专题03 平面向量（考点清单，知识导图+15个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题03 平面向量（考点清单，知识导图+15个考点清单&题型解读） 一、向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 二、向量的有关概念： 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 三、向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 四、向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 五、向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 六、向量的数量积 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. （3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. （5）投影：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. （6）向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. （7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式 七、平面向量基本定理 条件：e 1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论：对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 八、平面向量的坐标表示 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆） 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） （6）平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. （7）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. （8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. （9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 （10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 九、平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 十、向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 一．向量的概念与向量的模（共5小题） 1．（2024春•浦东新区校级期中）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•宝山区校级月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•浦东新区期末）下列说法正确的是　　 A．若，则与的长度相等且方向相同或相反 B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若，则与方向相同或相反 4．（2024春•普陀区校级期中）已知两点，，则向量的单位向量的坐标为 　　． 5．（2024春•虹口区校级期中）向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　． 二．向量相等与共线（共2小题） 6．（2023春•静安区校级期中）在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形为 A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 7．（2023春•浦东新区校级期末），，，且、、三点共线，则　　 A．8 B．4 C．2 D．1 三．向量的三角形法则（共2小题） 8．（2022春•徐汇区校级期中）若，则的取值范围是 　　． 9．（2023春•黄浦区校级期中）在中，，．若点满足，则　　（用，表示）． 四．向量加减混合运算（共5小题） 10．（2023春•青浦区校级期中）下列式子中，不能化简为的是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•浦东新区校级期中）化简　　． 12．（2023春•长宁区校级期中）若，，则　　． 13．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，则　　． 14．（2022春•嘉定区校级月考）化简：　　． 五．两向量的和或差的模的最值（共3小题） 15．（2024春•宝山区校级期中）已知向量，，则的最大值为 　　． 16．（2024春•浦东新区校级期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 　　． 17．（2022春•徐汇区校级期末）已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时　　． 六．向量数乘和线性运算（共2小题） 18．（2022春•徐汇区校级期中）已知，则实数　　． 19．（2022春•闵行区校级月考）设是的重心，且，则　 　． 七．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题） 20．（2024春•浦东新区校级期中）已知非零向量，，则是成立的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 21．（2024春•浦东新区校级期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，，则　　 A． B． C．2 D． 22．（2024春•虹口区校级期中）已知向量，，则下列结论： ①若，则 ②若，则 ③若与的夹角为，则 其中正确结论的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 23．（2024春•浦东新区校级月考）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 24．（2024春•浦东新区校级期中）若平面单位向量，，，，满足对任意的，都有，则正整数的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 25．（2024春•浦东新区校级期中）如图，的三边长为，，，且点，分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，，分别考查，的所有可能结果，则　　 A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 八．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共4小题） 26．（2023春•浦东新区期末）已知向量，则，　　． 27．（2023春•浦东新区校级期末）已知向量，满足：，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值． 28．（2024春•黄浦区校级期中）如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，，四边形的面积为． （1）求的最大值及此时的值； （2）设点的坐标为，，，在（1）的条件下，求的值． 29．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 九．向量的投影（共3小题） 30．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　　（用坐标表示）． 31．（2024春•普陀区校级期中）已知平面向量，则在方向上的数量投影为 　　． 32．（2023春•浦东新区校级期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 　　． 一十．平面向量的基本定理（共4小题） 33．（2024春•普陀区校级期中）已知平面上不共线的三点、、，点在该平面上且不与、、重合．若动点满足，则点一定落在的　　 A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 34．（2024春•黄浦区校级期中）在给出的下列命题中，是假命题的是　　 A．设、、、是同一平面上的四个不同的点，若，其中为实数，则点、、必共线 B．若向量和是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C．若平面向量、、满足，且，则是等边三角形 D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 35．（2024春•普陀区校级期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 　　． 36．（2024春•杨浦区校级期中）如图所示，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点，，记与的夹角为，并设，其中，为实数． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域； （3）求为直径时，的值． 一十一．平面向量的坐标运算（共3小题） 37．（2022春•浦东新区校级期末）已知点、，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 38．（2024春•浦东新区校级期中）若点，，则向量的坐标是 　　． 39．（2022春•徐汇区校级期末）已知点的坐标为，1，，向量，则点的坐标为 　　． 一十二．平面向量共线（平行）的坐标表示（共3小题） 40．（2023春•徐汇区期末）设，，且，则　　． 41．（2024春•黄浦区校级期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 42．（2024春•浦东新区校级期中）已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 一十三．数量积表示两个向量的夹角（共4小题） 43．（2024春•浦东新区校级期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 　　（用弧度制表示）． 44．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 　 　． 45．（2024春•浦东新区校级期中）已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　　． 46．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角． 一十四．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题） 47．（2024春•浦东新区校级期中）已知，，若，则　　． 48．（2023春•奉贤区校级期末）已知，，若与互相垂直，则实数的值是 　　． 49．（2024春•杨浦区校级期中）已知． （1）若与垂直，求实数的值； （2）若与方向相反，求实数的值． 50．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 一十五．向量在物理中的应用（共2小题） 51．（2024春•浦东新区校级期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则的大小是 　　． 52．（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量（考点清单，知识导图+15个考点清单&题型解读） 一、向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 二、向量的有关概念： 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 三、向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 四、向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 五、向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 六、向量的数量积 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. （3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. （5）投影：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. （6）向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. （7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式 七、平面向量基本定理 条件：e 1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论：对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 八、平面向量的坐标表示 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆） 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） （6）平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. （7）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. （8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. （9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 （10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 九、平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 十、向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 一．向量的概念与向量的模（共5小题） 1．（2024春•浦东新区校级期中）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据向量长度的求法及向量数量积的运算即可求出每个选项的向量的长度，然后即可得出正确的选项． 【解答】解：是互相垂直的单位向量， ，， ，，，， 显然最大． 故选：． 【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量模的求法，单位向量的定义，向量垂直的充要条件，是基础题． 2．（2024春•宝山区校级月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可． 【解答】解：因为，所以同向． 对于，由，得方向相反，故选项错误； 对于，由，得，不能得出的方向，故选项错误； 对于，由，得方向向相同，所以成立，故选项正确； 对于，由，不能确定的方向，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的概念，属于基础题． 3．（2023春•浦东新区期末）下列说法正确的是　　 A．若，则与的长度相等且方向相同或相反 B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若，则与方向相同或相反 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析，判断真假性即可． 【解答】解：对于，当时，与的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，选项错误； 对于，当，且与的方向相同时，，选项正确； 对于，平面上所有单位向量，如果起点相同，那么其终点在同一个圆上，所以选项错误； 对于，当时，若，则的方向是任意的，与的方向不是相同或相反，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 4．（2024春•普陀区校级期中）已知两点，，则向量的单位向量的坐标为 　　． 【分析】根据已知条件，结合单位向量的定义，即可求解． 【解答】解：，， 则， 故， 故向量的单位向量的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题． 5．（2024春•虹口区校级期中）向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　． 【分析】建立直角坐标系，求出，的坐标，再利用向量的坐标运算求解． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系： 则，， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于基础题． 二．向量相等与共线（共2小题） 6．（2023春•静安区校级期中）在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形为 A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【分析】求出，从而四边形为梯形． 【解答】解：在四边形中， ，，，其中，不共线， ． 四边形为梯形． 故选：． 【点评】本题考查四边形形状的判断，考查平面向量加法法则、向量平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 7．（2023春•浦东新区校级期末），，，且、、三点共线，则　　 A．8 B．4 C．2 D．1 【分析】由已知可求，由、、三点共线得，根据向量共线的定理即可求出的值． 【解答】解：由题得， 因为、、三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量共线基本定理，属于中档题． 三．向量的三角形法则（共2小题） 8．（2022春•徐汇区校级期中）若，则的取值范围是 　，　． 【分析】利用平面向量的线性运算及几何意义求解即可． 【解答】解：，且， ， 即的取值范围是，； 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算及几何意义，属于基础题． 9．（2023春•黄浦区校级期中）在中，，．若点满足，则　　（用，表示）． 【分析】根据三角形法则，写出的表示式，根据点的位置，得到与之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果． 【解答】解：如图所示，在中， 又，． ． 故答案为： 【点评】本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目． 四．向量加减混合运算（共5小题） 10．（2023春•青浦区校级期中）下列式子中，不能化简为的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案． 【解答】解：对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故正确； 对于，，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题． 11．（2024春•浦东新区校级期中）化简　　． 【分析】利用向量的线性运算法则求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题． 12．（2023春•长宁区校级期中）若，，则　　． 【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解． 【解答】解：因为，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题． 13．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，则　　． 【分析】利用向量的线性运算即可得出． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的线性运算，考查了计算能力，属于基础题． 14．（2022春•嘉定区校级月考）化简：　　． 【分析】进行向量的数乘运算即可． 【解答】解：原式． 答案：． 【点评】本题考查了向量的数乘运算，零向量的定义，考查了计算能力，属于基础题． 五．两向量的和或差的模的最值（共3小题） 15．（2024春•宝山区校级期中）已知向量，，则的最大值为 　3　． 【分析】先求，再结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值． 【解答】解：，， ， ， 当，即时，有最小值为， 此时有最大值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题． 16．（2024春•浦东新区校级期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 　6　． 【分析】根据三角形重心的性质，推导出，可知点在以点为圆心、为半径的圆上面，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出的最大值与最小值，可得答案． 【解答】解：设为△的重心，则， 因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上， 不妨设点与坐标原点重合，作出半径分别为，，1，的同心圆，如图所示， 则，当且仅当，，都在线段上，等号成立， 而， 当且仅当，，在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立． 综上所述，的最大值与最小值之和为． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题． 17．（2022春•徐汇区校级期末）已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时　3　． 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出， 夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点的几何意义，最后确定取最小值时的值． 【解答】解：，而，， ，，，，，， ， ，， 向量满足，， 如图所示， 若，，，， 则，， ，在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则， 由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小，即取最小值， 此时，， 又，，． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，属于中档题． 六．向量数乘和线性运算（共2小题） 18．（2022春•徐汇区校级期中）已知，则实数　　． 【分析】根据已知条件，结合向量的运算法则，即可求解． 【解答】解：， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的运算法则，属于基础题． 19．（2022春•闵行区校级月考）设是的重心，且，则　　． 【分析】根据重心的性质，以及向量的数乘运算，以及与不共线，可得得到，问题得以解决． 【解答】解：是的重心， ． ． ， ， 化为． 与不共线， ， ． ． ． 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的重心性质、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 七．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题） 20．（2024春•浦东新区校级期中）已知非零向量，，则是成立的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【分析】由平面向量的数量积与夹角知识分别分析充分性和必要性即可． 【解答】解：若，则，所以，即，故充分性成立； 若，则两边同时平方得：，所以，即， 因为，为非零向量，所以，即，故必要性成立， 所以是成立的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，充要条件的判断，属于基础题． 21．（2024春•浦东新区校级期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，，则　　 A． B． C．2 D． 【分析】根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解． 【解答】解：由余弦定理得， 又因为， 所以， 故． 故选：． 【点评】本题考查了余弦定理，重点考查了数量积的定义，属基础题． 22．（2024春•虹口区校级期中）已知向量，，则下列结论： ①若，则 ②若，则 ③若与的夹角为，则 其中正确结论的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【分析】结合向量平行的坐标表示检验①；结合向量数量积的坐标表示检验②③即可判断． 【解答】解：因为，， ①若，则，即，①正确； ②若，则， 则，②正确； ③若与的夹角为，则， 所以，， 因为， 故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量平行及向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题． 23．（2024春•浦东新区校级月考）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围． 【解答】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点， 由题意可得：点的横坐标的取值范围是，， 又因为，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的坐标运算，属中档题． 24．（2024春•浦东新区校级期中）若平面单位向量，，，，满足对任意的，都有，则正整数的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先求出取值范围，求出的最小值，再利用向量夹角的范围构造关于的不等式求解． 【解答】解：依题意，设单位向量，的夹角为， 由，得， 则， 得正整数的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积的计算，夹角公式以及学生的逻辑推理能力，属于中档题． 25．（2024春•浦东新区校级期中）如图，的三边长为，，，且点，分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，，分别考查，的所有可能结果，则　　 A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【分析】设，用，表示出，，然后利用三角函数的性质求最值． 【解答】解：设， 由余弦定理得， 过点作轴，设垂足为， 在中，，， 所以，， 在中， ，， 所以，， 由， 即，，，， 得， 所以， 当且仅当时取最小值，没有最大值， ， 其中， 因为，所以， 所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量和三角函数的综合应用，属于难题． 八．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共4小题） 26．（2023春•浦东新区期末）已知向量，则，　　． 【分析】直接由夹角公式即可求得，由于不是特殊角，结果用反三角函数表示． 【解答】解：， ． 【点评】本题考查向量的夹角公式，属基础题． 27．（2023春•浦东新区校级期末）已知向量，满足：，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值． 【分析】（1）设，由题意列关于，的方程组求解； （2）由已知求出，再由平面向量的数量积求夹角公式得答案． 【解答】解：（1）设， 由题意，，解得或． 或； （2）由，得，即， ，， 则， 与的夹角的余弦值为． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，训练了利用平面向量的数量积求向量夹角的余弦值，是基础题． 28．（2024春•黄浦区校级期中）如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，，四边形的面积为． （1）求的最大值及此时的值； （2）设点的坐标为，，，在（1）的条件下，求的值． 【分析】（1）由已知可得，，进而可得，，由三角函数的最值易得答案； （2）结合（1）易得，，代入两角和的正切公式可得答案． 【解答】解：（1）由已知，、的坐标分别为、， ，，又， ， 故当时，取最大值，所以； （2）由（1）可知以，所以， 又，，， 【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及三角函数的运算，属基础题． 29．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）利用即可得出． （2），可得，解得． 【解答】解：（1），，． ． （2），， 又，， 解得． 【点评】本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 九．向量的投影（共3小题） 30．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　　（用坐标表示）． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：，， 则，， 故在方向上的投影向量为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 31．（2024春•普陀区校级期中）已知平面向量，则在方向上的数量投影为 　　． 【分析】结合数量投影的公式，即可求解． 【解答】解：平面向量， 则，， 故在方向上的数量投影为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查数量投影的公式，属于基础题． 32．（2023春•浦东新区校级期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 　　． 【分析】利用向量的数量积的运算法则，求解向量在向量方向上的数量投影． 【解答】解：向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的数量投影是． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的运算，数量投影的求法，是基础题． 一十．平面向量的基本定理（共4小题） 33．（2024春•普陀区校级期中）已知平面上不共线的三点、、，点在该平面上且不与、、重合．若动点满足，则点一定落在的　　 A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心． 【解答】解：取的中点，则， ， ，而， ，，三点共线， 点的轨迹一定经过的重心， 则点一定落在的某一边上的中线所在直线上． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题． 34．（2024春•黄浦区校级期中）在给出的下列命题中，是假命题的是　　 A．设、、、是同一平面上的四个不同的点，若，其中为实数，则点、、必共线 B．若向量和是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C．若平面向量、、满足，且，则是等边三角形 D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【分析】选项，结合平面向量的减法运算与共线向量的基本定理可判断；选项，根据平面向量的基本定理即可判断；选项，根据平面向量与三角形的外心、重心的表示方法可判断；选项，举反例进行说明即可． 【解答】解：选项，若，则， 所以，即， 又，有公共点， 所以点、、必共线，即选项正确； 选项，由平面向量的基本定理知选项正确； 选项，由，知点是外接圆的圆心， 因为，所以点是的重心， 由三线合一，知是等边三角形，即选项正确； 选项，在正方形中，设，，，， 则，， 因为，所以，即选项错误． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 35．（2024春•普陀区校级期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 　　． 【分析】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，设正六边形的边长为2，求出向量、的坐标，设，可得，结合得到用表示的式子，根据正弦函数的最值算出答案． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为2，则外接圆半径， 可得，，，，， 圆的方程为，设，可得，． 因为，所以，可得， 因为，所以当时，的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、平面向量的坐标运算法则、圆的性质及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 36．（2024春•杨浦区校级期中）如图所示，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点，，记与的夹角为，并设，其中，为实数． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域； （3）求为直径时，的值． 【分析】（1）在中，根据余弦定理求出长，然后根据正弦定理算出外接圆的直径； （2）在中利用正弦定理算出，结合同角三角函数的关系算出，然后利用两角和的正弦公式将表示为的表达式，进而根据正弦定理求出的表达式及其定义域； （3）根据诱导公式算出与，然后求出与，利用两角和的正弦公式算出，进而利用正弦定理与平面向量基本定理算出的值． 【解答】解：（1）在中，根据余弦定理， 可得，解得（舍负）， 设外接圆半径为，由正弦定理得外接圆直径； （2）连接，在中， 由正弦定理，解得 结合，得， 所以， 结合正弦定理，可得， 综上所述，； （3）设与交于点，当为直径时，， 此时，， 根据正弦定理得． 于是， 因此可得，根据向量的共线定理， 可知存在，使得，且， 故，可得． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换公式、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 一十一．平面向量的坐标运算（共3小题） 37．（2022春•浦东新区校级期末）已知点、，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，利用两个向量坐标形式的运算法则，求出点的坐标． 【解答】解：，，且， 设点， 则，，， 解得，， 则点的坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 38．（2024春•浦东新区校级期中）若点，，则向量的坐标是 　　． 【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点，， 则向量． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量坐标的定义，属于基础题． 39．（2022春•徐汇区校级期末）已知点的坐标为，1，，向量，则点的坐标为 　，1，　． 【分析】先设，然后结合向量的坐标运算即可求解． 【解答】解：设，，， 因为，1，，所以，，， 所以，，，0，， 所以，，， 即，，， 故，1，． 故答案为：，1，． 【点评】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，属于基础题． 一十二．平面向量共线（平行）的坐标表示（共3小题） 40．（2023春•徐汇区期末）设，，且，则　　． 【分析】根据已知条件，结合直线共线的性质，即可求解． 【解答】解：，且， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 41．（2024春•黄浦区校级期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【分析】根据得出，，而根据，，三点共线得出，然后根据平行向量的坐标关系即可求出的值，进而得出的值． 【解答】解：，， ，，三点共线， ， ，化简得：，解得或， ，或，． 【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量坐标的减法运算，平行向量的坐标关系，是基础题． 42．（2024春•浦东新区校级期中）已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量平行列出方程求解即可． （2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为0，再分别求出和夹角不为0时的取值范围即可． 【解答】解：（1）因为， 所以，， 又因为， 所以，解得． （2）因为，， 所以， 因为与的夹角为锐角， 所以，且夹角不为0． 当时，，解得； 当与的夹角为0时，，解得， 故与的夹角不为0时，； 综上可得：的取值范围是． 【点评】本题主要考查了向量平行及向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题． 一十三．数量积表示两个向量的夹角（共4小题） 43．（2024春•浦东新区校级期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 　　（用弧度制表示）． 【分析】利用数形结合即可找到夹角． 【解答】解：如图所示，向量与向量的夹角是的补角， 又，，． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的夹角，属于简单题． 44．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 　　． 【分析】根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，然后即可求出和的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可得解． 【解答】解：∵均为单位向量，， ∴， ∴， ∴，＝， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，是基础题． 45．（2024春•浦东新区校级期中）已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　且　． 【分析】因夹角为锐角可知数量积大于0，但要去掉夹角为0的情况． 【解答】解：由题意知，得， 当时，，得． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了向量夹角公式的应用，属于基础题． 46．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角． 【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出，再求出向量的模． （2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再求出向量夹角． 【解答】解：（1）向量，则， 由，得， 解得，即， 所以． （2）向量，则，由，得， 解得，则，，而， 因此，而， 所以与的夹角． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题． 一十四．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题） 47．（2024春•浦东新区校级期中）已知，，若，则　　． 【分析】利用向量垂直的坐标运算，求的值． 【解答】解：由题意得，， ， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 48．（2023春•奉贤区校级期末）已知，，若与互相垂直，则实数的值是 　　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，，与互相垂直， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 49．（2024春•杨浦区校级期中）已知． （1）若与垂直，求实数的值； （2）若与方向相反，求实数的值． 【分析】（1）结合向量垂直的性质，即可求解； （2）结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：（1）， 则，解得， 与垂直， 则，解得； （2）由（1）可知，向量，不共线， 则与方向相反， 存在实数，使得，即，解得． 【点评】本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题． 50．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）将平方后，可得，进而得解； （2）易知，再根据，可建立关于可得方程，解出即可． 【解答】解：（1）因为，，且， 所以， 解得， 又， 则与的夹角为； （2）由（1）可知，， 因为， 所以， 即，解得． 【点评】本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题． 一十五．向量在物理中的应用（共2小题） 51．（2024春•浦东新区校级期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则的大小是 　70　． 【分析】由题意可知，所以，两边同时平方，结合向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：由题意可知，， 所以， 两边同时平方得，， 所以， 即的大小是． 故答案为：70． 【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题． 52．（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为 　　． 【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案． 【解答】解：设，， 则， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量在物理中的应用，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$