10.成对数据的统计相关性题型分析-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

成对数据的统计相关性题型分析 ■河南省商丘市基础教育发展中心 佟俊姬 成对数据的统计相关性是高考的高频考 点,考题形式灵活、不拘一格,一般难度为中 等偏易,但多数题目计算量较大,涉及散点 图、样本相关系数r、决定系数R2、经验回归 方程、残差及残差分析等知识。试题多与生 活实际相联系,需要在情境描述中找出数量 关系,建立数学模型,并且运用数学模型解决 实际问题。对同学们的数据分析、数学建模、 逻辑推理和数学运算素养有较高的要求。 参考公式如下。 1.样本相关系数: r = ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 = ∑ n i=1 xiyi-nxy ∑ n i=1 xi2-nx2 ∑ n i=1 yi2-ny2 。 2.经验回归直线方程ŷ=̂bx+̂a 中斜率 和截距的最小二乘估计公式分别为: b̂= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nxy ∑ n i=1 xi2-nx2 , â=̂y-̂b􀭺x。 题型一 成对数据的相关性分析 例 1 对四组成对数据进行统计,获得 以下散点图,关于其线性相关系数比较,说法 正确的是( )。 图1 图2 图3 图4 A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3 解析:根据散点图中点的分布规律和样 本相关指数的含义可知,r1 和r3 为正,r2 和 r4 为负,且第三组和第四组的线性相关程度 更强。故答案为B。 评注:通过散点图可以直观推断两个变 量之间是否存在相关关系,是正相关还是负 相关,是线性相关还是非线性相关,这是对成 对数据进行统计分析的一个重要环节。根据 图中散点分布趋势,选择合适的回归模型进 行拟合,进一步对实际问题进行出预测或决 策是解决统计问题的基本步骤。 例 2 某公司为了预测下月产品销售 情况,找出了近7个月的产品销售量y(单 位:万件)的统计数据,如表1所示。 表1 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y(万件)y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 但其中数据污损不清,经查证∑ 7 i=1 yi= 9.32,∑ 7 i=1 tiyi=40.17, ∑ 7 i=1 (yi-y)2=0.55。 请用样本相关系数推断销售量y 和月份 代码t是否线性相关,若是,说明它们的相关 程度;若不是,请说明理由。 参考数据:7≈2.646。 解析:由表格数据和参考公式及数据得: t=4,∑ 7 i=1 (ti-t)2=28, ∑ 7 i=1 (yi-y)2=0.55, ∑ 7 i=1 (ti-t)(yi-y)=∑ 7 i=1 (tiyi-tyi-yti+ty) =∑ 7 i=1 tiyi-t∑ 7 i=1 yi-y∑ 7 i=1 ti+7ty=∑ 7 i=1 tiyi- t∑ 7 i=1 yi=40.17-4×9.32=2.89。所以r= 2.89 28×0.55 ≈ 2.89 2×2.646×0.55≈0.99 。 由样本相关系数r≈0.99>0,可以推断 销售量y 和月份代码t这两个变量正线性相 73 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 关。由于0.99接近1,故两个变量的相关程 度很强。 评注:本题利用样本相关系数r的值推断 两个变量的相关关系。|r|≤1,且|r|越接近 1,成对样本数据的线性相关程度越强;|r|越 接近0,成对样本数据的线性相关程度越弱; r=0,表明成对样本数据没有线性相关关系, 但不排除他们之间有其他的相关关系。且当 r>0时,成对样本数据正相关;当r<0时,成 对样本数据负相关。 例 3 已知成对样本数据(x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn)(n≥3)中x1,x2,…,xn 不全相 等,且 所 有 样 本 点(xi,yi)(i=1, 2,…,n)都在直线y=- 2 3x+1 上,则这组 成对样本数据的样本相关系数r= 。 解析:由样本相关系数的统计含义可知, 当|r|=1时,成对数据的两个分量之间满足 线性关系。 又因为当x 的值增加时,y 的相应值呈 现减小的趋势,所以r<0,故答案为-1。 评注:本题考查散点的分布与样本相关 系数的关系,当成对样本点都在某条直线上 时,可认为两个变量之间具有线性关系,或者 说是一次函数关系。当直线的斜率为负时,r =-1;当直线的斜率为正时,r=1。 题型二 一元线性回归分析 图5 例 4 某地1~10岁男童 的年龄xi(岁)与身高中位数yi (cm)(i=1,2,…,10)的统计数 据,如表2所示。 表2 x(岁) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(cm)76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2 对上表的数据作初步处理,得到散点图 (图5),及一些统计量的值,如表3所示。 表3 x y ∑ 10 i=1 (xi-x) 2 ∑ 10 i=1 (yi-y) 2 ∑ 10 i=1 (xi-x)(yi-y) 5.5112.45 82.50 3 947.71 566.85 (1)求y 关于x 的线性经验回归方程(经 验回归方程系数精确到0.01)。 (2)某同学认为,y=px2+qx+r更适宜 作为y关于x的经验回归方程,他求得的经验 回归方程是ŷ=-0.30x2+10.17x+68.07。 经调 查,该 地11岁 男 童 身 高 的 中 位 数 为 145.3 cm。与(1)中的线性经验回归方程比 较,哪个经验回归方程的拟合效果更好? 解析:(1)设经验回归方程为ŷ=̂bx+̂a, 则b̂= ∑ 10 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 10 i=1 (xi-x)2 = 566.85 82.5 ≈6.87 。 â=􀭵y-b̂􀭺x ≈112.45-6.87×5.5≈ 74.67。 所以y 关于x 的线性经验回归方程为ŷ =6.87x+74.67。 (2)若 经 验 回 归 方 程 为 ŷ=6.87x+ 74.67,当x=11时,̂y=150.24。 若经 验 回 归 方 程 为 ŷ= -0.30x2+ 10.17x+68.07,当x=11时,̂y=143.64。 计算可得|143.64-145.3|=1.66< |150.24-145.3|=4.94,所以经验回归方程 ŷ=-0.30x2+10.17x+68.07对该地11岁 男童身高中位数的拟合效果更好。 评注:本题是一元线性回归模型的基本 题型,根据参考数据和公式求线性经验回归 方程并用所得方程进行预测。而比较两个回 归模型拟合效果优劣的方法,除了残差分析、 决定系数R2,还可以用新的观测数据来检验 模型的拟合效果,本题属于后者。新的观测 值与预测值越接近,拟合效果越好。 例 5 已知具有线性相关的五个样本 点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2), A5(6,4),用最小二乘法得到经验回归直线 方程l1:̂y=̂bx+̂a,过点A1,A2 的直线方程 l2:y=mx+n,有下面4个命题: ①m>̂b,̂a>n; ②直线l1 过点A3; ③∑ 5 i=1 (yi-̂bxi-̂a)2≥∑ 5 i=1 (yi-mxi-n)2; ④∑ 5 i=1 |yi-̂bxi-̂a|≥∑ 5 i=1 |yi-mxi-n|。 其中命题正确的是 。(只填序号) 83 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 解 析:x = 3,y = 2, b̂ = 0+4+6+8+24-5×3×2 0+4+9+16+36-5×32 = 3 5 ,̂a=y-̂bx =2- 3 5×3= 1 5 ,所以经验回归直线方程l1: ŷ= 3 5x+ 1 5 ,经过点 A3(3,2),②正确。又 经过A1,A2 的直线方程为l2:y=x,即m= 1,n=0,①正确。∑ 5 i=1 (yi-̂bxi-̂a)2= 4 5< ∑ 5 i=1 (yi-mxi-n)2=9,③错误。 ∑ 5 i=1 |yi-̂bxi-̂a|= 8 5<∑ 5 i=1 |yi-mxi-n| =5,④错误。所以正确的命题是①②。 评注:本题在考查利用公式求解线性经 验回归方程的同时,还考查统计思想和最小 二乘法的基本原理。数据分析的重要作用是 科学预测,好的回归模型能够最大程度上对 变量的变化趋势作出符合实际的推断,用最 小二乘法求得的经验回归直线不一定是最好 的模型,但一定是平面内所有直线中,离样本 点最近的直线,最能代表总体发展趋势。此 时残差绝对值的和与残差平方和都最小,且 经验回归直线经过点(x,y)。 题型三 一元非线性回归分析 例 6 某校一个课外学习小组为研究 某作物种子的发芽率y 和温度x(单位:℃) 的关系,在20个不同的温度条件下进行种子 发芽试验,由试验数据(xi,yi)(i=1,2,…, 20)得到如图6所示的散点图。此散点图中 温度在10℃至40℃之间,下面四个经验回归 方程类型中最适宜作为种子发芽率y 和温度 x 的经验回归方程类型是( )。 图6 A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x 解析:由散点图分布可知,散点分布在一 个对数型函数的图像附近,因此,最适合作为 发芽率y 和温度x 的经验回归方程类型是 y=a+bln x。故选D。 评注:在大量实际问题中,两个变量不一 定呈现线性相关关系,结合散点图的分布趋 势和一些函数的图像特征,可以选择指数函 数模型、对数函数模型、幂函数模型等对数据 进行拟合。 例 7 红铃虫是棉花的主要害虫之一,其 产卵数与温度有关。现收集到一只红铃虫的产 卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据,制成 散点图(如图7所示)。现用①y=a·bx(a>0, b>0),②y=cx2+d两种模型分别进行拟合,由 此得到相应的经验回归方程并进行残差分析, 进一步得到如图8所示的残差图。 图7 图8 根据收集到的数据,计算得到如表4所 示的数值。 表4 x z t ∑ 8 i=1 (xi-x) 2 ∑ 8 i=1 (ti-t) 2 25 2.89 646 168 422 688 ∑ 8 i=1 (zi-􀭵z)(xi-􀭺x) ∑ 8 i=1 (yi-􀭵y)(ti-t) 48.48 70 308 其中zi=ln yi,􀭵z= 1 8∑ 8 i=1 zi,ti = x2i ,t= 1 8∑ 8 i=1 ti。 93 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 (1)根据残差图,比较模型①、②的拟合 效果,应选择哪个模型? 并说明理由。 (2)根据(1)中所选择的模型,求出y 关 于x 的回归方程(计算过程中四舍五入保留 两位小数),并求当温度为35℃时,产卵数y 的预测值。 参考数据:e5.61≈273,e5.70≈299,e5.79≈327。 解析:(1)应该选择模型①。理由:因为 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区 域中,且带状区域的宽度比模型②带状区域 的宽度窄,所以模型①的拟合精度更高,经验 回归方程的预测精度相应就会更高,故选模 型①比较合适。 (2)考虑到等式y=a·bx 两边取对数,可 得ln y=ln a+xln b。令z=ln y,则z与x 可以用线性经验回归方程ẑ=ln b̂ x+ln â 来 拟合。 ln b̂= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(zi-􀭵z) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 = 48.48 168 ≈ 0.29。所以ln â=􀭵z-ln b̂ 􀭺x≈2.89-0.29× 25=-4.36。 则z关于x 的线性经验回归方程为ẑ= 0.29x-4.36。于是有ln̂y=0.29x-4.36。 所以产卵数y(个)关于温度x(℃)的回 归方程为ŷ=e0.29x-4.36。 当x=35时,̂y=e0.29×35-4.36=e5.79≈327。 所以当温度为35℃时,一只红铃虫的产卵数 的预测值是327个。 评注:本 题 涉 及 两 个 考 点:一 是 残 差 分 析,残差分析是模型推断的重要手段,如果残 差的绝对值都很小,在残差图中散点均匀分 布在横轴两侧较窄的带状区域,说明模型拟 合效果较好,否则拟合效果相对较差;二是非 线性相关模型的转化,求解非线性回归模型 中的参数超出了高中课程的范围,如遇到非 线性相关模型,需要通过换元将其转化为线 性回归模型求解。 题型四 综合考查基本概念和统计思想 例 8 (多选题)自然环境中,大气压受 到各种因素的影响,如温度、湿度和海拔等方 面的改变,都将导致大气压发生相应的变化, 其中以海拔的影响最为显著。图9是根据一 组观测数据得到海拔6 km~15 km 的大气 压强散点图,根据一元线性回归模型得到经 验回归方程y1=-4.0x+68.5,决定系数 R21=0.99;根据非线性回归模型得到经验回 归方程 y2=132.9e-0.163x,决 定 系 数 R22= 0.99,则下列说法正确的是( )。 图9 A.由散点图可知,大气压强与海拔高度 负相关 B.由方程y1=-4.0x+68.5可知,海 拔每升高1 km,大气压强必定降低4.0kPa C.由方程y1=-4.0x+68.5可知,样 本点(11,22.6)的残差为-1.9 D.对比两个回归模型,结合实际情况, 方程y2=132.9e-0.163x 的预报效果更好 解析:由散点图可知,大气压强与海拔高 度负相关,A正确。影响大气压强的因素很 多,海拔是其中之一,由线性经验回归方程可 得,海拔每升高1 km,大气压强所有可能降 低值的平均值为4.0kPa,而不是必定降低 4.0kPa,B错误。残差等于观测值减去预测 值,22.6-(-4.0×11+68.5)=-1.9,C正 确。大气压强与海拔高度负相关,根据线性经 验回归方程,随着海拔高度的增大,大气压强将 变成负值,产生矛盾,故方程y2=132.9e-0.163x 的预报效果更好,D正确。答案为ACD。 评注:由于样本具有随机性,因此样本相关 指数、经验回归方程等都是随机的,不能期望经 验回归方程得到的预测值就是响应变量的精确 值,它是响应变量所有可能取值的平均值。在 本章中,决定系数R2 用于比较两个模型的拟合 效果,R2 越大,模型的拟合效果越好。 (责任编辑 徐利杰) 04 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月