11.1.5 旋转体（4知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

11.1.5 旋转体 课程标准 学习目标 （1）了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征； （2）能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体 （1）了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义； （2）掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.（3）能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体. （4）会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 知识点01 旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的边（或它的长度）。 （3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。 【即学即练1】（22-23高一下·黑龙江·期末）下列几何体是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【解析】圆柱是以长方形一边为轴旋转一周得到，球体以半圆直径为轴旋转一周得到， 而六棱锥、正方体、四面体都为多面体，不是旋转体.故选：A 知识点02 圆柱、圆锥、圆台 1、圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 2、圆锥的结构特征 定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3、圆台的结构特征 定义 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4、圆柱、圆柱、圆台之间的关系 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，事实上，当底面发生变化时，三者之间可以相互转化。 将圆台的上底面慢慢扩大，当与下底面相等时，转化为圆柱； 将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点（圆心）时，转化为圆锥。如下图所示。 【即学即练2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）下列命题中正确的是（    ） ①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个； ②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线； ③圆台的两个底面平行． A．①② B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【解析】对①，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故①错； 根据圆柱的母线定义可知②错； 根据圆台定义：平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与圆锥底面的部分称为圆台， 知圆台的两个底面平行，故③正确.故选：C. 知识点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1、定义：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积) 2、侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 表面积公式 S圆柱＝2πr(r＋l) S圆锥＝πr(r＋l) S圆台＝π(r12＋r22＋r1l＋r2l) 说明：r为圆柱、圆锥的底面半径，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长. 【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为_________． 【答案】. 【解析】圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x， 由题意可得：，解得， 所以圆台的侧面积. 所以圆台的表面积. 故答案为：. 知识点04 球 1、球的结构特征 球面及球的定义 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 2、球的截面的性质 （1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题． （2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝. 3、球的表面积：如果球的半径为R，那么球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍。 【即学即练4】（22-23高一下·辽宁鞍山·月考）用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据截面面积为可知：截面圆的半径， 根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为故选：C 【题型一：平面图形与旋转体】 例1．（22-23高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台， B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体， C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱， D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．故选：A 变式1-1．（21-22高一下·广东珠海·月考）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【解析】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 变式1-2．（23-24高一下·全国·课后作业）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的.故选：A. 变式1-3．（23-24高一下·福建厦门·月考）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成， 是由A中的平面图形旋转形成的.故选：A. 【方法技巧与总结】 要确定一个平面图形旋转后形成的旋转体，根据题目给出的条件确定旋转体的旋转轴，在原平面图形中找出一些关键点，这些点在旋转过程中的位置变化会影响旋转体的最终形状。 【题型二：四种旋转体的结构特征】 例2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【解析】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 变式2-1．（22-23高一下·广东东莞·月考）下列命题正确的是（    ） A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 【答案】C 【解析】只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台， 当平面不平行于圆锥底面时，得到的几何体并非圆锥和圆台，所以A错； 棱柱的侧棱都相等且平行，且侧面是平行四边形， 但其底面多边形各边不一定相等，则侧面并不一定全等，所以B错； 圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形， 所以C对； 直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体， 如图所示，所以D错.故选：C. 变式2-2．（22-23高一下·山西大同·月考）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．平行六面体的每个面都是平行四边形 【答案】BC 【解析】对于A，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故选项A正确； 对于B，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故选项B错误； 对于C，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台， 而不是用一个平面去截圆锥，故选项C错误， 对于D，平行六面体的每个面都是平行四边形，故选项D正确，故选：BC. 变式2-3．（23-24高一下·全国·课后作业）下列关于球体的说法中，错误的是（    ）． A．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．用一个平面去截一个球得到的截面是圆面 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 【答案】D 【解析】对于A，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合是正确的； 对于B，用一个平面去截一个球得到的截面是圆面是正确； 对于C，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体是正确的； 对于D，球的每一条直径都是对称轴，有无数条，故D错误.故选：D 【方法技巧与总结】 判断简单旋转体结构特征的方法：①明确旋转体由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线. 【题型三：四种旋转体的表(侧)面积】 例3．（20-21高二下·上海徐汇·期末）已知球的表面积为，则球的半径为 . 【答案】/ 【解析】设球的半径为，则，解得. 变式3-1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的表面积.故选：B 变式3-2．（23-24高一下·重庆长寿·期中）已知圆锥的母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆锥的表面积等于底面积加侧面面积可得.故选：C 变式3-3．（22-23高一下·福建三明·月考）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的高为 ；侧面积为 . 【答案】 【解析】因为两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且， 所以的长为，即圆台上底面的周长为， 设上底面半径为，则，解得， 同理可得，的长为，即圆台下底面的周长为， 设下底面半径为，则，解得， 又因为圆台母线长，如图，圆台的高为， 所以圆台的高为，侧面积为. 【方法技巧与总结】 1、圆柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，结合已知条件，并根据圆柱的侧面积计算公式即可. 2、圆锥的表面积问题，要注意利用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥底面周长”求母线长和底面半径.此外，还要注意圆锥的轴截面是等腰三角形. 3、圆求解圆台的表面积问题时要注意圆台的轴截面是等腰梯形，求圆台的表面积关键在于侧面积。“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化试解决问题的重要方法. 【题型四：组合体的结构特征与计算】 例4．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选：B. 变式4-1．（22-23高一下·湖南怀化·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱， 由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.故选：C 变式4-2．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设原圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积， 故，故圆柱的侧面积为.故选：A 变式4-3．（23-24高一下·重庆·期中）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． （1）求这种“浮球”的体积； （2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 【答案】（1）；（2）元 【解析】（1）因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径， 圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为， 圆柱的体积， ∴该“浮球”的体积是； （2）根据题意，上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒的侧面积为， ∴“浮球”的表面积； 所以共需花费（元）. 【方法技巧与总结】 组合体一般有两种基本形式：一是由基本几何体拼接而成；二是由基本几何体截去或挖去一部分而成。求组合体的表面积时应先分析该组合体由哪几部分组成，组合体的各个面之间有无重叠，再结合不同的几何体选择相应的公式求解。 【题型五：与球有关的截面问题】 例5．（22-23高一下·北京东城·月考）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30°，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬30°纬线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】按照纬线的垂直方向，作图如下，为所求纬线圈的直径， 过圆心作的垂线，垂足为，连接， 在直角三角形中，， 则北纬纬线的长为．故选：A． 变式5-1．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为 . 【答案】1或17 【解析】因为球的两个平行截面的面积分别为和， 所以球的两个平行截面的半径分别为和6， 则球心到截面的距离为， 球心到截面的距离为， 当截面圆在球心的同侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 当截面圆在球心的异侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 . 变式5-2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 【答案】/ 【解析】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 变式5-3．（22-23高一下·辽宁大连·期末）“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵故的球面射电望远镜（如图），已知“天眼”的形状为球冠（球面被平面所载后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高），设球冠底的直径，球冠的高，则球的半径 ．（精确到整百）． 【答案】800 【解析】如下图所示： 球心到截面圆的距离为， 由勾股定理可得，化简得，解得. 又，所以 【方法技巧与总结】 球的截面问题的解题思路：一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截面）是将球的问题转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题。 【题型六：旋转体的表面最短距离】 例6．（22-23高一下·云南迪庆·期末）如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开圆柱的侧面如图所示， 由图可知小虫爬行路线的最短长度是.故选：B 变式6-1．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【解析】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 变式6-2．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 【答案】 【解析】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图， 圆弧长为，而，则， 由余弦定理得， 所以最短路径等于. 变式6-3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设， 则，，则， 又，即，所以，则，， 在中由余弦定理， 所以蚂蚁爬行的最短路程为.故选：A 【方法技巧与总结】 最短路线的求解思路：求旋转体侧面上两点间距离的最小是是常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题。求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识，这正是将空间几何体问题转化为平面几何问题的体现。 一、单选题 1．（23-24高一下·福建南平·期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台 【答案】B 【解析】如图： 平面截长方体的截面为梯形，故选项A符合题意； 如图： 平面截三棱锥的截面为梯形，故选项C符合题意； 如图： 当平面沿圆台的轴截圆台时，截面为等腰梯形，故选项D符合题意； 用一个平面截圆锥，得到的截面图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是梯形， 故选项B不合题意.故选：B 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆锥的底面半径为， 由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得，即圆锥的底面半径， 则.故选：A. 3．（23-24高一下·安徽合肥·期中）圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为（    ）cm A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【解析】画出圆台的侧面展开图， 并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为, 由图得：所求的最短距离是， 设，圆心角是 则由题意知，①， ②， 由①②解得，， ∴，则． 则绳子最短距离为20cm．故选:D． 4．（22-23高一下·辽宁·月考）如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．球冠的面积，其中R为球冠对应球面的半径，为球冠的高，则撑开的伞面的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由球的性质可知，解得， 所以撑开的伞面的面积大约为．故选：A． 5．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等， 所以圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积， 则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为，故选：B 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为， 则石磨的侧面积为，解得.故选：B. 7．（22-23高一下·湖南怀化·月考）已知圆台的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆台所得的截面是一个上底为2，下底为4，腰为2的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为2，母线长为2， 所以其表面积．故选：A. 8．（2023·天津·二模）“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点， 其对称中心为正方体的体对角线的中点，点在平面的投影点为， 则有，，所以， 故该半正多面体的外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D 二、多选题 9．（22-23高一下·河北张家口·月考）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱的母线和它的轴可以不平行 B．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥 【答案】BD 【解析】对于A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误； 对于B：圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面，故B正确； 对于C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故错误； 对于D：图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱､两个圆锥，正确；故选：BD. 10．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的侧面积为 【答案】ACD 【解析】由题意可知：圆锥的母线长为， 则圆柱、圆锥的侧面积分别为、； 圆柱、圆锥、球的表面积分别为、、；故A、D正确； 可知三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小，故B错误； 圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；故选：ACD. 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设直角三角形中，，则， ①当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥， 则表面积为； ②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥， 则表面积为； ③当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成2个共底面的圆锥， 则表面积为；故选：BCD． 三、填空题 12．（22-23高一下·江西·期末）如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为，母线长最短，最长，则该斜截圆柱的侧面积为 ．    【答案】 【解析】将相同的两个几何体，对接为圆柱， 则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半， 则所求侧面积为， 13．（23-24高一下·天津·期中）如图，用一边长2为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 【答案】 【解析】由已知蛋巢的底面是边长为的正方形， 所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为， 且蛋巢的高度为， 又球的半径为，所以球心到截面的距离为， 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 【答案】 【解析】由题意，半径为，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，, 由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段即为下坡路段， 则，即，得 上坡路段长度为. 四、解答题 15．（23-24高一下·云南昆明·月考）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： （1）圆台的高； （2）截得此圆台的圆锥的母线长. 【答案】（1）12cm；（2）cm 【解析】（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示： 由已知可得上底半径，下底半径， 又腰长， 所以圆台的高为. （2）如图所示，延长交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由，可得， 解得：， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 16．（23-24高一下·广东潮州·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. （1）求圆锥的底面半径； （2）求该几何体的表面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设圆锥的底面半径为，则该底面圆为三棱柱的底面正三角形的内切圆， 利用等面积法得，解得， （2）因为正三棱柱的表面积为， 倒圆锥的底面圆面积为，倒圆锥的母线长为， 所以倒圆锥的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 17．（23-24高一下·河南信阳·月考）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱， 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和． 圆锥侧面积； 圆柱侧面积；圆柱底面积， ∴几何体表面积为． （2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图． 则． ∴、两点间在侧面上的最短路径长为． 18．（22-23高一下·安徽·月考）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4. （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角； （2）如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为圆锥的底面半径，母线长， 设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则. （2）设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为， 则，， 易知 ，即，，圆柱的侧面积. 19．（22-23高一下·浙江·期中）如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为. （1）求证： （2）①求球面三角形的面积（用，，，表示）. ②证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析 【解析】（1）证明：如图，，， 设，，的弧度数分别为，，，可知： ， 又因为：，，，所以：； （2）①因为弧和弧夹角为， 那么两弧所在半圆所夹球面部分的面积为， 同理：弧和弧所在半圆夹球面部分的面积为， 弧和弧所在半圆夹球面部分的面积为， 考虑，，极小状态和球面的对称性可知：， 所以： ； ②由于，可知. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1.5 旋转体 课程标准 学习目标 （1）了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征； （2）能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体 （1）了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义； （2）掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.（3）能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体. （4）会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 知识点01 旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的边（或它的长度）。 （3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。 【即学即练1】（22-23高一下·黑龙江·期末）下列几何体是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 知识点02 圆柱、圆锥、圆台 1、圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 2、圆锥的结构特征 定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3、圆台的结构特征 定义 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4、圆柱、圆柱、圆台之间的关系 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，事实上，当底面发生变化时，三者之间可以相互转化。 将圆台的上底面慢慢扩大，当与下底面相等时，转化为圆柱； 将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点（圆心）时，转化为圆锥。如下图所示。 【即学即练2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）下列命题中正确的是（    ） ①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个； ②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线； ③圆台的两个底面平行． A．①② B．② C．③ D．①③ 知识点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1、定义：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积) 2、侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 表面积公式 S圆柱＝2πr(r＋l) S圆锥＝πr(r＋l) S圆台＝π(r12＋r22＋r1l＋r2l) 说明：r为圆柱、圆锥的底面半径，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长. 【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为_________． 知识点04 球 1、球的结构特征 球面及球的定义 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 2、球的截面的性质 （1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题． （2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝. 3、球的表面积：如果球的半径为R，那么球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍。 【即学即练4】（22-23高一下·辽宁鞍山·月考）用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【题型一：平面图形与旋转体】 例1．（22-23高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1-1．（21-22高一下·广东珠海·月考）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 变式1-2．（23-24高一下·全国·课后作业）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高一下·福建厦门·月考）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 要确定一个平面图形旋转后形成的旋转体，根据题目给出的条件确定旋转体的旋转轴，在原平面图形中找出一些关键点，这些点在旋转过程中的位置变化会影响旋转体的最终形状。 【题型二：四种旋转体的结构特征】 例2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 变式2-1．（22-23高一下·广东东莞·月考）下列命题正确的是（    ） A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 变式2-2．（22-23高一下·山西大同·月考）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．平行六面体的每个面都是平行四边形 变式2-3．（23-24高一下·全国·课后作业）下列关于球体的说法中，错误的是（    ）． A．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．用一个平面去截一个球得到的截面是圆面 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 【方法技巧与总结】 判断简单旋转体结构特征的方法：①明确旋转体由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线. 【题型三：四种旋转体的表(侧)面积】 例3．（20-21高二下·上海徐汇·期末）已知球的表面积为，则球的半径为 . 变式3-1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24高一下·重庆长寿·期中）已知圆锥的母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（22-23高一下·福建三明·月考）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的高为 ；侧面积为 . 【方法技巧与总结】 1、圆柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，结合已知条件，并根据圆柱的侧面积计算公式即可. 2、圆锥的表面积问题，要注意利用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥底面周长”求母线长和底面半径.此外，还要注意圆锥的轴截面是等腰三角形. 3、圆求解圆台的表面积问题时要注意圆台的轴截面是等腰梯形，求圆台的表面积关键在于侧面积。“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化试解决问题的重要方法. 【题型四：组合体的结构特征与计算】 例4．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 变式4-1．（22-23高一下·湖南怀化·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 变式4-2．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（23-24高一下·重庆·期中）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． （1）求这种“浮球”的体积； （2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 【方法技巧与总结】 组合体一般有两种基本形式：一是由基本几何体拼接而成；二是由基本几何体截去或挖去一部分而成。求组合体的表面积时应先分析该组合体由哪几部分组成，组合体的各个面之间有无重叠，再结合不同的几何体选择相应的公式求解。 【题型五：与球有关的截面问题】 例5．（22-23高一下·北京东城·月考）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30°，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬30°纬线的长为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为 . 变式5-2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 变式5-3．（22-23高一下·辽宁大连·期末）“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵故的球面射电望远镜（如图），已知“天眼”的形状为球冠（球面被平面所载后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高），设球冠底的直径，球冠的高，则球的半径 ．（精确到整百）． 【方法技巧与总结】 球的截面问题的解题思路：一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截面）是将球的问题转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题。 【题型六：旋转体的表面最短距离】 例6．（22-23高一下·云南迪庆·期末）如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（    ）. A． B． C． D． 变式6-1．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 变式6-2．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 变式6-3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 最短路线的求解思路：求旋转体侧面上两点间距离的最小是是常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题。求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识，这正是将空间几何体问题转化为平面几何问题的体现。 一、单选题 1．（23-24高一下·福建南平·期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽合肥·期中）圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为（    ）cm A．10 B．12 C．16 D．20 4．（22-23高一下·辽宁·月考）如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．球冠的面积，其中R为球冠对应球面的半径，为球冠的高，则撑开的伞面的面积大约为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ） A．4 B．2 C． D． 7．（22-23高一下·湖南怀化·月考）已知圆台的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆台所得的截面是一个上底为2，下底为4，腰为2的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·二模）“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一下·河北张家口·月考）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱的母线和它的轴可以不平行 B．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥 10．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的侧面积为 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一下·江西·期末）如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为，母线长最短，最长，则该斜截圆柱的侧面积为 ．    13．（23-24高一下·天津·期中）如图，用一边长2为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 四、解答题 15．（23-24高一下·云南昆明·月考）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： （1）圆台的高； （2）截得此圆台的圆锥的母线长. 16．（23-24高一下·广东潮州·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. （1）求圆锥的底面半径； （2）求该几何体的表面积. 17．（23-24高一下·河南信阳·月考）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 18．（22-23高一下·安徽·月考）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4. （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角； （2）如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积. 19．（22-23高一下·浙江·期中）如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为. （1）求证： （2）①求球面三角形的面积（用，，，表示）. ②证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$