专题03平面向量（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

高一沪教版数学下册期末考点大串讲 串讲03 平面向量 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大易错易混经典例题+变式练习 5道期末真题对应考点练 三大重难点题型典例剖析+数学建模举例 三大常考点：知识梳理 考点透视 题型一：平面向量的线性运算 题型剖析 名师点析1.向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相接”,即 . 2.向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用. 3.数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换. 题型二：平面向量数量积的运算 名师点析向量数量积的求解策略 (1)利用数量积的定义、运算律求解. 在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述两公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用. (2)借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积. (3)借助平行向量与垂直向量. 即借助向量的分解,将待求的数量积转化为有垂直关系或平行关系的向量数量积,借助a⊥b,则a·b=0等解决问题. (4)建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解数量积. 例3(1)(2021全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=　　　　　.  (2)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1). 题型三：平面向量的平行与垂直问题 解析 ∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0, 所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), 即(1,-5)=(x-4,y-1). 名师点析1.证明向量共线问题常用的方法 (1)向量a,b(a≠0)共线⇔存在唯一的实数λ,使b=λa. (2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0. 2.证明平面向量垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). 解析 4 易错点01　模的应用错误 易错易混 解析 解析 C 易错点02　忽略数乘中的方向性 解析 B 解析 易错点03　不能区分点的坐标和向量的坐标表示 解析 D 易错点04　转换向量关系失误 解 1.(2023春·浦东新区校级期末) ， ， ，且A、C、D三点共线，则k=( ____ ) A.8 B.4 C.2 D.1 【解析】解：由题得 ， 因为A、C、D三点共线，所以 ， 所以存在实数λ，使得 ， 所以 ， 所以 ，解得 ． 故选：A． A 押题预测 40 2.(2023春·浦东新区校级期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ＞0且λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A(-2，0)，B(2，0)，点P满足 ，则 的最小值为 ____ ． 【解析】解：设P点坐标为(x,y)，则由 ，得 ， 化简得x2+y2-5x+4=0，即 ， 因为 ， 所以 ， 因为点P在圆 上，故1≤x≤4，所以 ， 故 的最小值为-3．故答案为：-3． -3 41 3.(2023春·浦东新区期末 )已知 ，且 与 夹角为锐角，则λ的取值范围为　　． 【解析】解：由题意可得， •( )＞0，且 与 不共线， 即 ， ∴5+3λ＞0，且λ≠0 解得 故答案为 ． 42 4.(2023春·杨浦区校级期末)如图，设ABCDEF是半径为1的圆O的内接正六边形，M是圆O上的动点． (1)求 的最大值； (2)求证： 为定值； (3)对于平面中的点P，存在实数x与y,使得 ，若点P是正六边形ABCDEF内的动点(包含边界)，求x-y的最小值． 【解析】解：(1)因为M，C均在圆上运动， 则| |=| |=| | =2，(圆上两点间直径最长)； (2)证明：因为A、D为圆直径的两端，M为圆上的动点， 所以MA2+MD2=AD2=4，故 =| |2+| |2 =MA2+MD2=4． 即 为定值4； 43 (3)建立如图所示的坐标系，则E( )，F( )， 则由 =x( )+y( ) =( )，即P( )， 要使x-y最小，只需使y-x最大，即点P的纵坐标最大， 由点P在正六边形上及其内部运动， 则 =1，∴y-x≤2，从而x-y≥-2， 即x-y的最小值为-2． 4.(2023春·杨浦区校级期末)如图，设ABCDEF是半径为1的圆O的内接正六边形，M是圆O上的动点． (1)求 的最大值； (2)求证： 为定值； (3)对于平面中的点P，存在实数x与y,使得 ，若点P是正六边形ABCDEF内的动点(包含边界)，求x-y的最小值． 44 5.((2023春·浦东新区期末)已知 ， ， 与 的夹角为 ． (1)求 ； (2)当k为何值时， ？ 【解析】解：(1)∵ ， ∴ ， ∴ ． (2) ， 则 ，解得k=-7． 45 【知识梳理】 一、平面向量的线性运算及运算律 1．平面向量的加、减、数乘运算 (1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))； 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和． 加法满足交换律、结合律． (2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用． 几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点． (3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． 2．向量共线及平面向量基本定理 (1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法． 特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使eq \o(AP,\s\up17(―→))＝xeq \o(AB,\s\up17(―→))，或对直线外任意一点O，有eq \o(OP,\s\up17(―→))＝xeq \o(OA,\s\up17(―→))＋yeq \o(OB,\s\up17(―→))(x＋y＝1)． (2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中{e1，e2}是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量． 由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底． 二、平面向量的坐标运算 若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)； ③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2； ⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)(b1≠0，b2≠0)； ⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝eq \r(a·a)＝ eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))； ⑧若θ为a与b的夹角，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)) \r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))) . 三、平面向量的数量积 1．两向量的数量积及其运算律 两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cos θ，θ为a与b的夹角，数量积满足运算律： ①与数乘的结合律，即(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律，即a·b＝b·a； ③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征． 3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 例1(1)平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC并延长至点E,使||=|,则点E的坐标为　　　　　.  (2)如图所示,在正五边形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e. (1)答案 解析 ∵, ∴). ∴=2=(3,-6). ∴点C的坐标为(3,-6). 由||=|,且E在DC的延长线上, ∴=-. 设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y), 得解得即E. (2)解 a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e) =()-() =. 如图,连接AC,并延长至点F,使CF=AC,则, 所以即所求作的向量a-c+b-d-e. 例2如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,=2.若=-3,则=　　　　　.  答案 解析 因为·(-)=-2-=-3, 所以. ①若,求点D的坐标; ②设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值. (1)答案 - ∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得k=-. (2)解 ①设D(x,y).因为, 所以 解得所以D(5,-4). ②因为a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3), 所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4). 因为ka-b与a+3b平行, 所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-. [计算问题与数学建模] ——巧妙运用平面向量解题举例 由于平面向量融数、形于一体，具有几何直观性与代数抽象性的“双重身份”，从而沟通了代数、几何与三角之间的内在联系，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路和方法，下面就简单举例如下： 一、向量在解代数题中的应用 [例1]　求函数f(x)＝3x＋2＋4eq \r(4－x2)的最大值． [解]　令a＝(3,4)，b＝(x，eq \r(4－x2))，则f(x)＝a·b＋2，|a|＝5，|b|＝2，故f(x)＝a·b＋2≤|a||b|＋2＝12. 当且仅当a与b同方向，即eq \f(3,x)＝eq \f(4,\r(4－x2)) >0时取等号，解得x＝eq \f(6,5). 所以当x＝eq \f(6,5)时，f(x)取得最大值12. 二、向量在解平面几何题中的应用 向量方法是借助向量的几何意义，把几何问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握． ∴eq \o(AD,\s\up17(―→))⊥eq \o(BD,\s\up17(―→))即AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，所以直径所对的圆周角为直角． 综上所述，利用向量的知识可以解决代数、几何，甚至物理中的一些问题，它可以使一些复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得具体．只要我们在平时的学习中合理使用向量这一工具来解决问题，就能培养学生学习向量的兴趣，加深各个学科之间的联系． [过河问题与数学建模] ——向量在实际生活中的应用 平面向量在实际生活中的运用，主要表现在向量的理论和方法成为解决物理学和工程技术的重要工具，物理学中的矢量即为向量，如力的分解、位移的确定、速度的合成等，均与向量息息相关. 下面就利用向量知识解决某船过河时遇到的几个问题． [典例]　一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处．船航行的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝4 km/h.那么， (1)v1与v2的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间(精确到0.1 min)? (2)当船要到达图中的C，且BC为d时，对应的|v|，θ，t又是多少？ 参考数据：sin 24°≈eq \f(2,5)　eq \r(21)≈4.58. [解]　(1)∵速度是向量，如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就能垂直到达对岸B处，由于水的流动，船被冲向下游．而水速v2的方向平行河岸向下流，船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度v的方向，显然合速度v的方向与水速v2的方向垂直，为90°，设v1的方向与水速v2的方向夹角为θ，根据向量的平行四边形法则，则θ>90°，故v1的方向与合速度v的方向夹角为(θ－90°)．先画出v2和v的方向，再利用三角形法则作出v－v2(即v1)，再把v1的起点平移到A，也可直接用平行四边形法则作出v1(注意v和v2的方向垂直)． ∵sin(θ－90°)＝eq \f(|v2|,|v1|)＝eq \f(2,5)，由本题提供的参考数据示意图可得0°≤θ－90°<90°，∴θ≈114°，又∵cos θ＝－eq \f(2,5)，∴sin θ＝eq \f(\r(21),5)≈0.92 ∴|v|＝eq \r(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2))＝|v1|sin θ≈9.2 km/h，t＝eq \f(d,|v|)≈3.3 min. 即v1与v2的夹角θ为114°时，船才能垂直到达对岸B处；船行驶3.3 min. (2)当船要到达图中的C时，∵BC＝AB＝d，∠BAC＝45°，此时合速度v的方向与水速v2的方向为90°＋45°＝135°，仍设v1的方向与水速v2的方向夹角为θ，根据向量的平行四边形法则，则θ>90°，故v1的方向与合速度v的方向夹角为(θ－135°)，如下面图： 根据正弦定理得eq \f(|v1|,sin 135°)＝eq \f(|v2|,sinθ－135°) 即eq \f(|10|,sin 135°)＝eq \f(|4|,sinθ－135°)，故θ≈151°；eq \f(|v1|,sin 135°)＝eq \f(|v|,sin[180°－135°－θ－135°])，即|v|＝eq \f(10sin θ,sin 135°)≈6.9 (km/h)； t＝eq \f(\r(2)d,|v|)＝eq \f(500\r(2),6 900)×60≈6.1 (min)． 【例1】．已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________. 如图所示，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则|eq \o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq \r(7)＋1)2＋(eq \r(7)－1)2＝42，故|eq \o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等得|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝|eq \o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4. 【变式】已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝________.　 如图，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝a－b.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝ OA＝OB.∴△OAB为等边三角形．设其边长为1，则|a－b|＝|eq \o(BA,\s\up6(→))|＝1，|a＋b|＝eq \r(3).∴eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3). eq \r(3) 【例2】．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 ∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1. 【变式】已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))) (λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)为eq \o(AB,\s\up6(→))上的单位向量，eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)为eq \o(AC,\s\up6(→))上的单位向量，设∠BAC的平分线为AD，则eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向为eq \o(AD,\s\up6(→))　的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))的方向与eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向相同．∵eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))， ∴点P在射线AD上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心． 【例3】在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋λeq \o(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，点P在第三象限，求λ的取值范围． 由题意得eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3，1)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(5，7)．设点P(x，y)(x＜0，y＜0)，则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)． 因为eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋λeq \o(AC,\s\up6(→))＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ，,y＝4＋7λ.))因为点P在第三象限，所以x＝5＋5λ<0且y＝4＋7λ<0， 解得λ<－1.故λ的取值范围为(－∞，－1)． 【例4】已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b的坐标可能是(　　) A．(4，8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) ∵a∥b，a＝(1，－2)＝－eq \f(1,4)(－4，8)＝eq \f(1,4)(4，－8)，|b|＝4|a|，∴b的坐标可能是(－4，8)或(4，－8)． 【变式】平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up6(→))，连接DC并延长至点E，使|eq \o(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)|eq \o(ED,\s\up6(→))|，则点E的坐标为________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7)) 设O为坐标原点，∵eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up6(→))，∴eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))．∴eq \o(OC,\s\up6(→))＝2eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．又∵|eq \o(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)|eq \o(ED,\s\up6(→))|，且E在DC的延长线上，∴eq \o(CE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4) eq \o(ED,\s\up6(→)). 设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－eq \f(1,4)(4－x，－3－y)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－\f(1,4)（4－x），,y＋6＝－\f(1,4)（－3－y），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝－7，))∴点E的坐标为 $$