第2章 实数 基础题过关检测（16个考点50题专练）-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第2章 实数 基础题过关检测【16个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．算术平方根 二．非负数的性质：算术平方根 三．立方根 四．计算器—数的开方 五．无理数 六．实数 七．实数的性质 八．实数与数轴 九．实数大小比较 一十．估算无理数的大小 一十一．实数的运算 一十二．二次根式的性质与化简 一十三．二次根式的乘除法 一十四．二次根式的加减法 一十五．二次根式的混合运算 一十六．二次根式的化简求值 考点精讲精练 一．算术平方根 · 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1．（2024春•五莲县期中）一个正数的平方根是与，则的值是 　　． 2．（2024春•大观区校级月考）计算的结果是 　　． 3．（2024春•志丹县月考）已知，． （1）若的算术平方根为3，求的值． （2）若一个正数的两个平方根分别为，，求这个正数． 二．非负数的性质：算术平方根 · 非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 4．（2024春•古蔺县期中）已知，那么的值为 　　． 5．（2024春•凉州区期中）已知满足． （1）求，的值； （2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简． 三．立方根 · 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 6．（2024•曹妃甸区模拟）设，则　　 A． B． C． D． 四．计算器—数的开方 · 计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 7．（2024春•南康区期中）利用计算器，得，，，，按此规律，可得的值约为 　　． 五．无理数 · 无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 8．（2024春•恩施市期中）在实数，0.31，，0.1010010001，中，无理数有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023秋•衡阳期末）有下列各数：（相邻两个3之间0的个数逐次增加，其中无理数有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（2024春•香河县期中）下列各数中，是无理数的是　　 A． B． C． D． 六．实数 · 实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 11．（2024春•大观区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．有理数和数轴上的点一一对应 B．无理数包括正无理数、负无理数和零 C．实数都能用数轴上的点表示 D．带根号的数都是无理数 七．实数的性质 · 实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 12．（2024春•游仙区月考）若，则　　 A． B． C． D．4 八．实数与数轴 · 实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 13．（2024•凉州区二模）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点逆时针旋转，使点落到数轴上的点处，则点在数轴上所对应的数为　　 A． B． C． D． 14．（2024春•荆州月考）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 15．（2024春•西城区校级期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是　　 A．5.2 B． C． D． 16．（2024•曹妃甸区模拟）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为， （1）求的值． （2）求的值． 九．实数大小比较 · 实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 17．（2024•洛阳二模）下列各数中最大的数是　　 A． B．0 C． D． 18．（2024春•思明区校级期中）（1）　　； （2）9的算术平方根是 　　； （3）　　； （4）比较大小： 　　． 19．（2024春•莱西市月考）比较实数的大小： 　　．（填“”“ ”或“” 20．（2024春•京山市期中）写出一个比大的负无理数是　 　． 一十．估算无理数的大小 · 估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 21．（2024•福州模拟）若，则整数的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 22．（2024•沙坪坝区校级一模）估计的值应该在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 23．（2024•玄武区一模）下列整数中，与最接近的是　　 A． B． C． D． 24．（2024春•江夏区校级期中）与最接近的整数为：　　． 25．（2024春•安次区月考）若的整数部分为，小数部分为，则　　，代数式的值是 　　． 26．（2024•海南一模）与最接近的正整数是 　 　． 一十一．实数的运算 · 实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 27．（2024春•原阳县期中）计算：　　． 28．（2024•大渡口区模拟）计算：　　． 29．（2024春•惠阳区校级期中）（1）计算：； （2）解方程． 30．（2024春•林州市期中）计算： （1）； （2）． 31．（2024春•海淀区校级期中）计算或解方程： （1）； （2）． 一十二．二次根式的性质与化简 · 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 32．（2024春•大观区校级期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 33．（2024•武威二模）若某三角形的三边长分别为2，5，，则化简的结果为 　　． 一十三．二次根式的乘除法 · 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 34．（2024春•北碚区校级月考）估计的值在　　 A．14到14.5之间 B．14.5到15之间 C．15到15.5之间 D．15.5到16之间 一十四．二次根式的加减法 · 二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 35．（2024春•临县月考）玲玲在完成计算题时，发现“□”处的符号模糊不清，同桌洋洋告诉她，答案为有理数，则“□”的符号为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 36．（2024春•江城区期中）计算：． 一十五．二次根式的混合运算 · 二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 37．（2024春•武威期中）估计的值应在　　 A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 38．（2024春•海淀区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 39．（2024春•武昌区校级月考）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 40．（2024春•林州市期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 41．（2024春•淮滨县期中）计算 （1）； （2）． 42．（2024春•聊城月考）计算 （1）； （2）． 43．（2024春•淮北月考）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． （1）利用有理化因式化简，其结果为 　　． （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 44．（2024春•光泽县校级月考）计算： （1）； （2）． 45．（2024春•忻府区期中）计算： （1）； （2）． 46．（2024春•海淀区校级期中）计算： （1）； （2）． 47．（2024春•离石区月考）像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如和，与都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如；． 请完成下列问题： （1）分母有理化：①　　，②　　． （2）计算：； （3）． 48．（2024春•香洲区校级期中）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：，． 【知识运用】 （1）把下列各式的分母有理化： ①； ②； （2）化简：． 一十六．二次根式的化简求值 · 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 49．（2024春•垫江县校级月考）已知，则　　． 50．（2024春•庐江县校级月考）已知，，则　　；　　． 第2章 实数 基础题过关检测【16个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．算术平方根 1．（2024春•五莲县期中）一个正数的平方根是与，则的值是 　7　． 【答案】7． 【分析】根据平方根的性质列出方程，求出的值，再求． 【解答】解：一个正数的平方根是与， ， 解得：， 这个数为， ， 故答案为：7． 2．（2024春•大观区校级月考）计算的结果是 　　． 【答案】． 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【解答】解： ； 故答案为：． 3．（2024春•志丹县月考）已知，． （1）若的算术平方根为3，求的值． （2）若一个正数的两个平方根分别为，，求这个正数． 【答案】（1）； （2）25． 【分析】（1）先由的算术平方根为3，得出，进而求出的值，即可作答． （2）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行列式，即，解得的值，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，的算术平方根为3， ， 即， ． （2）根据题意得， 即， ， ， 这个正数为． 二．非负数的性质：算术平方根 4．（2024春•古蔺县期中）已知，那么的值为 　1　． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 5．（2024春•凉州区期中）已知满足． （1）求，的值； （2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）根据完全平方式和绝对值的非负性质求出、的值即可； （2）利用三角形的三边关系化简即可． 【解答】解：（1）， ， ， ，； （2）、、为三角形的三边长， ， ，， ． 三．立方根 6．（2024•曹妃甸区模拟）设，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，即可得出结论． 【解答】解：，，且， ， ， ， ． ． 故选：． 四．计算器—数的开方 7．（2024春•南康区期中）利用计算器，得，，，，按此规律，可得的值约为 　22.36　． 【分析】由已知数据得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此求解可得． 【解答】解：由题意知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：22.36． 五．无理数 8．（2024春•恩施市期中）在实数，0.31，，0.1010010001，中，无理数有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数，据此解答． 【解答】解：无理数就是无限不循环小数， 无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数， 所以无理数是：，，共3个． 故选：． 9．（2023秋•衡阳期末）有下列各数：（相邻两个3之间0的个数逐次增加，其中无理数有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【解答】解：（相邻两个3之间0的个数逐次增加，是无理数，共有3个， 故选：． 10．（2024春•香河县期中）下列各数中，是无理数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【解答】解：、，是有理数，不符合题意； 、，是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 故选：． 六．实数 11．（2024春•大观区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．有理数和数轴上的点一一对应 B．无理数包括正无理数、负无理数和零 C．实数都能用数轴上的点表示 D．带根号的数都是无理数 【答案】 【分析】根据实数的性质和分类进行逐项判断即可． 【解答】解：．实数和数轴上的点一一对应，故选项错误，不符合题意； ．无理数包括正无理数、负无理数，故选项错误，不符合题意； ．实数都能用数轴上的点表示，故选项正确，符合题意； ．带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，故选项错误，不符合题意． 故选：． 七．实数的性质 12．（2024春•游仙区月考）若，则　　 A． B． C． D．4 【答案】 【分析】根据实数的绝对值求解即可． 【解答】解：， ， 故选：． 八．实数与数轴 13．（2024•凉州区二模）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点逆时针旋转，使点落到数轴上的点处，则点在数轴上所对应的数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出的长，从而求得点在数轴上所对应的数． 【解答】解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 即， 点表示的数为，点在点的左边， 点表示的数为， 故选：． 14．（2024春•荆州月考）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，得出，表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可． 【解答】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ，， 解得，， ， ，， ，即， 故选：． 15．（2024春•西城区校级期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是　　 A．5.2 B． C． D． 【答案】 【分析】求出圆的半径，再根据以表示3的点为圆心，求得点表示的数． 【解答】解：圆的半径， 点表示的数为， 故选：． 16．（2024•曹妃甸区模拟）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为， （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）； （2）5． 【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出的值； （2）主要将的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可． 【解答】解：（1）蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位到达点， 点所表示的数比点表示的数大2， 点表示，点所表示的数为， ； （2） ． 九．实数大小比较 17．（2024•洛阳二模）下列各数中最大的数是　　 A． B．0 C． D． 【答案】 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：， 最大的数是：． 故选：． 18．（2024春•思明区校级期中）（1）　2　； （2）9的算术平方根是 　　； （3）　　； （4）比较大小： 　　． 【答案】（1）2；（2）3；（3）；（4）． 【分析】（1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据化简绝对值即可； （4）由，即可得到． 【解答】解：（1）， 故答案为：2； （2）9的算术平方根是3， 故答案为：3； （3）， 故答案为：； （4）， ， 故答案为：． 19．（2024春•莱西市月考）比较实数的大小： 　　．（填“”“ ”或“” 【答案】． 【分析】先平方，然后比较大小即可． 【解答】解：，均为正数且，，， ， 故答案为：． 20．（2024春•京山市期中）写出一个比大的负无理数是　　． 【分析】本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案． 【解答】解：写一个比大的负无理数， 首先写出一个数是无理数，再写出它是负数， 如； 故答案为：． 一十．估算无理数的大小 21．（2024•福州模拟）若，则整数的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据题意列不等式组，求出得范围，又因为是整数，即可得出得值． 【解答】解：根据题意解不等式组， 得， 是整数， ． 故选：． 22．（2024•沙坪坝区校级一模）估计的值应该在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】 【分析】先根据二次根式混合运算的法则进行计算，再运用估算无理数大小的方法进行求解即可． 【解答】解：原式 ， ， ， ， 估计的值应该在4和5之间， 故选：． 23．（2024•玄武区一模）下列整数中，与最接近的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，可知然后作答即可． 【解答】解：， ，即， ， 与最接近的整数为， 故选：． 24．（2024春•江夏区校级期中）与最接近的整数为：　7　． 【答案】7． 【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解． 【解答】解：，， 且， ， 与最接近的整数为7， 故答案为：7． 25．（2024春•安次区月考）若的整数部分为，小数部分为，则　　，代数式的值是 　　． 【答案】，2． 【分析】由题意知，，则，，，然后代入求解即可． 【解答】解：由题意知，， ，， ，， ， 故答案为：，2． 26．（2024•海南一模）与最接近的正整数是 　1　． 【答案】1． 【分析】根据，进而可得，则可求解． 【解答】解：∵1＜2＜4， ∴， ∴， ∴与最接近的正整数是1， 故答案为：1． 一十一．实数的运算 27．（2024春•原阳县期中）计算：　　． 【答案】． 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 28．（2024•大渡口区模拟）计算：　3　． 【答案】3． 【分析】化简绝对值，零指数幂，然后再计算即可． 【解答】解：． 故答案为：3． 29．（2024春•惠阳区校级期中）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ； （2）， ， ， 或． 30．（2024春•林州市期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解：（1） ． （2） ． 31．（2024春•海淀区校级期中）计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）或． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用平方根的意义进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2）， ， ， 或． 一十二．二次根式的性质与化简 32．（2024春•大观区校级期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解． 【解答】解：．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项正确，符合题意； ．，该选项不正确，不符合题意； 故选：． 33．（2024•武威二模）若某三角形的三边长分别为2，5，，则化简的结果为 　5　． 【答案】5． 【分析】根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值得出，再合并同类项即可． 【解答】解：三角形的三边长分别为2，5，， ， ， ． 故答案为：5． 一十三．二次根式的乘除法 34．（2024春•北碚区校级月考）估计的值在　　 A．14到14.5之间 B．14.5到15之间 C．15到15.5之间 D．15.5到16之间 【答案】 【分析】先运算二次根式，得，再进行的估算，即可作答． 【解答】解：， ，， 则， 故选：． 一十四．二次根式的加减法 35．（2024春•临县月考）玲玲在完成计算题时，发现“□”处的符号模糊不清，同桌洋洋告诉她，答案为有理数，则“□”的符号为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法，乘除法法则计算得出结果，即可判断． 【解答】解：当“□”的符号为“”时，，结果为有理数； 当“□”的符号为“”时，，结果不是有理数； 当“□”的符号为“”时，，结果为有理数； 当“□”的符号为“”时，，结果不是有理数； 故选：． 36．（2024春•江城区期中）计算：． 【答案】． 【分析】先根据去括号法则去掉括号，再把二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 一十五．二次根式的混合运算 37．（2024春•武威期中）估计的值应在　　 A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】 【分析】先化简，然后估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解： ， ， ， 故选：． 38．（2024春•海淀区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式混合运算的计算法则进行解答即可． 【解答】解：，故此选项符合题意； ，故此选项不符合题意； ，故此选项不符合题意； ，不能进行计算，故此选项不符合题意． 故选：． 39．（2024春•武昌区校级月考）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二次根式的运算法则和性质逐一判断即可求解． 【解答】解：、与不能进行计算，则错误，故不符合题意； 、，则错误，故不符合题意； 、，则错误，故不符合题意； 、，则正确，故符合题意； 故选：． 40．（2024春•林州市期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：不能合并，故选项错误， ，故选项错误， ，故选项错误， ，故选项正确， 故选：． 41．（2024春•淮滨县期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 42．（2024春•聊城月考）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）1． 【分析】（1）先分别计算算术平方根，再合并即可； （2）按照二次根式的乘除混合运算的运算法则从左往右进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 43．（2024春•淮北月考）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． （1）利用有理化因式化简，其结果为 　　． （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】（1）； （2）2024． 【分析】（1）根据题中阅读材料的方法，分子分母同时乘以，运用二次根式混合运算法则求解即可得到答案； （2）根据题中阅读材料的方法，利用分母有理化将分母中的根式去掉，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ． 44．（2024春•光泽县校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可； （2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 45．（2024春•忻府区期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘方，乘法，再算加减即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 46．（2024春•海淀区校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 47．（2024春•离石区月考）像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如和，与都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如；． 请完成下列问题： （1）分母有理化：①　　，②　　． （2）计算：； （3）． 【答案】（1），； （2）； （3）2028． 【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子； （3）根据题意，对所求式子变形即可求得数值． 【解答】解：（1）①， ②； 故答案为：，； （2） ； （3） ． 48．（2024春•香洲区校级期中）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：，． 【知识运用】 （1）把下列各式的分母有理化： ①； ②； （2）化简：． 【答案】（1）①； ②； （2）2． 【分析】（1）①把分式的分子与分母同时乘以即可； ②把分式的分子与分母同时乘以即可； （2）把分式的分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）① ； ② ； （2） ． 一十六．二次根式的化简求值 49．（2024春•垫江县校级月考）已知，则　9　． 【答案】9． 【分析】先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：， ， 故答案为：9． 50．（2024春•庐江县校级月考）已知，，则　11　；　　． 【答案】11，14． 【分析】先根据题意求出与的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：，， ， ， ； ． 故答案为：11，14． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$