精品解析：2024届广东省江门市新会华侨中学等校高考二模数学试题

2024届广东省江门市新会华侨中学等校高考二模数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号，座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程可得，a，b，c的值，根据离心率公式即可求解. 【详解】由双曲线的方程可得， ，，， 所以. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，再根据指数函数的值域可得. 【详解】由已知，， 所以， 故选：A. 3. 某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 这6天员工的出勤率呈递增趋势 B. 这6天员工的出勤率呈递减趋势 C. 这6天员工的出勤率的极差大于0.15 D. 这6天员工的出勤率的中位数小于0.85 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知这6天员工的出勤率有增也有减即可判断AB；根据极差和中位数的定义即可判断CD. 【详解】A：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故A错误； B：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故B错误； C：这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92， 所以这6天员工的出勤率的极差为，故C错误； D：中位数为，故D正确. 故选：D 4. 展开式中系数为有理数的项共有（ ） A. 2项 B. 3项 C. 4项 D. 5项 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式直接得出结果. 【详解】展开式的通项公式为（）， 所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项. 故选：D 5. 在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积. 【详解】如图所示， 取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，，所以， 又， 所以四面体的体积， 故选：C. 6. 若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断. 【详解】作出的图象，如图1所示， 作出的图象，如图2所示，由图可知，满足题意． 故选：D. 7. 一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 8. 是内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，分别使用正弦定理，结合化简整理即可得解 【详解】因为， 所以， 设，因为，所以． 在中，由正弦定理可得， 则，即， 即， 解得． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为非零实数，复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 的最小值为 C. 的实部为 D. 当时，为纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】求得的虚部判断选项A；求得的最小值判断选项B；求得的实部判断选项C；当时，求得的值判断选项D. 【详解】对于AC，因为， 所以， 则的虚部为，选项A错误， 的实部为，选项C正确． 对于B，，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B正确． 对于D，当时，，则为实数，选项错误． 故选：BC 10. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 在三棱柱中，点的曲率为 C. 在四面体中，点的曲率小于 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行的判定性质判断A；利用曲率的定义计算判断BC；作出二面角的平面角并求得其大小判断D 【详解】对于A，取的中点，连接BG，FG，由D，E，F分别为的中点， 得，而平面，平面，则平面， 又，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，则平面，又， 平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正确； 对于B，在直三棱柱中，， 则点的曲率为，解得，由，得， 而，因此点的曲率为，B正确； 对于C，过作，交的延长线于，连接，由平面ABC， 平面ABC，得，，平面， 则平面，平面，因此，，， 又，则，， 在四面体中，点的曲率为，C错误； 对于D，由选项C知，为二面角的平面角，又， 则，所以，D正确． 故选：ABD . 11. 已知为方程的根，为方程的根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用导数法研究函数单调性，结合零点存在定理得，从而，即可判断A，结合零点存在定理得，从而，即可判断B，由及得，进而，利用的单调性即可判断C，令，利用导数研究其单调性，利用单调性即可判断D. 【详解】设， 由知均在上单调递增. 由，可得，则， 整理得，A不正确； 由，可得，则， 从而，B正确； 由，可得．因为，所以， 则，即，即，则，C正确； 令，则，当时，单调递增， 因为，且，所以，即， 从而，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题根据式子特征选择，从而达到构造出适当函数的目的. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得，结合和求出即可求解. 【详解】由题意知，， 则的最小正周期， . 故答案为：； 13. 已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 14. 设向量，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）在上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）利用导函数与原函数单调性的关系，判断出在上的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，. 令，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递增， 当时，，即， 所以在上单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 16. 如图，在三棱锥中，平面平． （1）证明：． （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，所以， 又，面， 所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过说明可得结论； （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又， 所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令得． 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． （1）求的方程； （2）过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为． 设，由可得， 则 所以． 由（1）可知， 因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以 可得，即． 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到直线方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案； （2）设直线MN的方程为，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，由，所以，由（1）可知，计算即可证得结论. 【小问1详解】 设． 因为点的坐标为，所以， 由得， 则， 从而 得，所以的方程为． 【小问2详解】 略 18. 如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下. 2 2.5 0.4 0.6 1.5 2.5 0.5 0.5 2 3 m 2 3 0.5 0.5 （1）若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列； （2）小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值； （3）以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围. 【答案】（1）的分布列为 9 9.5 10 10.5 0.2 0.3 0.2 0.3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意的可能取值为9，9.5，10，10.5，由独立乘法公式算出对应的概率即可得解； （2）由全概率公式即可列方程求解； （3）设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟，选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟，分别算出的表达式，即可列不等式组求解的范围. 【小问1详解】 的可能取值为9，9.5，10，10.5， ， 则的分布列为 9 9.5 10 10.5 0.2 0.3 0.2 0.3 【小问2详解】若他开车经过站，则他选择的路线是甲路线或乙路线， 记选择甲路线为事件，选择乙路线为事件，则， 若他开车从站到站的总时间少于5分钟，则或， 所以由全概率公式得，解得. 【小问3详解】 设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟， 则 设选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟， ， 则 若三条路线中只有丙路线最快捷，则 即， 又，所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是准确表示出，列出不等式组即可顺利得解. 19. 已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求； （3）[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）先由是公差为2的等差数列，求得递推关系，再利用叠加法求得，进而得到的通项公式； （2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列的前项和为；法二：构造得，再利用裂项相消法即可得解； （3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数的最小值. 【小问1详解】 设，则． 因为是公差为2的等差数列，所以． 设，则， 所以时， ． 所以，即， 又，满足上式，所以 【小问2详解】 （方法一）因为， 所以 两式相减得． 设， 则， 两式相减得 ， 则． 所以，即． （方法二）因为， 所以． 所以 则， 即． 【小问3详解】 当时，，且，所以的定值为9． 所以当时，． 令，则， ， 所以单调递减． 因为，所以，即正整数的最小值为 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧： （1）倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届广东省江门市新会华侨中学等校高考二模数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号，座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 这6天员工的出勤率呈递增趋势 B. 这6天员工的出勤率呈递减趋势 C. 这6天员工的出勤率的极差大于0.15 D. 这6天员工的出勤率的中位数小于0.85 4. 展开式中系数为有理数的项共有（ ） A. 2项 B. 3项 C. 4项 D. 5项 5. 在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 6. 若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 7. 一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 是内一点，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为非零实数，复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 的最小值为 C. 的实部为 D. 当时，为纯虚数 10. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 在三棱柱中，点的曲率为 C. 在四面体中，点的曲率小于 D. 二面角的大小为 11. 已知为方程的根，为方程的根，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______. 13. 已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 14. 设向量，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最大值和最小值. 16. 如图，在三棱锥中，平面平． （1）证明：． （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． （1）求的方程； （2）过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 18. 如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下. 2 2.5 0.4 0.6 1.5 2.5 0.5 0.5 2 3 m 2 3 0.5 0.5 （1）若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列； （2）小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值； （3）以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围. 19. 已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求； （3）[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $