考题猜想03 平面向量（易错、好题精选11个考点40题专练）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题03 平面向量（考题猜想，易错、好题精选11个考点40题专练） 向量的概念与向量的模 向量相等与共线 向量的加法 两向量的和或差的模的最值 平面向量数量积的性质及其运算  平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 向量的投影 平面向量的基本定理 平面向量的坐标运算 数量积表示两个向量的夹角 数量积判断两个平面向量的垂直关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．向量的概念与向量的模（共2小题） 1．（2023春•闵行区期末）下列命题中正确的是　　 A． B． C．若，则 D．若，则 2．（2023春•普陀区校级期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是　　 A． B． C． D． 二．向量相等与共线（共2小题） 3．（2024春•浦东新区校级期中）设，是不共线向量，与共线，则实数的值为　　． 4．（2023春•徐汇区校级期中）已知，是两个不平行的向量，且，，，则一定共线的三点是　　 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 三．向量的加法（共2小题） 5．（2022春•闵行区校级期中）中，　　． 6．（2024春•嘉定区校级期中）向量化简后等于 　　． 四．两向量的和或差的模的最值（共3小题） 7．（2024春•浦东新区校级期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 　　． 8．（2024春•宝山区校级期中）已知向量，，则的最大值为 　　． 9．（2024春•浦东新区校级月考）已知，若存在，，使得与夹角为，且，则的最小值为 　　． 五．平面向量数量积的性质及其运算（共14小题） 10．（2024春•浦东新区校级月考）已知非零向量，，，那么“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2023春•奉贤区校级期末）已知向量，，则下列结论正确的是　　 A．与的夹角是钝角 B． C．在上的投影的数量为 D．在上的投影的数量为 12．（2023春•闵行区校级期末）已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量、、、满足：，、2、、．若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是　　个． A．2 B．3 C．4 D．无数 13．（2023春•杨浦区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 　　． 14．（2024春•嘉定区校级期中）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 　　． 15．（2024春•浦东新区校级期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 　　． 16．（2023春•闵行区校级期中）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则　　． 17．（2023春•浦东新区校级期末）已知正三角形面积为，为边上一点，且．射线沿与夹角为的方向射到边上的点，经反射交边于点．射线经边反射交于点．若点在线段上（不包括端点、，则的取值范围为 　　． 18．（2023春•杨浦区校级期末）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则的最小值为 　　． 19．（2023春•杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，，设点，，，是线段的等分点，其中，． （1）当时，使用，表示，； （2）当时，求的值； （3）当时，求，，，的最小值． 20．（2023春•徐汇区校级期末）如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． ①求的值（用含，的式子表示）； ②若，，，，，，，分别求集合中最大元素与最小元素的值． 21．（2023春•徐汇区校级期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量”． （1）记的“相伴函数“为，若方程在区间，上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围； （2）已知点满足，向量的“相伴函数” 在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知点，向量的“相伴函数” 在处的取值为，在锐角中，设角、、的对边分别为、、，且，，求的取值范围． 22．（2023春•徐汇区校级期中）已知向量，令． （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数，且，不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 23．（2024春•浦东新区校级月考）对于一组向量，，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． （1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围； （2）若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值． 六．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共3小题） 24．（2023春•奉贤区校级月考）已知，，且与平行，则　　． 25．（2024春•黄浦区校级期中）如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，，四边形的面积为． （1）求的最大值及此时的值； （2）设点的坐标为，，，在（1）的条件下，求的值． 26．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 七．向量的投影（共3小题） 27．（2023春•静安区期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 28．（2023春•嘉定区校级期末）若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为 　　． 29．（2023春•闵行区期末）已知向量、的夹角为，，则在方向上的数量投影为 　　． 八．平面向量的基本定理（共4小题） 30．（2023春•金山区校级期末）如图，是的重心，，，是边上一点，且，则　　 A． B． C． D． 31．（2022春•杨浦区校级期中）已知点，，，是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是　　 A．可能是线段的中点 B．可能是线段的中点 C．、可能同时在线段上 D．、不可能同时在线段的延长线上 32．（2024春•普陀区校级期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 　　． 33．（2024春•杨浦区校级期中）如图所示，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点，，记与的夹角为，并设，其中，为实数． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域； （3）求为直径时，的值． 九．平面向量的坐标运算（共2小题） 34．（2024春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若点满足，则点的坐标为 　　． 35．（2023春•宝山区校级期中）已知向量，． （1）当为何值时，向量与垂直； （2）当为何值时，向量与平行． 一十．数量积表示两个向量的夹角（共2小题） 36．（2024春•闵行区校级期中）已知、为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是　　． 37．（2024春•闵行区校级期中）已知函数的图像沿向量平移后为函数对应的图像，则与轴正向单位向量的夹角为 　　． 一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共3小题） 38．（2023春•嘉定区校级期末）已知，则实数　　． 39．（2023春•浦东新区校级期末）已知． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 40．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知平面向量，． （1）当为何值时，与垂直； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量（考题猜想，易错、好题精选11个考点40题专练） 向量的概念与向量的模 向量相等与共线 向量的加法 两向量的和或差的模的最值 平面向量数量积的性质及其运算  平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 向量的投影 平面向量的基本定理 平面向量的坐标运算 数量积表示两个向量的夹角 数量积判断两个平面向量的垂直关系 一．向量的概念与向量的模（共2小题） 1．（2023春•闵行区期末）下列命题中正确的是　　 A． B． C．若，则 D．若，则 【分析】向量相加后仍是一个向量，错误； 根据向量数量积的计算公式可判断的正误； 向量长度相等，方向不一定相同，从而可判断的正误； 由得出，从而可判断的正误． 【解答】解：，错误； ，正确； 时，与的方向可能不同，与可能不相等，错误； 时，，得不出，错误． 故选：． 【点评】本题考查了向量相加、相减后仍是一个向量，向量数量积的计算公式，向量的定义，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2023春•普陀区校级期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据条件得出，然后根据向量长度的求法及数量积的运算即可得出模最大的向量． 【解答】解：，，且， ，，，． 故选：． 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，单位向量的定义，向量长度的求法，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题． 二．向量相等与共线（共2小题） 3．（2024春•浦东新区校级期中）设，是不共线向量，与共线，则实数的值为　　． 【分析】与共线，则存在实数，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于和的方程，解方程即可． 【解答】解：与共线， ， ，， ， 故答案为． 【点评】掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基底的概念，并能够用基表示平面内的向量． 4．（2023春•徐汇区校级期中）已知，是两个不平行的向量，且，，，则一定共线的三点是　　 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【分析】由题意，求出和，可得，从而得到、、三点共线． 【解答】解：，是两个不平行的向量，且，，， ，， ，、、三点共线． 故选：． 【点评】本题主要考查用向量证明三点共线的方法，属于基础题． 三．向量的加法（共2小题） 5．（2022春•闵行区校级期中）中，　　． 【分析】根据向量加法的三角形法则首尾相接，先将化为，进而可以求出答案． 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是向量加法及其几何意义，其中正确理解向量夹角的三角形法则是解答本题的关键，其中易忽略向量线性运算的结果还为向量，而错解为0． 6．（2024春•嘉定区校级期中）向量化简后等于 　0　． 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可． 【解答】解：由向量加法的运算法则，可得 ． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了向量的加法的运算法则的运用，属于基础题． 四．两向量的和或差的模的最值（共3小题） 7．（2024春•浦东新区校级期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 　6　． 【分析】根据三角形重心的性质，推导出，可知点在以点为圆心、为半径的圆上面，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出的最大值与最小值，可得答案． 【解答】解：设为△的重心，则， 因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上， 不妨设点与坐标原点重合，作出半径分别为，，1，的同心圆，如图所示， 则，当且仅当，，都在线段上，等号成立， 而， 当且仅当，，在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立． 综上所述，的最大值与最小值之和为． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题． 8．（2024春•宝山区校级期中）已知向量，，则的最大值为 　3　． 【分析】先求，再结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值． 【解答】解：，， ， ， 当，即时，有最小值为， 此时有最大值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题． 9．（2024春•浦东新区校级月考）已知，若存在，，使得与夹角为，且，则的最小值为 　　． 【分析】由已知，可设，，可知，，，，共线，然后在△中，利用余弦定理结合基本不等式，求得△ 的面积取到最大值，进而得到到直线的距离最远大值，从而根据等号成立的条件得到，使用勾股定理即可求得． 【解答】解：由已知，，令，， 故有，，，共线， 因为， 所以， 又与夹角为，即的夹角为， 在△中，由余弦定理可知：，当且仅当时等号成立， 此时取得最大值为1， 此时△的面积取到最大值，则到的距离最远， 即当且仅当，关于轴对称时，最小， 此时，， 此时，点到直线的距离为， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 五．平面向量数量积的性质及其运算（共14小题） 10．（2024春•浦东新区校级月考）已知非零向量，，，那么“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】“” “”，反之不成立，例如：，，．即可判断出． 【解答】解：“” “”，反之不成立，例如：，，． 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了向量的数量积与向量相等、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（2023春•奉贤区校级期末）已知向量，，则下列结论正确的是　　 A．与的夹角是钝角 B． C．在上的投影的数量为 D．在上的投影的数量为 【分析】根据平面向量的数量积以及投影的定义，判断即可． 【解答】解：对于，因为，所以与的夹角不是钝角，选项错误； 对于，，所以不成立，选项错误； 对于，在上的投影的数量为，选项正确； 对于，由知选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积以及投影的定义应用问题，是基础题． 12．（2023春•闵行区校级期末）已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量、、、满足：，、2、、．若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是　　个． A．2 B．3 C．4 D．无数 【分析】根据题意计算，由数量积为定值求出，由此求出满足要求的个数是多少． 【解答】解：因为，，、2、、， 当时，为定值， 所以，解得或（不合题意，舍去），所以， 满足要求的，，，或，，， 所以的个数最多是2个． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 13．（2023春•杨浦区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 　，　． 【分析】根据数量积的几何意义可知，表示的是与在上的投影的乘积，显然，所以，所以点的位置在直线的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段上，则由此易求得结论． 【解答】解：如图：由正六边形的性质可知，，故， 所以，所以点的位置在直线的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段上， 又表示的是与在上的投影的乘积，故当落在线段上时，在上的投影最小为0，当落在线段上时，在上的投影最大为， 故， 故答案为：，． 【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义和运算，属于中档题． 14．（2024春•嘉定区校级期中）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 　，　． 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围． 【解答】解：以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中，， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知，， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，，也成立． 综上所述，的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、圆的方程及其性质、平面向量数量积的坐标表示等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 15．（2024春•浦东新区校级期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 　，　． 【分析】向量、的数量积，等于向量的模乘以向量在向量上的投影，因此观察点运动时，向量在向量上的投影的最大值与最小值，结合题中数据算出答案． 【解答】解：根据题意，当运动到半圆弧的中点（图中的位置）时， 在向量上的投影等于，达到最小值， 故的最小值为； 当运动到半圆弧的中点（图中的位置）时， 在向量上的投影等于，达到最大值， 此时，即的最大值为24． 综上所述，的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与性质、向量数量积的几何意义等知识，属于中档题． 16．（2023春•闵行区校级期中）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则　　． 【分析】根据条件可得出，，；，，，，，，然后得出，，，这样即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，，，； ，，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的周期，三角函数的图象，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于中档题． 17．（2023春•浦东新区校级期末）已知正三角形面积为，为边上一点，且．射线沿与夹角为的方向射到边上的点，经反射交边于点．射线经边反射交于点．若点在线段上（不包括端点、，则的取值范围为 　，　． 【分析】在正三角形中，光线经过几次反射，可以在几个小三角形中，找到角度的关系，最后利用点落在线段上得到限制条件，进而解出角的正切值范围，因为不是特殊角，故用反三角函数表示角的范围． 【解答】解：由可得，即正三角形边长为3， 又，，故． 由题设知：在中，设，， 由正弦定理有，即， 则， 在中，有，即， ， 在中，有，即， ， 由题意，点在线段上 不包括端点，， 所以，即，解得， 即， 由可得，即， 由可得，即， 综上，， 即． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属难题． 18．（2023春•杨浦区校级期末）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则的最小值为 　　． 【分析】不妨设，，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可； 【解答】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题： 由，， 同时由余弦定理，， 而实际上表示的是的延长线． 故，而，则与的夹角． 可知，随着的增大，也在增大，则在减小， 由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可． 第一种极限情况，当与重合时，， 第二种极限情况，当位于的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，， 由于恒成立，则，则的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平行向量的综合运用，同时也涉及了余弦定理以及极限思想的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于难题． 19．（2023春•杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，，设点，，，是线段的等分点，其中，． （1）当时，使用，表示，； （2）当时，求的值； （3）当时，求，，，的最小值． 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算求解； （2）根据向量的坐标运算求解； （3）据向量的坐标运算可得，结合函数分析求解． 【解答】解：（1）由题意可得：， 当时，，． （2），，则， 由（1）可得：， 当时，则，，2，，， ，，， ． （3）当时，，， 可得， ， ， 构建， ①当，2，3，4时，， 可得当时，上式有最小值； ②当时，， ③当，7，8，9时，， 可得当时，上式有最小值． 综上所述：的最小值为． 【点评】本题主要考查向量数量积的运算及性质，向量的基本定理，向量的模，考查运算求解能力，属于难题． 20．（2023春•徐汇区校级期末）如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． ①求的值（用含，的式子表示）； ②若，，，，，，，分别求集合中最大元素与最小元素的值． 【分析】（1）根据，，共线，将用，表示，求和后再求模长； （2）①根据数量积定义计算； ②将用，，表示，依次视为，，的函数讨论单调性求最值． 【解答】解：（1）当时，， ，，， 所以 ， 所以， 又为等边三角形，且边长为1，为外接圆的圆心， 则，且， 所以 ， 则， 所以； （2）①为等边三角形，为外接圆的圆心， ，则， 又，，分别为，的5等分点， 又，，， ； ② ， 同理可得：，， ， 令， ①当时，时，， ，时取最大值，则， 时，， ，时取最小值，则， 则当时，， ②当时，时，， ，时取最大值，则， 时，， ，时取最小值，则， 则当时，， 综上所述：的最大值为，最小值为． 【点评】本题考查平面向量数量积的应用，属难题． 21．（2023春•徐汇区校级期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量”． （1）记的“相伴函数“为，若方程在区间，上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围； （2）已知点满足，向量的“相伴函数” 在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知点，向量的“相伴函数” 在处的取值为，在锐角中，设角、、的对边分别为、、，且，，求的取值范围． 【分析】（1）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得的范围； （2）由，可求得即时取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围； （3）由题意可得，由余弦定理和向量数量积定义可得，再由正弦定理化得，其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知，注意到，所以，所以，故，，从而，结合函数单调递减，可得． 【解答】解：（1）由题意可得的“相伴函数” ， 即方程可化为， 则方程有四个实数解． 分离常数可得有四个实数解． 令， ①当； ②当． 所以，作出的图像： 所以函数与有四个交点时，实数的取值范围为，． （2）由题意可得向量的“相伴函数” ， 其中． 当，即时，取最大值， 所以， 所以，令，则， 所以△，解得：，所以， 因为单调递增，所以， 所以． （3）， 由余弦定理②， 由定义，则， 由正弦定理：，其中锐角的终边经过点， 由锐角三角形可知：， 注意到，所以， 所以，②式变形为，故，，从而， 此时函数单调递减，而， 所以． 【点评】本题考查了三角恒等变换，三角函数的单调性、最值问题以及两个函数图象交点个数的问题，属于难题． 22．（2023春•徐汇区校级期中）已知向量，令． （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数，且，不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据．求解出解析式，化简，结合三角函数的性质可得函数的对称轴方程； （2）根据时，求解出的范围，换元法转化为二次函数问题求最小值； （3）根据任意的，，求出的范围．利用基本不等式即可求出实数的取值范围． 【解答】解：（1）向量， 由 ． 由，． 可得 函数对称轴方程为． （2）函数， 令， ， ， 则． 对称轴． 当时，可得，函数取得小值为． 当时，可得，函数取得小值为 当时，可得，函数取得小值为． （7分） （3）当，时，由（2）解析式可得：，． 而 解得：． 故得实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．转化思想和基本不等式的运用．二次函数最值的讨论．属于难题． 23．（2024春•浦东新区校级月考）对于一组向量，，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． （1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围； （2）若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值． 【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得； （3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设，由条件列式，变形为，转化为求的最小值． 【解答】解：（1）由题意可得：，则，解得：； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量” ，只需使， 又， 故只需使 ，即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，； （3）由题意，得，，即， 即，同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由得：， 设，，则依题意得：， 得，，，，， 故，，，，， ，，，，， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 故． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于难题． 六．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共3小题） 24．（2023春•奉贤区校级月考）已知，，且与平行，则　　． 【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可． 【解答】解：已知，，且与平行， 所以，所以， 所以，所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题． 25．（2024春•黄浦区校级期中）如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，，四边形的面积为． （1）求的最大值及此时的值； （2）设点的坐标为，，，在（1）的条件下，求的值． 【分析】（1）由已知可得，，进而可得，，由三角函数的最值易得答案； （2）结合（1）易得，，代入两角和的正切公式可得答案． 【解答】解：（1）由已知，、的坐标分别为、， ，，又， ， 故当时，取最大值，所以； （2）由（1）可知以，所以， 又，，， 【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及三角函数的运算，属基础题． 26．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）利用即可得出． （2），可得，解得． 【解答】解：（1），，． ． （2），， 又，， 解得． 【点评】本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 七．向量的投影（共3小题） 27．（2023春•静安区期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面向量投影的定义计算即可． 【解答】解：平面向量，， 所以在方向上的投影为，，． 故选：． 【点评】本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题． 28．（2023春•嘉定区校级期末）若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为 　，　． 【分析】由向量，，，得出，再求在方向上的投影． 【解答】解：将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，且 所以，，，， 所以在方向上的投影为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了投影向量的计算问题，是基础题． 29．（2023春•闵行区期末）已知向量、的夹角为，，则在方向上的数量投影为 　1　． 【分析】根据条件得出，然后根据投影的计算公式即可求出答案． 【解答】解：的夹角为，， 在方向上的数量投影为：． 故答案为：1． 【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 八．平面向量的基本定理（共4小题） 30．（2023春•金山区校级期末）如图，是的重心，，，是边上一点，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】由得，再结合是的重心可解决此题． 【解答】解：由及是的重心得 ． 故选：． 【点评】本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题． 31．（2022春•杨浦区校级期中）已知点，，，是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是　　 A．可能是线段的中点 B．可能是线段的中点 C．、可能同时在线段上 D．、不可能同时在线段的延长线上 【分析】根据向量共线定理得到，，，四点共线，再利用反证法求证，问题得以解决． 【解答】解：由题意知，且， 故，，，四点共线， 若是线段的中点，，，，不成立，错误； 同理，若是线段的中点，，，，不成立，错误； 若，同时在线段上，则，， ，与矛盾，故错误； 若，不可能同时在线段的延长线上， 假设，同时在线段的延长线上， 则．，，与矛盾， 故假设不成立，所以、不可能同时在线段的延长线上，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了平面向量共线定理和反证法的应用问题，是综合性题目． 32．（2024春•普陀区校级期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 　　． 【分析】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，设正六边形的边长为2，求出向量、的坐标，设，可得，结合得到用表示的式子，根据正弦函数的最值算出答案． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为2，则外接圆半径， 可得，，，，， 圆的方程为，设，可得，． 因为，所以，可得， 因为，所以当时，的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、平面向量的坐标运算法则、圆的性质及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 33．（2024春•杨浦区校级期中）如图所示，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点，，记与的夹角为，并设，其中，为实数． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域； （3）求为直径时，的值． 【分析】（1）在中，根据余弦定理求出长，然后根据正弦定理算出外接圆的直径； （2）在中利用正弦定理算出，结合同角三角函数的关系算出，然后利用两角和的正弦公式将表示为的表达式，进而根据正弦定理求出的表达式及其定义域； （3）根据诱导公式算出与，然后求出与，利用两角和的正弦公式算出，进而利用正弦定理与平面向量基本定理算出的值． 【解答】解：（1）在中，根据余弦定理， 可得，解得（舍负）， 设外接圆半径为，由正弦定理得外接圆直径； （2）连接，在中， 由正弦定理，解得 结合，得， 所以， 结合正弦定理，可得， 综上所述，； （3）设与交于点，当为直径时，， 此时，， 根据正弦定理得． 于是， 因此可得，根据向量的共线定理， 可知存在，使得，且， 故，可得． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换公式、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 九．平面向量的坐标运算（共2小题） 34．（2024春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若点满足，则点的坐标为 　　． 【分析】设，由点、的坐标分别为、且点满足，利用坐标运算产生方程组可解决此题． 【解答】解：设，由点、的坐标分别为、且点满足， 得，，，得，解得，点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题． 35．（2023春•宝山区校级期中）已知向量，． （1）当为何值时，向量与垂直； （2）当为何值时，向量与平行． 【分析】（1）根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值； （2）根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出的值． 【解答】解：向量，， 则，； （1）当向量与垂直时，， 即， 解得； 即时，两向量垂直； （2）当向量与平行时， ， 解得； 即时，两向量平行． 【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理和数量积运算问题，是基础题． 一十．数量积表示两个向量的夹角（共2小题） 36．（2024春•闵行区校级期中）已知、为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是　，　． 【分析】根据两个向量夹角是锐角，得到两个向量的数量积大于零且两个向量不相等，利用向量的数量积运算和、为互相垂直的单位向量得到不等式，解不等式，得到结果，注意去掉使得向量相等的值． 【解答】解：与的夹角为锐角， ， ，， ， 、为互相垂直的单位向量， ， ， ， 故答案为：， 【点评】向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体． 37．（2024春•闵行区校级期中）已知函数的图像沿向量平移后为函数对应的图像，则与轴正向单位向量的夹角为 　　． 【分析】根据函数图象平移的法则，得出向量，然后设，利用平面向量的数量积与夹角公式算出，，进而利用反三角函数算出答案． 【解答】解：根据题意，为了得到函数的图像， 可将函数的图像先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，由此可得向量， 设，可得，，， 结合，，，得，，由此可得与轴正向单位向量的夹角为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数图象的平移变换、向量的数量积与夹角公式、反三角函数的应用等知识，属于中档题． 一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共3小题） 38．（2023春•嘉定区校级期末）已知，则实数　　． 【分析】由题设知，，再由，知，由此能求出的值． 【解答】解：， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查数量积的应用，解题时要认真审题，注意向量垂直的条件的灵活运用． 39．（2023春•浦东新区校级期末）已知． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）由两向量共线的坐标运算列式求解； （2）由两向量垂直的坐标运算列式求解． 【解答】解：（1）， 若，则，得； （2）， 若，则，得． 【点评】本题考查平面向量共线与平行的坐标运算，是基础题． 40．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知平面向量，． （1）当为何值时，与垂直； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【分析】（1）可求出向量，，然后根据与垂直即可得出，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出的值； （2）根据与的夹角为锐角即可得出，然后求出的范围即可． 【解答】解：（1），，且与垂直， ，解得； （2），且与的夹角为锐角， ，且与不共线， ，解得且， 的取值范围为． 【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$