精品解析：2024年广东省东莞市松山湖实验中学中考二模数学试卷

东莞市松山湖实验中学教育集团2023-2024学年第二学期第二次 模拟考试自查卷（九年级数学） （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 如果a与互为相反数，那么a等于　　 A. B. 3 C. D. 2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（ ）m．（    ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 化归思想 C. 分类讨论思想 D. 数形结合思想 7. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集是 的解集是（　　） A. x＞﹣3 B. ﹣3≤x＜2 C. ﹣3＜x≤2 D. x≤2 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 10. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A. ab＝﹣2 B. ab＝﹣3 C. ab＝﹣4 D. ab＝﹣5 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 若，则代数式的值是_______． 13. 如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为_________． 14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 三、解答题（一）（本大题共10小题，共75分．） 16. 计算： 17. 解方程组： 18. 2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？ 19. 2023年10月13日是第34个国际减灾日，主题是“共同打造有韧性的未来”．如图，云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度为点C处，此时云梯臂长为40米，它与水平面的夹角为，转动点A距地面的高度为米．已知该小区高层住宅楼的层高是米，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据：，，） 20. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 甲班 80 b c 乙班 a 80 80，85 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　 　，　　，　　； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 21. 【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点A，交于点B，交于点F．设直线的解析式为． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求的面积． 23. 如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：； ②求； （3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标． 24. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市松山湖实验中学教育集团2023-2024学年第二学期第二次 模拟考试自查卷（九年级数学） （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 如果a与互为相反数，那么a等于　　 A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的性质即可解答． 【详解】由题意可得： ，解得 ． 故选B. 【点睛】本题主要考查相反数的性质（互为相反数的两个数相加等于0），熟记和掌握相反数的性质是解题关键． 2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（ ）m．（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 在前面有个， 在前面有个， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的定义，理解定义是解题的关键． 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，合并同类项，积的乘方，掌握整式的混合运算是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法可判定A，D选项，根据合并同类项的方法可判定B选项，根据积的乘法判定C选项，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意；   故选： C． 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角求得，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 化归思想 C. 分类讨论思想 D. 数形结合思想 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，一元二次方程的几何解法，构造图形解方程，体现的熟悉思想是数形结合，据此即可求解． 【详解】解：依题意，造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是数形结合思想, 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键． 7. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种， ∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 8. 不等式组的解集是 的解集是（　　） A. x＞﹣3 B. ﹣3≤x＜2 C. ﹣3＜x≤2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 10. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A. ab＝﹣2 B. ab＝﹣3 C. ab＝﹣4 D. ab＝﹣5 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形,必须满足AB=BC,继而可求出a、b满足的关系． 【详解】解：令x＝0，得：y＝b． ∴C（0，b）． 令y＝0，得：ax2+b＝0， ∵， ∴x＝±， ∴A（﹣，0），B（，0）， ∴AB＝2，BC＝, 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC， ∴, ∴， ∴ab＝﹣3, ∴a，b应满足关系式ab＝﹣3, 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】x+1 【解析】 【详解】解： 12. 若，则代数式的值是_______． 【答案】9 【解析】 【详解】解：原式=5+2（a-b）=5+2×2=9 故答案为：9 13. 如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本作图得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，从而得到． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 【答案】400 【解析】 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，， ∴AC⊥BD，AO=6，BO=8； ∴； ∴菱形ABCD的面积= ∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°， ∴四个扇形的面积=， ∴阴影部分的面积=； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共10小题，共75分．） 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角度锐角三角函数的混合运算，熟知相关运算法则是解答此题的关键．先根据数的开方法则、特殊角的三角函数及零指数幂计算出各数，再合并即可． 【详解】原式 ． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法求解即可． 【详解】， 由②得，③， ③代入①得，， 解得， 把代入③得，， 所以，方程组的解是． 18. 2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？ 【答案】20元/束． 【解析】 【分析】设第一批花每束的进价是x元/束，则第一批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程． 【详解】设第一批花每束的进价是x元/束， 依题意得：×1.5=， 解得x=20． 经检验x=20是原方程的解，且符合题意． 答：第一批花每束的进价是20元/束． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5列方程． 19. 2023年10月13日是第34个国际减灾日，主题是“共同打造有韧性的未来”．如图，云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度为点C处，此时云梯臂长为40米，它与水平面的夹角为，转动点A距地面的高度为米．已知该小区高层住宅楼的层高是米，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据：，，） 【答案】家住15楼的求救者能被顺利施救 【解析】 【分析】本题是解直角三角形的应用，利用数形结合的数学思想，结合特殊平行四边形的判定与性质，进行综合分析解答．过点A作于点D，利用有三个角为直角的四边形为矩形判定四边形是矩形，则，解直角三角形，求得，则由得出的长，则问题可解． 【详解】解：过点A作于点D，如图， 则，又由题意可知， ∴四边形是矩形， ∴（米）． 在中， ∵米，， ∴（米）， ∴（米）． ∵， ∴家住15楼的求救者能被顺利施救． 20. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 甲班 80 b c 乙班 a 80 80，85 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　 　，　　，　　； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）80，79，79 （2）乙班成绩比较好，理由见解答 （3）42人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数和众数的定义进行求解即可； （2）根据中位数及众数进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，故中位数； 众数， 乙班的平均数为：， 故答案为：80，79，79； 【小问2详解】 乙班成绩比较好，理由如下： 两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，代表乙班成绩比甲班好，所以乙班成绩比较好； 【小问3详解】 （人， 答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人． 21. 【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 ，， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； 【小问2详解】 如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点A，交于点B，交于点F．设直线的解析式为． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，直线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式． （1）先利用矩形的性质确定点坐标，再确定点坐标为，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，即反比例函数解析式为；然后利用反比例函数解析式确定点的坐标为，点坐标为，，再利用待定系数法求直线的解析式； （2）利用的面积进行计算求得即可． 【小问1详解】 四边形是矩形，且，， 点坐标为， 点为线段的中点， 点坐标为， ， 反比例函数解析式为； 把代入得，则点的坐标为； 把代入得，则点坐标为，， 把、的坐标代入得，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 的面积 ． 23. 如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：； ②求； （3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标． 【答案】（1） （2） ①证明：∵ ＝， ∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点， ∴由抛物线的对称性可知OC＝AC， ∴∠CAB＝∠COD， ∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点， ∴ △ABC≌△BC， ∴∠CAB＝∠，AB＝B， ∴∠COD＝∠， ∵∠ODC＝∠BD， ∴； ② （3）或． 【解析】 【分析】（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式； （2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论； ②由，得到，设点D的坐标为（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值； （3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点， ∴代入 (0，0)， (4，0)得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ①略 ②∵， ∴， 设点D的坐标为（d，0）， DC＝， ∵点与、点不重合， ∴0＜d＜4， 对于 ＝来说， ∵ a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4， ∴当d＝2时，DC有最小值为， OC＝， ∴有最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵OC＝2， ∴B＝AB＝1， ∴点B的坐标是（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝x＋， 把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝2x－6， 设点的坐标是（p，q）， ∴线段A的中点为（，）， 由折叠的性质知点（，）在直线BC上， ∴＝2×－6， 解得q＝2p－4， B＝， 整理得＝1， 解得p＝2或p＝， 当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意， 当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意， 设直线的解析式为y＝x＋， 把点B（3，0），（，）代入得，， 解得， ∴直线的解析式为y＝x＋4， 联立直线和抛物线得到，， 解得，， ∴直线与二次函数的交点横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键． 24. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【答案】[探究一]证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴ [探究二]证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵公共角， ∴； [探究三] 【解析】 【分析】[探究一]证明，即可得证； [探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】[探究一]略 [探究二]略 [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上． ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $