浙江省八年级期末真题必刷易错60题（36个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（浙教版）

期末真题必刷易错60题（36个考点专练） 一．非负数的性质：算术平方根（共1小题） 1．（江北区期末）若，满足，则的值为　　． 二．二次根式的定义（共2小题） 2．（2021春•上虞区期末）当时，二次根式的值等于　　 A．4 B．2 C． D．0 3．（泰顺县校级期末）观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，，，　 　，，　 　（第个数）． 三．二次根式有意义的条件（共2小题） 4．（2023春•金东区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2021春•下城区期末）使二次根式有意义的可以是 　　（只需填一个）． 四．二次根式的性质与化简（共1小题） 6．（2021春•萧山区期末）　　 A．3 B． C． D．9 五．最简二次根式（共1小题） 7．（2022春•嘉兴期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 六．二次根式的混合运算（共4小题） 8．（2023春•新昌县期末）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2023春•慈溪市期末）计算： （1）； （2）． 10．（2022春•嘉兴期末）计算： （1）； （2）． 11．（2022春•钱塘区期末）计算： （1）； （2）． 七．二次根式的化简求值（共1小题） 12．（余杭区期末）（1）计算： （2）当，时，求代数式的值． 八．一元二次方程的定义（共2小题） 13．（2022春•余姚市期末）下列方程属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 14．（2021春•永嘉县校级期末）方程是关于的一元二次方程，则的值为　　 A． B．2 C．3 D．2或 九．一元二次方程的一般形式（共1小题） 15．（2023春•东阳市期末）将方程改写成的形式，则，，的值分别为　　 A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 一十．一元二次方程的解（共2小题） 16．（2021春•永嘉县校级期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　 　． 17．（2023春•慈溪市期末）若是方程的一个根，则代数式的值是 　　． 一十一．解一元二次方程-配方法（共2小题） 18．（2020春•慈溪市期末）用配方法解方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 19．（温州期末）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为　　 A．6 B． C． D． 一十二．解一元二次方程-公式法（共1小题） 20．（2023春•衢江区期末）解方程： （1）； （2）． 一十三．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 21．（2023春•慈溪市期末）解方程： （1）； （2）． 22．（2023春•诸暨市期末）（1）计算：； （2）解方程：． 23．（2023春•宁波期末）解下列方程： （1）； （2）． 一十四．根的判别式（共2小题） 24．（2022春•东阳市期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　 A． B．且 C． D．且 25．（2022春•钱塘区期末）已知关于的方程，则下列说法正确的是　　 A．不存在的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个的值，使得方程没有实数解 C．无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D．无论为何值，方程有两个不相等的实数根 一十五．不等式的性质（共1小题） 26．（仙居县期末）若，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 一十六．反比例函数的定义（共1小题） 27．（2020春•海曙区期末）下列函数中，是的反比例函数的为　　 A． B． C． D． 一十七．反比例函数的图象（共1小题） 28．（滨江区校级期末）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是　　 A． B． C． D． 一十八．反比例函数的性质（共1小题） 29．（2022春•安吉县期末）反比例函数的图象在二、四象限，则应满足 　　． 一十九．反比例函数系数k的几何意义（共2小题） 30．（上虞区期末）如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为8，则的值为　　 A．2 B． C． D． 31．（2022春•鄞州区校级期末）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，且点是线段的中点，轴，轴，的面积是，则的值为 　　． 二十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 32．（2021春•婺城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为，点是第一象限上一点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点和的中点，反比例函数图象经过点，则的值为　　． 二十一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 33．（2022春•上城区期末）已知点，都在反比例函数的图象上． （1）当时． ①求反比例函数表达式，并求出点的坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若一次函数与轴交于点，求的值． 二十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题） 34．（2023春•钱塘区期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出当时，的取值范围． （3）设，当时，；当时，，方方说：“一定小于”．你认为方方的说法正确吗？为什么？ 35．（2021春•丽水期末）如图，已知直线与反比例函数，的图象分别交于点，，点的坐标为，且点是线段的中点． （1）求，的值； （2）已知反比例函数的图象上点的横坐标为2，连结并延长交反比例函数的图象于点，连结，，试判断与的数量关系和位置关系，请说明理由． 36．（海曙区期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （Ⅰ）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （Ⅱ）连接，在轴上取点，使，并求的面积； （Ⅲ）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 37．（2020春•江北区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为 　　． 二十三．反比例函数综合题（共1小题） 38．（2022春•定海区期末）背景：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，分别在射线，上取点，，使得四边形为正方形，如图1，点在第一象限内，当时，小李测得． 探究：通过改变点的位置，小李发现点，的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题． （1）求的值． （2）设点，的横坐标分别为，，将关于的函数称为“函数”，如图2，小李画出了时“函数”的图象． ①求这个“函数”的表达式． ②补画时“函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． 二十四．三角形中位线定理（共1小题） 39．（2022春•鄞州区校级期末）如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，．若，则的长度为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 二十五．多边形的对角线（共1小题） 40．（2021春•海曙区期末）从六边形的一个顶点出发可以作对角线　　 A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 二十六．多边形内角与外角（共3小题） 41．（2022秋•华容区期末）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　　． 42．（2022春•宁波期末）已知一个多边形的内角和是720度，则这个多边形是 　　边形． 43．（2020春•慈溪市期末）如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是　　． 二十七．平行四边形的性质（共2小题） 44．（2022春•余姚市期末）如图所示，在平行四边形中，，，，是的中点，于点，则的面积为 　　平方单位． 45．（2021春•上城区校级期末）如图，在中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为　　． 二十八．菱形的性质（共1小题） 46．（2022春•鄞州区校级期末）已知，如图，菱形中，对角线与相交于点．，，则菱形的面积为　　 A．24 B．20 C．40 D．48 二十九．菱形的判定（共1小题） 47．（2022春•海曙区期末）已知四边形对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形　　 A．一组对边相等 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．一个内角为 三十．矩形的性质（共3小题） 48．（萧山区校级期末）如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是　 　． 49．（余杭区期末）已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 50．（2021春•宁波期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 三十一．正方形的性质（共2小题） 51．（2023春•慈溪市期末）四边形和都是正方形，在上，连接交对角线于点，交于点．若要求两正方形的面积之和，则只需知道　　 A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 52．（2021春•鄞州区校级期末）如图所示，正方形的边长为1，点、分别在、上，使得的周长为2． 求：（1）的大小； （2）面积的最小值． 三十二．反证法（共2小题） 53．（2022春•温州期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设　　 A． B． C． D． 54．（2021春•诸暨市期末）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”．第一步应先假设 　　． 三十三．中心对称图形（共1小题） 55．（2021春•北仑区期末）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 三十四．算术平均数（共1小题） 56．（杭州期末）某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数． （1）请你根据图中的数据，填写下表； 姓名 平均数 众数 方差 王亮 7 李刚 7 2.8 （2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？ （3）若你是教练，你打算选谁？简要说明理由． 三十五．中位数（共1小题） 57．（温岭市校级期末）数据10，10，，8的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是　　 A．10 B．8 C．12 D．4 三十六．方差（共3小题） 58．（2022春•宁波期末）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环 7 8 8 7 方差（环 0.9 1.1 0.9 1 则这四人中成绩好且发挥最稳定的是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 59．（2021春•鄞州区校级期末）若 40 个数据的平方和是 56 ，平均数是，则这组数据的方差　 　． 60．（2022春•拱墅区期末）甲、乙两人的射击测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 7 7 6 8 7 记甲测试成绩的方差为，乙测试成绩的方差为，则　　（填“”、“ ”、“ ”中的一个）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷易错60题（36个考点专练） 一．非负数的性质：算术平方根（共1小题） 1．（江北区期末）若，满足，则的值为　4　． 【分析】根据非负数的意义，求出、的值，再代入计算即可． 【解答】解：根据题意，得 ，， 即，， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查非负数的意义，掌握非负数的意义和有理数的加法是正确解答的前提． 二．二次根式的定义（共2小题） 2．（2021春•上虞区期末）当时，二次根式的值等于　　 A．4 B．2 C． D．0 【分析】把代入二次根式，再求出即可． 【解答】解：当时，式． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 3．（泰顺县校级期末）观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，，，　　，，　 　（第个数）． 【分析】由题意可知，被开方数是 2的倍数，由此即可求解． 【解答】解：，，，， 第6个数是，第个数是． 【点评】本题是找规律的题目，注意观察被开方数与第几个数的关系． 三．二次根式有意义的条件（共2小题） 4．（2023春•金东区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】二次根式的基本性质：有意义，则． 【解答】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式的基本性质：有意义，则． 5．（2021春•下城区期末）使二次根式有意义的可以是 　3（答案不唯一）　（只需填一个）． 【分析】根据负数没有平方根列出关于的不等式，求出不等式的解集确定出的范围即可． 【解答】解：二次根式有意义， ，即， 则可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 四．二次根式的性质与化简（共1小题） 6．（2021春•萧山区期末）　　 A．3 B． C． D．9 【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键． 五．最简二次根式（共1小题） 7．（2022春•嘉兴期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 六．二次根式的混合运算（共4小题） 8．（2023春•新昌县期末）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，除法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、与不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（2023春•慈溪市期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（2022春•嘉兴期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2022春•钱塘区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题 的关键． 七．二次根式的化简求值（共1小题） 12．（余杭区期末）（1）计算： （2）当，时，求代数式的值． 【分析】（1）先计算乘法，最后计算加法； （2）先运用完全平方公式整理代数式，而后代入数值计算． 【解答】解：（1）； （2），， ，， ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简求值，解题的关键是注意运算顺序以及会运用乘法公式化简代数式以达到简便计算． 八．一元二次方程的定义（共2小题） 13．（2022春•余姚市期末）下列方程属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 14．（2021春•永嘉县校级期末）方程是关于的一元二次方程，则的值为　　 A． B．2 C．3 D．2或 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，求出即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键． 九．一元二次方程的一般形式（共1小题） 15．（2023春•东阳市期末）将方程改写成的形式，则，，的值分别为　　 A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一十．一元二次方程的解（共2小题） 16．（2021春•永嘉县校级期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　1　． 【分析】根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【解答】解：将代入方程得：， 解得：． 故答案为：1 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17．（2023春•慈溪市期末）若是方程的一个根，则代数式的值是 　7　． 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后把代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入方程中得：， ， ， 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 一十一．解一元二次方程-配方法（共2小题） 18．（2020春•慈溪市期末）用配方法解方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可． 【解答】解：方程变形得：， 配方得：，即， 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 19．（温州期末）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为　　 A．6 B． C． D． 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【解答】解：， ， 阴影部分的面积为36， ， 设， 则， 同理：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 一十二．解一元二次方程-公式法（共1小题） 20．（2023春•衢江区期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ，，， ， ， ，； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 一十三．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 21．（2023春•慈溪市期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ， ，； （2）， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 22．（2023春•诸暨市期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ； （2）， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2023春•宁波期末）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答； （2）解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 一十四．根的判别式（共2小题） 24．（2022春•东阳市期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　 A． B．且 C． D．且 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到且△，然后求出两不等式的解集的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 25．（2022春•钱塘区期末）已知关于的方程，则下列说法正确的是　　 A．不存在的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个的值，使得方程没有实数解 C．无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D．无论为何值，方程有两个不相等的实数根 【分析】先计算△的值，利用的值，可作判断． 【解答】解：关于的方程， △， 、当时，△，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误； 、因为△，所以不存在的值，使得方程没有实数解．故此选项错误； 、解方程得：，，所以无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根，故此选项正确； 、当时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，计算△的值判断方程根的情况是解题的关键． 一十五．不等式的性质（共1小题） 26．（仙居县期末）若，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】已知的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案． 【解答】解：， 可假设， 则，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质和实数的大小比较．利用特殊值法解决数学问题是选择和填空常用的方法． 一十六．反比例函数的定义（共1小题） 27．（2020春•海曙区期末）下列函数中，是的反比例函数的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义和一次函数的定义对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； 、自变量的指数是2，不是反比例函数，故此选项不符合题意； 、符合反比例函数的定义，是的反比例函数，故此选项符合题意； 、是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式是解题的关键． 一十七．反比例函数的图象（共1小题） 28．（滨江区校级期末）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【解答】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 一十八．反比例函数的性质（共1小题） 29．（2022春•安吉县期末）反比例函数的图象在二、四象限，则应满足 　　． 【分析】由反比例函数图象位于第二、四象限得到，即可求出的范围． 【解答】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ，解得； 故答案为：． 【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题． 一十九．反比例函数系数k的几何意义（共2小题） 30．（上虞区期末）如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为8，则的值为　　 A．2 B． C． D． 【分析】过作于，设，于是得到，，根据矩形的面积列方程即可得到结论． 【解答】解：如图，过作于， 设， ．， 点是矩形的对角线的中点， ，， 矩形的面积为8， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键． 31．（2022春•鄞州区校级期末）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，且点是线段的中点，轴，轴，的面积是，则的值为 　3　． 【分析】设，分别表示点，，，的坐标，进而表达和的长，根据三角形的面积公式得出方程，求解即可． 【解答】解：轴，轴， 轴，轴， ． 设，则， 点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上， ，， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，利用中点表示出点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键． 二十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 32．（2021春•婺城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为，点是第一象限上一点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点和的中点，反比例函数图象经过点，则的值为　　． 【分析】过作轴于，过作轴于，易得，设，则利用相似三角形的性质可得，，进而得到． 【解答】解：如图，过作轴于，过作轴于，则， 又， ， ， 又是的中点，， ， 设，则，， ，， ，， 反比例函数的图象经过点和的中点， ， 解得， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 二十一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 33．（2022春•上城区期末）已知点，都在反比例函数的图象上． （1）当时． ①求反比例函数表达式，并求出点的坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若一次函数与轴交于点，求的值． 【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图象以及已知条件列不等式求的取值范围． （2）把已知数据代入点和直线解析式，确定的值即可． 【解答】解：（1）①时，点就是， 代入解析式得， 解得， 反比例函数解析式为， 把点代入解析式得， 解得， 点； ②当时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分， ， ； （2）点、在反比例函数上， 代入整理得，， 一次函数与轴交于点， 代入：， 即：， 在反比例函数上， ， 所以， ． 【点评】考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标． 二十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题） 34．（2023春•钱塘区期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出当时，的取值范围． （3）设，当时，；当时，，方方说：“一定小于”．你认为方方的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）根据一次函数过点代入求出，可得点坐标和一次函数解析式，再代入反比例函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的交点，可直接得到时，的取值范围； （3）根据反比例函数的增减性进行比较即可． 【解答】解：（1）一次函数的图象过点， ． 解得． 一次函数的关系式为． 由在， ． ． 反比例函数的表达式． （2）由题意，点在上， ． ． ． 与均经过一三象限，交于，， 当时，或． （3）方方的说法错误，理由如下： ，图象分布在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 当时，，即， 当时，，即． 方方的说法错误． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与反比例函数的交点是两个函数值大小转化的转折点． 35．（2021春•丽水期末）如图，已知直线与反比例函数，的图象分别交于点，，点的坐标为，且点是线段的中点． （1）求，的值； （2）已知反比例函数的图象上点的横坐标为2，连结并延长交反比例函数的图象于点，连结，，试判断与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【分析】（1）先求的坐标，再求，的值． （2）求出，的坐标，再判断，的关系 【解答】解：（1）把代入得：． 是的中点． ，． 将，代入得：． ，． （2），，理由如下： 当时，． ． 直线． 由得． ． ． ，． ． ． 是线段的中点． 是的中点． 是的中位线． ，． 【点评】本题考查反比例函数与直线的交点，中点坐标公式，中位线定理，通过坐标的关系去判断线段的关系是求解本题的关键． 36．（海曙区期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （Ⅰ）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （Ⅱ）连接，在轴上取点，使，并求的面积； （Ⅲ）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【分析】把的坐标代入反比例函数的解析式，求出，得出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式； 过作于，求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形的面积公式求出即可； 根据一次函数与反比例函数的图象，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）把代入得：， ； 把代入得：， ， 把、的坐标代入得：， ， ． 答：反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是． （Ⅱ）作轴于， ， ． ，， ． （Ⅲ）一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围是：或． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 37．（2020春•江北区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为 　　． 【分析】构造形全等，将线段长度转化为坐标运算即可求． 【解答】解：如图： 过作轴于，过点作于． 则， ． ． ． ． ． ． ，． 设，则，． ． ． 点，在的图象上． ． ． ． ，（舍去）． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的交点，构造全等三角形，将线段长度转化为点坐标的运算是求解本题的关键． 二十三．反比例函数综合题（共1小题） 38．（2022春•定海区期末）背景：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，分别在射线，上取点，，使得四边形为正方形，如图1，点在第一象限内，当时，小李测得． 探究：通过改变点的位置，小李发现点，的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题． （1）求的值． （2）设点，的横坐标分别为，，将关于的函数称为“函数”，如图2，小李画出了时“函数”的图象． ①求这个“函数”的表达式． ②补画时“函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． 【分析】（1）根据正方形的性质，可得，再将代入反比例函数，可得的值； （2）①由题意知，，则，变形即可得出关于的函数解析式； ②根据描点法，画出图象即可． 【解答】解：（1）当，时，， 四边形是正方形， ， ， 点在反比例函数，的图象上， ； （2）①由题意知，， ， ； ②如图， 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大； 函数图象与轴无交点． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“函数”的表达式． 二十四．三角形中位线定理（共1小题） 39．（2022春•鄞州区校级期末）如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，．若，则的长度为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】先证明，继而得到；再证明为的中位线，即可解决问题． 【解答】解：如图，，是的中点， 中，， ； ，分别是，的中点， 为的中位线， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键． 二十五．多边形的对角线（共1小题） 40．（2021春•海曙区期末）从六边形的一个顶点出发可以作对角线　　 A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【分析】已知多边形的边数为时），从多边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，根据以上内容求出即可． 【解答】解：从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， 故选：． 【点评】本题考查了多边形的对角线，能熟记多边形的对角线的定义是解此题的关键． 二十六．多边形内角与外角（共3小题） 41．（2022秋•华容区期末）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　8　． 【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【解答】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 42．（2022春•宁波期末）已知一个多边形的内角和是720度，则这个多边形是 　六　边形． 【分析】边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数． 【解答】解：这个正多边形的边数是，则 ， 解得：． 则这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【点评】本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解． 43．（2020春•慈溪市期末）如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是　140　． 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【解答】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为：140． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 二十七．平行四边形的性质（共2小题） 44．（2022春•余姚市期末）如图所示，在平行四边形中，，，，是的中点，于点，则的面积为 　　平方单位． 【分析】根据平行四边形对边平行可得，再利用两直线平行，内错角相等可得，根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再解直角三角形求出、，求出，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长和交于点， 在平行四边形中，， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键． 45．（2021春•上城区校级期末）如图，在中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为　10　． 【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求的长，即可求出四边形的周长． 【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：， 的周长， 四边形的周长的周长． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了平行四边形的基本性质，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形是中心对称图形． 二十八．菱形的性质（共1小题） 46．（2022春•鄞州区校级期末）已知，如图，菱形中，对角线与相交于点．，，则菱形的面积为　　 A．24 B．20 C．40 D．48 【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出的长，再得出的长，然后利用菱形面积公式得出答案． 【解答】解：菱形的对角线与相交于点，， ，，， ， ， ， 则菱形的面积为． 故选：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，正确得出的长是解题的关键． 二十九．菱形的判定（共1小题） 47．（2022春•海曙区期末）已知四边形对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形　　 A．一组对边相等 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．一个内角为 【分析】根据菱形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：四边形对角线互相平分， 四边形是平行四边形， 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故符合题意； 、一个内角为的平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 三十．矩形的性质（共3小题） 48．（萧山区校级期末）如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是　　． 【分析】根据题意可知小路①、②的面积都相当于长为米、 宽为 2 米的长方形的面积 ． 【解答】解：过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米， 平方米；平方米 ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了不规则图形的面积计算， 解题的关键是将不规则图形转化为规则图形 ． 49．（余杭区期末）已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，则，最后证明即可； （2）根据直角三角形的性质求出，值，则、、可知，周长可求． 【解答】证明：（1）四边形是矩形， ，． 又， 四边形是平行四边形． ． ． ； （2）由（1）得， ，． ，． 所以周长为． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题关键是熟知矩形的性质，从边和角入手解决问题． 50．（2021春•宁波期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②在和中，对应直角边不相等，则两三角形不全等； ③可证明； ④可通过面积转化进行解答． 【解答】解：①矩形中，为中点， ， ， 是等边三角形， ， ， 垂直平分， 故①正确； ②为等边三角形，， ，， ， ， 与不全等； 故②错误； ③易知，， ，， ，， ， ， 故③正确； ④易知， ， ， ， ， ，， ， ， 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个； 故选：． 【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型． 三十一．正方形的性质（共2小题） 51．（2023春•慈溪市期末）四边形和都是正方形，在上，连接交对角线于点，交于点．若要求两正方形的面积之和，则只需知道　　 A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【分析】延长交于点，交于点，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，，，，从而可得，，进而可得四边形和四边形都是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，，从而可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，进而利用可证，最后利用全等三角形的性质可得，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点，交于点， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 四边形是正方形， ，，， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，，，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 正方形的面积正方形的面积， 若要求两正方形的面积之和，则只需知道的长即可， 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 52．（2021春•鄞州区校级期末）如图所示，正方形的边长为1，点、分别在、上，使得的周长为2． 求：（1）的大小； （2）面积的最小值． 【分析】（1）延长至，使，则，故，进而求证，即可求得； （2）设，，，根据和，整理根据△可以解题． 【解答】解：（1）如图，延长至，使，则，故， ， 又 （2）设，，， 则， ，则 于是 整理得 △ 即 又 当且仅当时等号成立 此时 因此，当，时，取到最小值为． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等，各内角为直角的性质，本题中求证是解题的关键． 三十二．反证法（共2小题） 53．（2022春•温州期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设　　 A． B． C． D． 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【解答】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设， 故选：． 【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 54．（2021春•诸暨市期末）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”．第一步应先假设 　　． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：用反证法证明“已知，在中，，．求证：”． 第一步应先假设， 故答案为：． 【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 三十三．中心对称图形（共1小题） 55．（2021春•北仑区期末）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：．不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．是中心对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心． 三十四．算术平均数（共1小题） 56．（杭州期末）某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数． （1）请你根据图中的数据，填写下表； 姓名 平均数 众数 方差 王亮 7 李刚 7 2.8 （2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？ （3）若你是教练，你打算选谁？简要说明理由． 【分析】（1）根据平均数的定义，计算5次投篮成绩之和与5的商即为王亮每次投篮平均数，再根据方差公式计算王亮的投篮次数的方差；根据众数定义，李刚投篮出现次数最多的成绩即为其众数； （2）方差越小，乘积越稳定． （3）从平均数、众数、方差等不同角度分析，可得不同结果，关键是看参赛的需要． 【解答】解：（1）王亮5次投篮的平均数为：个， 王亮的方差为：个． 李刚5次投篮中，有1次投中4个，2次投中7个，1次投中8个，1次投中9个，故7为众数； 姓名 平均数 众数 方差 王亮 7 7 0.4 李刚 7 7 2.8 （2）两人的平均数、众数相同，从方差上看，王亮投篮成绩的方差小于李刚投篮成绩的方差．所以王亮的成绩较稳定． （3）选王亮的理由是成绩较稳定，选李刚的理由是他具有发展潜力，李刚越到后面投中数越多． 【点评】此题是一道实际问题，将统计学知识与实际生活相联系，有利于培养学生学数学、用数学的意识，同时体现了数学来源于生活、应用于生活的本质． 三十五．中位数（共1小题） 57．（温岭市校级期末）数据10，10，，8的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是　　 A．10 B．8 C．12 D．4 【分析】根据众数和平均数相等列方程．要分类讨论． 【解答】（1）当众数为10时，根据题意得：，解得，则中位数是10； （2）当时，有两个众数，而平均数为，不合题意． 故选：． 【点评】本题考查了中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．运用分类讨论的思想解决问题． 三十六．方差（共3小题） 58．（2022春•宁波期末）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环 7 8 8 7 方差（环 0.9 1.1 0.9 1 则这四人中成绩好且发挥最稳定的是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【解答】解：因为乙、丙的平均数高于甲、丁， 所以乙、丙的成绩较好， 又因为丙的方差比较乙小， 所以这四人中成绩好且发挥最稳定的是丙． 故选：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 59．（2021春•鄞州区校级期末）若 40 个数据的平方和是 56 ，平均数是，则这组数据的方差　 0.9 　． 【分析】根据方差的公式计算即可 ． 方差． 【解答】解： 由方差的计算公式可得：． 故填 0.9 ． 【点评】本题考查方差的计算： 一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小， 方差越大， 波动性越大， 反之也成立 ． 60．（2022春•拱墅区期末）甲、乙两人的射击测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 7 7 6 8 7 记甲测试成绩的方差为，乙测试成绩的方差为，则　　（填“”、“ ”、“ ”中的一个）． 【分析】根据方差计算即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$