精品解析：河北省秦皇岛市安丰高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

2023～2024年度高一年级第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册～必修第二册第六章6.2. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A. 质量 B. 速度 C. 位移 D. 力 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果. 【详解】∵， ， ∴. 故选：A. 3. 已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，可得， 可得，解得. 故选：A. 4. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题“，使得”是假命题，它的否定为真，等价问题求解即可 【详解】命题“，使得”是假命题， 等价于“，都有恒成立”是真命题， 所以 即， 故选：D． 5. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 6. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，） A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解. 【详解】设该品牌设置的质保期至多为年， 由题意可得，，则， 两边取对数，即，则， 即，则， 因为，所以，则，又因为，所以， 故选：C. 7. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以是以6为周期的函数， 所以， 故选：D. 8. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，根据条件列方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 由题意知， 所以是方程在上的两个不等实根， 令，则， 所以在上有两个不等实根， 令，对称轴， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】与任意向量都是平行的，即可判断A；向量不满足结合律，即可判断B；向量不满足消去律，即可判断C；向量满足完全平方公式，即可判断D. 【详解】A：当时，与关系不确定，故A错误； B：两个向量之积为常数，的方向不一定相同，故B错误； C：当时，得，不一定有，故C错误； D：向量满足完全平方公式，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D. 【详解】由题可知，所以，解得， 所以，又在的图象上，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，故A正确； 令，解得， 所以的单调减区间为，故B正确； 令，解得，当时，，故C正确； 令，解得，令，则，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，为钝角三角形 B. 当时，为锐角三角形 C. 当为锐角三角形时， D. 当为边长为2的等边三角形时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，因为，可得，所以为钝角， 所以为钝角三角形，所以A正确； 对于B中，因为，可得，所以为锐角， 但不确定其他角的情况，所以B错误； 对于C中，因为为锐角三角形，可得为锐角，所以， 所以C正确； 对于D中，因为为边长为2的等边三角形，可得，所以D错误． 故选：AC. 12. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递增 D. 若实数，满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，故A正确； 对于B选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数， 当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，故函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则， 因为在定义域上单调递减，可得，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出. 【详解】解可得，即， 因为，所以，解可得， 即. 设，， 因为若是的必要不充分条件，所以， 所以有，且不能同时取等号，所以. 故答案为：. 15. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将题干中的两个等式先平方再相加，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】由， ， 两式相加有， 可得． 故答案为：. 16. 已知函数，若与有相同的最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合二次函数最值，确定函数取最小值的x值，再借助函数能成立求解作答. 【详解】依题意，函数，显然， 当且仅当，即时取等号，，当且仅当时取等号， 因此当时，，因与有相同的最小值， 于是得成立，即成立， 而，当且仅当时取等号，因此，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知，，且与的夹角为. （1）求. （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解； （2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解. 【小问1详解】 解：因为，，且与的夹角为， 所以， 所以 ； 【小问2详解】 ， . 18. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分子分母同除，代入即可求得结果； （2）配凑成，分子分母同除，代入即可求得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 19. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解； (2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 当时，， 或， 则的解集为； 【小问2详解】 由题意可知恒成立. ①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意； ②当，即时，对于任意恒成立， 只需， 解得，所以. 综合①②可得实数的取值范围是. 20. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【小问1详解】 因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. 【小问2详解】 因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 21. 函数，． （1）把的解析式改写为（，）的形式； （2）求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值； （3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有30个零点，求m的最小值． 【答案】（1） （2）最小正周期为，的最大值为，最小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式整理即可； （2）根据（1），结合公式求解最小正周期，利用整体代换法求解值域； （3）由题知，进而解函数零点得或，再根据周期性求解即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以，的最小正周期， 因为，所以， 所以，即， 所以 所以，当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值； 【小问3详解】 解：由题知，， 所以函数 所以，令，即， 所以或， 因为函数在区间上至少有30个零点，且周期为 所以，即m的最小值为. 22. 已知函数. （1）若，求的值域； （2）若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值域； （2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 若则，令， 令，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时， 所以的值域为； 【小问2详解】 因为，所以在上单调递增， 所以当的定义域为时，的值域为， 即， 即在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 令，所以在上有两个不同的实数解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024年度高一年级第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册～必修第二册第六章6.2. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A. 质量 B. 速度 C. 位移 D. 力 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，） A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年 7. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 11. 已知中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，为钝角三角形 B. 当时，为锐角三角形 C. 当为锐角三角形时， D. 当为边长为2的等边三角形时， 12. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递增 D. 若实数，满足，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. ______． 14. 已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 15. 已知，则__________． 16. 已知函数，若与有相同的最小值，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知，，且与的夹角为. （1）求. （2）求. 18. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 19. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 20. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 21. 函数，． （1）把的解析式改写为（，）的形式； （2）求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值； （3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有30个零点，求m的最小值． 22. 已知函数. （1）若，求的值域； （2）若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $