第1章 全等三角形能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第1章 全等三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如果两个三角形有两边及一角对应相等，那么这两个三角形（    ） A．一定全等 B．一定不全等 C．不一定全等 D．面积相等 3．如图，，，那么下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 4．如图，四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积为（    ） A．15 B．20 C．35 D．70 5．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40° C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8 6．如图，方格纸中的和的大小关系是（   ）      A． B． C． D． 7．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D； ②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ④过点画射线； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 8．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠OAC等于（　　） A．65° B．95° C．45° D．100° 9．小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB＝CD，AD＝CB，下列判断不正确的是(  ) A．∠A＝∠C B．∠ABC＝∠CDA C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABC＝∠C 10．如果两个三角形中两条边分别相等，且相等的一对边上的高也相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（    ） A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等 11．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，已知△ACE≌△DBF，CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2，则AC= ． 14．如图，在△ABC中，∠A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则∠EDF= 度． 15．如图，是上一点，是的中点，交的延长线于.若，，则的长为 . 16．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为120 cm，DE=50cm，DF=25cm，那么 BC= ． 17．如图，，，，点为上一点，且，，则 ．    18．已知是中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，，AC=BD，求证：△ADO△BCO 20．（8分）（1）如图1，和相交于点，，，求证：； （2）如图2，，，，求证：． 21．（8分）如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°， (1)求证△ACE≌△BCD； (2)若∠EBD=42°，求∠AEB的度数． 22．（8分）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 23．（10分）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE （1）求证：∠BED=∠C； （2）猜想并说明BE和AC有什么数量和位置关系． 24．（10分）已知，如图，在四边形中，，且平分，点O是的中点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)求证：． 25．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE. (1)求证：△ABE≌△BCD； (2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)若CD＝1，试求△AED的面积． 26．（10分）（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 全等三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意； C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键． 2．如果两个三角形有两边及一角对应相等，那么这两个三角形（    ） A．一定全等 B．一定不全等 C．不一定全等 D．面积相等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：两边及一角对应相等，分为SAS以及SSA两种情况，SAS可得全等，而SSA无法判定，故这两个三角形不一定全等， 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，，，那么下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用证明，得出，，，利用平行线的判定可得出，，从而得出正确答案． 【详解】∵在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， ∴A、C、D选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解题的关键． 4．如图，四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积为（    ） A．15 B．20 C．35 D．70 【答案】C 【分析】证明△ABE≌△BCD，得BE=CD，AE=BD，再由四边形的面积=△ABD的面积+△BCD的面积求解即可. 【详解】∵， ∴∠AEB=∠BDC=90°， ∴∠BAE+∠ABE=90° ∵， ∴∠ABE+∠CBD=90° ∴∠BAE=∠CBD 在△ABE和△BCD中， ∵ ∴△ABE≌△BCD， ∴BE=CD，AE=BD， ∵，， ∴BE=3, AE=BD=3+4=7， S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = 故选：C 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，求出AE=BD=7是解答此题的关键. 5．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40° C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8 【答案】C 【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得 【详解】A、因为AB+ AC= BC，所以这三边不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、根据AB=5，BC=4，∠A=40°不能画出唯一三角形，如图所示△ABD和△ABC，故本选项不符合题意； C、根据∠A=60°，∠B=50°，AB=5，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个唯一的三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 根据题意得， 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 6．如图，方格纸中的和的大小关系是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，证明，得到，再根据邻补角即可得出结论． 【详解】解：如图，由图可知：，    ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 7．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D； ②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ④过点画射线； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得： ，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握有三边相等的两个三角形全等是解题的关键． 8．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠OAC等于（　　） A．65° B．95° C．45° D．100° 【答案】B 【分析】首先由已知可求得∠OBD的度数，然后证明△AOD≌△BOC，利用全等三角形的对应角相等即可求得答案. 【详解】∵在△OBD中，∠O=50°，∠D=35°， ∴∠OBD=180°-50°-35°=95°， ∵在△AOC与△BOD中 ， ∴△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD=95°， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 9．小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB＝CD，AD＝CB，下列判断不正确的是(  ) A．∠A＝∠C B．∠ABC＝∠CDA C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABC＝∠C 【答案】D 【分析】利用SSS可证明△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质可得∠A=∠C，∠ABD=∠CDB；可判断A、C选项正确，根据角的和差关系可得∠ABC＝∠CDA，即可判断B选项正确，∠ABC与∠C不是对应角，不能判断∠ABC＝∠C，综上即可得答案. 【详解】∵AB=CD，AD=CB，BD=DB ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB；故A、C选项正确， ∵∠ABD=∠CDB，∠CBD=∠ADB， ∴∠ABD-∠CBD=∠CDB-∠ADB，即∠ABC=∠CDA，故B选项正确， ∵∠ABC与∠C不是对应角， ∴∠ABC与∠C不相等．故D选项不正确， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键. 10．如果两个三角形中两条边分别相等，且相等的一对边上的高也相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（    ） A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当两个三角形全等时，当两个三角形不全等时，画出不全等时的图形，如图，证明，从而可得结论. 【详解】解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系， 第二种情况，如图，， 高， 延长 与高交于， ， 在和中， ， ， ， 此时，， 是互补关系， 综上所述，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是“相等或互补”． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握利用斜边直角边公理判定直角三角形全等，清晰的分类讨论是解题的关键. 11．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在CB上取一点G使得CG=CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证∠BDG=∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解题． 【详解】解：在CB上取一点G使得CG=CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDG是等边三角形， ∴CD=DG=CG， ∵∠BDG＋∠EDG=60°，∠EDC＋∠EDG=60°， ∴∠BDG=∠EDC， 在△BDG和△EDC中， BD=DE，∠BDG=∠EDC，DG=DC， ∴△BDG≌△EDC（SAS）， ∴BG=CE， ∴BC=BG＋CG=CE＋CD=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，本题中求证△BDG≌△EDC是解题的关键． 12．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； ③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确； ②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误； ⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确． 【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD=BE； 故①正确； ③∵△ACD≌△BCE(已证)， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)， ∴∠BCQ=180°-60°×2=60°， ∴∠ACB=∠BCQ=60°， 在△ACP与△BCQ中， ∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°， ∴△ACP≌△BCQ(ASA)， ∴AP=BQ； 故③正确； ②∵△ACP≌△BCQ， ∴PC=QC， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ=60∘， ∴∠ACB=∠CPQ， ∴PQ∥AE； 故②正确； ④∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD−AP=BE−BQ， 即DP=QE， ∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE， ∴DE≠QE， 则DP≠DE，故④错误； ⑤∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°. 故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④， 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键． 二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，已知△ACE≌△DBF，CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2，则AC= ． 【答案】5 【详解】试题解析： 即 故答案为: 14．如图，在△ABC中，∠A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则∠EDF= 度． 【答案】61° 【分析】先由等腰三角形的性质求得∠B的大小，再证明△EBD≌△DFC,得到∠DEB=∠FDC;又由三角形内角和为∠BED+∠B+∠EDB=180°,即∠FDC+∠B+∠EDB=180°，可得∠FDC+∠EDB=180°-∠B由因为∠BDC是平角可得：∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB),即可完成作答． 【详解】解：∵等腰三角形ABC ∴ 在△EBD和△DFC中 ∴△EBD≌△DFC（AAS） ∴∠DEB=∠FDC 又∵在△EBD中，∠BED+∠B+∠EDB=180 ∴∠FDC+∠EDB=180°-∠B=119° 又∵∠EDF+(∠FDC+∠EDB)=180° ∴∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB)= 180°-119°=61° 故答案为61°． 【点睛】本题考查了等腰三角形和全等三角形的知识，特别是角的等量代换成为本题解答的关键． 15．如图，是上一点，是的中点，交的延长线于.若，，则的长为 . 【答案】2 【分析】由平行可得∠ADE=∠F，结合已知条件，可证明△ADE≌△CFE，所以AD=CF=4，即可求出BD的长. 【详解】解：∵ ∴∠ADE=∠F 又∵是的中点 ∴AE=CE 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE（AAS） ∴AD=CF=4， ∴BD=AB-AD=6-4=2 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，结合已知条件熟练运用判定定理是解题的关键. 16．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为120 cm，DE=50cm，DF=25cm，那么 BC= ． 【答案】45cm 【详解】试题分析：求出EF长，根据全等三角形的性质得出EF=BC，即可得出答案． 如图： ∵的周长为120cm，DE=50cm，DF=25cm， ∴EF=120-50-25=45cm， ∵， ∴EF=BC=45cm 故答案为45cm． 考点：全等三角形的性质． 17．如图，，，，点为上一点，且，，则 ．    【答案】10 【分析】由，，，得，由同角的余角相等可得，通过证明可得，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 18．已知是中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长到，使，然后证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：延长到，使， 是边上的中线， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三边关系：， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，，AC=BD，求证：△ADO△BCO 【答案】见解析 【分析】由已知∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，加上公共边相等，利用SAS得到△ABD≌△BAC，则∠D＝∠C，AD＝BC，再根据∠AOD＝∠BOC，利用AAS可证△ADO≌△BCO． 【详解】证明：在△ABD和△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SAS）， ∴∠D＝∠C，AD＝BC， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴△ADO≌△BCO（AAS）． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 20．（8分）（1）如图1，和相交于点，，，求证：； （2）如图2，，，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的判定； （1）利用ASA即可证明； （2）利用SSS可证明，得到，利用同位角相等，两直线平行，即可得到； 【详解】解：（1）在和中， ∴ （2）∵， ∴， 即：， 在和中， ∴ ∴ ∴ 21．（8分）如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°， (1)求证△ACE≌△BCD； (2)若∠EBD=42°，求∠AEB的度数． 【答案】(1)见详解 (2)132° 【分析】（1）先求出∠ACE=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAE=∠CBD，从而求出∠CAE+∠CBE=∠EBD，再利用三角形的内角和等于180°列式求出∠EAB+∠EBA，然后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACB∠BCE=∠ECD∠BCE， 即∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD； （2）解：由（1）可知△ACE≌△BCD； ∴∠CAE=∠CBD， ∴∠CAE+∠CBE=∠CBD+∠CBE=∠EBD=42°， 在△ABC中，∠EAB+∠EBA=180°-（∠ACB+∠CAE+∠CBE）=180°-（90°+42°）=48°， 在△ABE中，∠AEB=180°-（∠EAB+∠EBA）=180°-48°=132°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于整体思想的利用． 22．（8分）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 23．（10分）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE （1）求证：∠BED=∠C； （2）猜想并说明BE和AC有什么数量和位置关系． 【答案】⑴见解析⑵BE=AC，BE⊥AC.证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定HL易证得△ACD≌△BED，即可得∠BED=∠C； （2）由（1）易得BE=AC．延长BE交AC于F，由于∠EBD+∠BED=90°，已证得∠BED=∠C，即可得∠EBD+∠C=90°，即可得BE和AC的位置关系为BE⊥AC． 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE， ∴△ACD≌△BED（HL）， ∴∠BED=∠C； （2）解：BE和AC的数量和位置关系为：BE=AC，BE⊥AC．理由如下： ∵△ACD≌△BED， ∴BE=AC； 延长BE交AC于F， ∵∠EBD+∠BED=90°，∠BED=∠C， ∴∠EBD+∠C=90°，即BE⊥AC． 24．（10分）已知，如图，在四边形中，，且平分，点O是的中点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过点O作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； （2）利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，同理求出，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可． 【详解】（1）证明：过点O作于E， ∵，平分， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE. (1)求证：△ABE≌△BCD； (2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)若CD＝1，试求△AED的面积． 【答案】（1）见解析；（2）AE＝BD，AE⊥BD，理由见解析；（3）△AED的面积为. 【分析】（1）由已知条件可推导得到，由SAS即可证明△ABE≌△BCD； (2)由（1）可得△ABE≌△BCD 可得AE＝BD，再由角的转化可得∠AFB＝90°，即可证明AE⊥BD； (3)因为 △AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积,即可求解△AED的面积． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠C＝180°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠C， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE， ∵BC＝2CD， ∴BE＝CD， 在△ABE和△BCD中，， ∴△ABE≌△BCD（SAS）； （2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下： 由（1）得：△ABE≌△BCD， ∴AE＝BD， ∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD； （3）解：∵△ABE≌△BCD， ∴BE＝CD＝1， ∵AB＝BC＝2CD＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∴CE＝CD， ∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1＝ 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握性质证明三角形全等. 26．（10分）（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）且 【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围； （2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系． 【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，可得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴边上的中线的取值范围为：； （2）且，证明如下： 如下图，延长，使得，延长与交于点H， 由（1）可易证， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$