②如图4，当时，点到桌面的高度最大， 作于点，延长交于点，作于点，作于点，交于点，交于点，作于点， 在中，，， ， ，，，， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ，，，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 即点到桌面的最大高度是． 故答案为：；． 40．（2023秋•宁阳县期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即，消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即高的处救人后，还要从（即高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】． 【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，，，，，，点、、三点共线， ，， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ． 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 41．（2024春•珠海期中）小莉在白莲洞公园划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以一定的速度收绳．当绳长为8米时船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了． 【分析】根据勾股定理求出、的长，即可得出结论． 【解答】解：在中，，，，， ， ， ， 答：船向岸边移动了． 42．（2023秋•邗江区期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【分析】设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设尺， 尺，尺， （尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 整理得：，即， 解得：． 则秋千绳索的长度为14.5尺． 43．（2023秋•儋州期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题： （1）四边形的面积； （2）点到的距离． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由，列式计算即可； （2）过点作于点，由三角形面积求出的长即可． 【解答】解：（1）如图1，连接， ，，， ， ， ， 是直角三角形，且， ， 答：四边形土地的面积为； （2）如图2，过点作于点， 由（1）可知，是直角三角形，， ， ， 答：点到的距离为． 44．（2024春•无为市月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且． （1）若点、到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设 ，则 ，根据题意得，，结合勾股定理，即可求得； （2）由题意得和，可证，则有，即可求得，进一步求得点距离地面的高． 【解答】解：（1）设 ，则 ， 点、到地面的距离是分别是、， （米， 则， ，（米， ， ，解得． 答：秋千的长度为． （2），， ， ， ，， ， ， 则（米， 那么距离地面的高． 答：爸爸在距离地面高的地方接住小丽的． 45．（2024春•临县月考）攀岩爱好者小霞想知道某攀岩墙的高度，她将安全绳过开，当绳子底端刚好在地面上时，绳子底端到攀岩墙的距离为．小霞询问教练后得知安全绳的长度为，请你帮小霞求墙高．（结果保留根号） 【答案】墙高． 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在中，，， ， 答：墙高． 46．（2024春•大连月考）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.6米． （1）求风筝到地面的距离线段的长； （2）如果小龙想要风筝沿方向再上升11米，和的长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）8.6米； （2）5米． 【分析】（1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【解答】解：（1）在中，，，， ， ， 则； 答：风筝到地面的距离线段的长为8.6米； （2）风筝沿方向再上升11米后，则， 此时在中，，，， ， 风筝线的长， （米， 答：他应该再放出5米的风筝线． 47．（2024春•临县月考）某中学有一块四边形空地需要绿化，李老师将空地绿化费用预算的任务交给蓝天小组，小组的同学们把“空地绿化的合理预算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算绿化这块空地所需的费用． 课题 空地绿化的合理预算 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①在四边形ABCD中，AB⊥BC，相关长度如图所示． ②每平方米的绿化费用为100元． 计算结果 …… 【答案】14400元． 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，利用两个直角三角形面积的和求出四边形ABCD的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵AC2+CD2＝102+242＝676＝262＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝， ∴144×100＝14400（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为14400元． 48．（2024春•思明区校级期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． （1）若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑2米，那么点将向外移动多少米？ （2）若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【答案】（1）点将向外移动2米； （2）不相等；顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 【分析】（1）由勾股定理求出米，再由勾股定理求出米，即可解决问题； （2）设米顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米，利用勾股定理可得，再由偶次方的非负性可得，进而可求解． 【解答】解：（1）如图，由题意可知，，， 在中，由勾股定理得：（米， 米， 米， （米， 在△中，由勾股定理得：（米， （米， 答：点将向外移动2米； （2）不相等．理由如下： ，， 是等腰直角三角形， 米， 设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 五．平面展开−最短路径问题 49．（2024春•嘉祥县期中）如图，一圆柱高，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将圆柱展开，然后利用勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，将圆柱展开： 圆柱高，底面周长为， ，， 根据勾股定理得：， 即爬行的最短路程是， 故选：． 50．（2024春•安次区月考）如图，一个圆柱的底面半径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则移动的最短距离为　　 A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】 【分析】先把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长． 【解答】解：如图所示， 在圆柱中，底面半径为，， 展开图中，，， ． 故选：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$