专题1 二次根式（专题检测）-2023-2024学年浙教版数学八年级下期末专题突破

专题01 二次根式 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•沈丘县期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•惠安县期末）化简的结果正确的是（　　） A．3 B．3 C．4 D．2 3．（2024•青山湖区模拟）若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•花都区期中）下列式子中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•永善县一模）若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•硚口区期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•青岛期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（　　） A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10 9．（2024春•横州市期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 10．（2024春•横州市期中）下列选项中计算正确的是（　　） A． B． C． D．÷＝ 11．（2024春•横州市期中）计算的结果是（　　） A． B．4 C．﹣4 D． 二．填空题 12．（2024春•武汉期中）＝　　，＝　　，的相反数是 　　． 13．（2024春•慈溪市期中）计算：＝　　；＝　　． 14．（2024•胶州市一模）＝　　． 15．（2024•凤城市一模）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　　． 16．（2024春•天河区校级期中）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则该三角形的周长为 　　． 17．（2023秋•松北区期末）已知，则代数式a2﹣b2＝　　． 18．（2024春•海淀区校级期中）如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，3，则图中阴影部分的面积等于 　　． 三.解答题 19．（2023秋•中牟县期末）计算： （1）； （2）． 20．（2023秋•山亭区期末）计算： （1）﹣3+|2﹣|； （2）÷﹣×+． 21．（2023秋•洛阳期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　； （2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值． 22．（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： 　　； （2）计算：+++⋯+＝　　； （3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值． 23．（2024春•靖江市期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，，那么便有＝＝（a＞b）． 解决问题 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，×＝，∴＝＝＝2． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简下列各式： ①； ②； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，求BC边的长．（结果化成最简）． 24．（2023秋•南岸区期末）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形． （1）若a＝1，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中AF的长； （3）已知m＞n且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•沈丘县期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解析】解：∵x2≥0， ∴x2+2≥2， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋•惠安县期末）化简的结果正确的是（　　） A．3 B．3 C．4 D．2 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则得到＝＝×，然后利用二次根式的性质化简即可． 【解析】解：＝＝×＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质：＝|a|．也考查了二次根式的乘法法则． 3．（2024•青山湖区模拟）若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可． 【解析】解：A．当x＝3时，2﹣x＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意； B．当x＝3时，x﹣1＝2＞0，原式有意义，符合题意； C．当x＝3时，x﹣4＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意； D．当x＝3时，﹣2x＝﹣6＜0，原式无意义，不符合题意； 故选：B． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 4．（2024春•花都区期中）下列式子中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解析】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 5．（2024•永善县一模）若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式、分式有意义的条件得出x的取值范围，再在数轴上将解集表示出来，最后判断即可． 【解析】解：由于有意义．则x﹣1≥0且x﹣1≠0， 即x﹣1＞0， 所以x＞1， 将x＞1在数轴上表示为： 故选：A． 【点评】本题考查二次根式、分式有意义的条件以及数轴表示不等式的解集，理解二次根式、分式有意义的条件， 6．（2024春•硚口区期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式相关的运算法则逐项判断即可． 【解析】解：×＝，故A错误，不符合题意； ÷＝＝2，故B正确，符合题意； 与不能合并，故C错误，不符合题意； 4﹣3＝，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 7．（2023秋•青岛期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据零指数幂的性质判断A选项；根据二次根式乘法的运算法则判断B选项；根据立方根的定义判断C选项；根据二次根式的性质判断D选项． 【解析】解：（）0＝1，故A不符合题意； 5×5＝25，故B不符合题意； ＝﹣2，故C符合题意； ＝6，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，零指数幂的运算，熟练掌握二次根式的性质与化简，零指数幂的运算性质是解题的关键． 8．（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（　　） A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10 【思路点拨】根据三角形三边关系定理求出3＜n＜7，再根据二次根式的性质和绝对值得出+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n，再合并同类项即可． 【解析】解：∵三角形的三边长分别为2，5，n， ∴5﹣2＜n＜5+2， ∴3＜n＜7， ∴+|8﹣n| ＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝n﹣3+8﹣n ＝5， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 9．（2024春•横州市期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【思路点拨】根据二次根式的加减法法则进行运算． 【解析】解：原式＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法法则是关键． 10．（2024春•横州市期中）下列选项中计算正确的是（　　） A． B． C． D．÷＝ 【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； 3+2不能合并，故选项C错误，不符合题意； ＝，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（2024春•横州市期中）计算的结果是（　　） A． B．4 C．﹣4 D． 【思路点拨】先根据积的乘方运算得到原式＝[（+4）（﹣4）]2023×（+4），然后运用平方差公式计算． 【解析】解：原式＝[（+4）（﹣4）]2023×（+4） ＝（17﹣16）2023×（+4） ＝12023×（+4） ＝1×（+4） ＝+4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘法运算法则是解决问题的关键． 二．填空题 12．（2024春•武汉期中）＝　2　，＝　﹣4　，的相反数是 　﹣　． 【思路点拨】根据二次根式的性质，立方根和相反数求出答案即可． 【解析】解：＝|﹣2|＝2，＝﹣4，的相反数是﹣． 故答案为：2，﹣4，﹣． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，相反数和立方根，能熟记二次根式的性质和立方根定义是解此题的关键，注意：①当a≤0时＝﹣a，②＝a，③a的相反数是﹣a． 13．（2024春•慈溪市期中）计算：＝　5　；＝　﹣1　． 【思路点拨】根据二次根式的乘法和性质求解即可． 【解析】解：，， 故答案为：5，． 【点评】本题主要考查了二次根式乘法和化简二次根式，正确计算是解题的关键． 14．（2024•胶州市一模）＝　5　． 【思路点拨】先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算． 【解析】解：原式＝（2﹣）× ＝× ＝5． 故答案为5． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 15．（2024•凤城市一模）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　4　． 【思路点拨】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列式计算即可． 【解析】解：＝2， 根据题意可知， x﹣1＝3， 解得x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 16．（2024春•天河区校级期中）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则该三角形的周长为 　10　． 【思路点拨】根据题意求出a、b的值，根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长． 【解析】解：由题意得，a﹣2≥0，2﹣a≥0， 解得a≥2，a≤2， ∴a＝2， 则b＝4， ∵2+2＝4， ∴2、2、4不能组成三角形， ∴该三角形的三边分别为2、4、4， ∴此三角形的周长为2+4+4＝10． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 17．（2023秋•松北区期末）已知，则代数式a2﹣b2＝　﹣4　． 【思路点拨】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝[（﹣1）+（+1）][（﹣1）﹣（+1）] ＝（﹣1++1）（﹣1﹣﹣1） ＝2×（﹣2） ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18．（2024春•海淀区校级期中）如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，3，则图中阴影部分的面积等于 　﹣1　． 【思路点拨】由两个小正方形的面积分别为1，3，得出其边长分别为1和，则阴影部分合起来是长等于1，宽等于的长方形，从而可得答案． 【解析】解：面积为3的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为1， 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． 三.解答题 19．（2023秋•中牟县期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据平方差公式和二次根式的除法法则运算即可． 【解析】解：（1）原式＝3﹣6+4 ＝； （2）原式＝3﹣2+ ＝1+2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 20．（2023秋•山亭区期末）计算： （1）﹣3+|2﹣|； （2）÷﹣×+． 【思路点拨】（1）先去绝对值符号，再把各根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【解析】解：（1）原式＝2﹣+2﹣ ＝2； （2）原式＝﹣+3 ＝﹣+3 ＝2﹣+3 ＝4． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 21．（2023秋•洛阳期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　﹣4　； （2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值． 【思路点拨】（1）根据4＜＜5求出的整数部分和小数部分； （2）先求出a、b，再根据算术平方根计算，得到答案． 【解析】解：（1）∵4＜＜5， ∴的整数部分是4，小数部分是﹣4， 故答案为：4，﹣4； （2）∵2＜＜3， ∴2+3＜3+＜3+3，即5＜3+＜6， ∴3+的整数部分是5，小数部分a＝﹣2， ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴5﹣2＜5﹣＜5﹣1，即3＜5﹣＜4， ∴5﹣的整数部分b＝3， ∴a+＝﹣2+＝+1． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估算是解题的关键． 22．（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： 　﹣1　； （2）计算：+++⋯+＝　9　； （3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值． 【思路点拨】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）先分母有理化求出a＝+2，再求出a﹣2＝，两边平方后求出a2﹣4a＝1，再求出代数式的值即可． 【解析】解：（1）＝＝﹣1． 故答案为：； （2）原式＝ +++......+ ＝﹣1+﹣+﹣+......+﹣ ＝﹣1 ＝10﹣1 ＝9． 故答案为：9； （3）∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 23．（2024春•靖江市期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，，那么便有＝＝（a＞b）． 解决问题 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，×＝，∴＝＝＝2． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简下列各式： ①； ②； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，求BC边的长．（结果化成最简）． 【思路点拨】（1）①根据模型，得m＝13，n＝42，进而求得a和b分别为7和6，代入求解即可； ②将原式化为，根据模型，得m＝7，n＝10，进而求得a和b分别为2和5，代入求解即可； （2）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【解析】解：（1）①m＝13，n＝42， ∵7+6＝13，7×6＝42， ∴（）2+（）2＝13，×＝， ∴ ＝ ＝﹣； ②∵＝， ∴m＝7，n＝10， ∵2+5＝7，2×5＝10， ∴（）2+（）2＝7，×＝， ∴ ＝ ＝+； （2）BC＝＝， ∵＝， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（）2+（）2＝16，×＝， ∴BC＝＝＝﹣＝2﹣2． 【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 24．（2023秋•南岸区期末）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形． （1）若a＝1，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中AF的长； （3）已知m＞n且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积． 【思路点拨】（1）根据正方形的面积公式直接求值即可； （2）先确定∠ACF＝90°，再由勾股定理求解即可； （3）将已知的两个等式分别平方，求和后可求mn＝1，再由△ACF是直角三角形，利用面积公式求解即可． 【解析】解：（1）S＝a2+b2＝12+（）2＝3， ∴两个正方形的面积之和为3； （2）∵∠ACD＝∠DCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵AC＝＝＝，CF＝n＝＝， ∴AF＝＝＝4； （3）∵， ∴（am﹣bn）2＝3①，（an+bm）2＝5②， ①+②得，a2m2+b2n2﹣2abmn+a2n2+b2m2+2abmn＝8， 整理得（a2+b2）（m2+n2）＝8， ∵a2+b2＝2，（m+n）2＝3， ∴4+2mn＝6， 解得mn＝1， ∴S△ACF＝m2×n2＝1． 【点评】本题考查二次根式的应用，熟练掌握完全平方公式，正方形和直角三角形的面积求法是解题的关键． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$