9.聚焦“两种”分布中的“五类“最值问题-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

■河北南宫中学 宋 辛 霍忠林 与二项分布和超几何分布相关的最值问 题是高考考查的热点内容,也是很多同学学 习的疑难点。下面通过具体实例来分析这两 种概率模型中的五类最值问题,并对每种题 型进行归纳总结,希望对同学们的学习有所 帮助。 模型一 二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试 验事件A 发生的概率为p(0<p<1),用 X 表示事件A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…, n。如果随机变量 X 的分布列具有上述形 式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),其中 E(X)=np,D(X)= np·(1-p)。 题型一、以k为自变量,其他参数不变 例 1 假设某人每次投篮的命中率均 为 4 5 ,各次投篮之间相互独立。若他投篮10 次,则最有可能投中几次? 解析:设 X 表示投中的次数,则 X~ B 10, 4 5 。所以 P(X=k)=Ck10 45 k · 1- 4 5 10-k ,其中k=0,1,2,…,10。 设最有可能投中k次。 由 P(X=k)≥P(X=k-1), P(X=k)≥P(X=k+1), 得: Ck10 4 5 k 1 5 10-k ≥Ck-110 4 5 k-1 1 5 11-k , Ck10 4 5 k 1 5 10-k ≥Ck+110 4 5 k+1 1 5 9-k 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得7.8≤k≤8.8,故最有可能投中8次。 点评:同学们解本题时容易将“最有可能 投中的次数”误认为数学期望,从而由E(X) =10× 4 5=8 得出最终结果,实际上这样的 解题过程是错误的。概率是表述事件发生可 能性大小的量,因此“最有可能”指的是概率 最大,而不是随机变量的期望。 归纳总结:若X~B(n,p),则令P(X= k)=Cknpk(1-p)n-k,其中k=0,1,2,…,n, 0<p<1。 由 P(X=k)≥P(X=k-1), P(X=k)≥P(X=k+1), 得: Cknpk(1-p)n-k≥Ck-1n pk-1(1-p)n+1-k, Cknpk(1-p)n-k≥Ck+1n pk+1(1-p)n-1-k。 n! k! (n-k)!p k(1-p)n-k≥ n! (k-1)! (n-k+1)!p k-1(1-p)n+1-k, n! k! (n-k)!p k(1-p)n-k≥ n! (k+1)! (n-k-1)!p k+1(1-p)n-1-k。 解得(n+1)p-1≤k≤(n+1)p。 当(n+1)p 为整数时,k=(n+1)p-1 或k=(n+1)p 时,P(X=k)的值最大; 当(n+1)p 不为整数时,k=[(n+1)p] ([x]为取整函数,表示不超过x 的最大整 数,下同),P(X=k)的值最大。 题型二、以n为自变量,其他参数不变 例 2 (福建省2023年高中毕业班适 应性练习卷第8题)已知 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+ 3σ)≈0.997 3。今有一批数量庞大的零件, 43 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 假设这批零件的某项质量指标(单位:mm)服 从正态分布 N(5.40,0.052),现从中随机抽 取n个,这n个零件中恰好有k 个的质量指 标ξ位于区间(5.35,5.55)。若k=45,以P (k=45)的最大值作为n的估计值,则n的值 为( )。 A.45 B.53 C.54 D.60 解析:由正态分布的性质知,ξ位于区间 (5.35,5.55)的概率p= 0.682 7 2 + 0.997 3 2 =0.84,故k~B(n,0.84)。不妨令f(n)= P(k=45)=C45n0.8445(1-0.84)n-45。 由 f(n)≥f(n-1), f(n)≥f(n+1), 得: C45n0.8445(1-0.84)n-45≥C45n-10.8445(1-0.84)n-46, C45n0.8445(1-0.84)n-45≥C45n+10.8445(1-0.84)n-44。 解得 45 0.84-1≤n≤ 45 0.84 ,即52.57≤n≤ 53.57,故n的估计值为53,选B。 归纳总结:若 X~B(n,p),其中n∈ N*,0<p<1。 令f(n)=P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k, 其中k=0,1,2,…,n。 由 f(n)≥f(n-1), f(n)≥f(n+1), 得: Cknpk(1-p)n-k≥Ckn-1pk(1-p)n-1-k, Cknpk(1-p)n-k≥Ckn+1pk(1-p)n+1-k。 即 k p -1≤n≤ k p 。 若 k p 为整数,则n= k p 或n= k p -1,概率 分布B(n,p)当X=k时概率值最大; 若 k p 不为整数,则n= k p ,概率分布 B(n,p)当X=k时概率值最大。 题型三、以p为自变量,其他参数不变 例 3 (2018年新课标全国Ⅰ卷第20 题改编)现对20件产品进行逐个检测,每件 产品是否合格相互独立,且每件产品不合格 的概率均为p(0<p<1),记20件产品中恰 有2件不合格的概率为f(p),求f(p)的最 大值点p0。 解析:f(p)=C220p2(1-p)18,所 以 f'(p)=C220[2p(1-p)18-18p2(1-p)17] =2C220p(1-p)17(1-10p)。 所以 f(p)在 0, 1 10 上 单 调 递 增,在 1 10 ,1 上单调递减,即当p=110时,f(p)的 值最大,故p0= 1 10 。 归纳总结:令f(p)=Cknpk(1-p)n-k,其 中k=0,1,2,…,n,0<p<1。 则f'(p)=Ckn[kpk-1(1-p)n-k-(n- k)pk(1-p)n-k-1] =Cknpk-1(1-p)n-k-1[k(1-p)-(n- k)p] =Cknpk-1(1-p)n-k-1(k-np)。 由f'(p)>0,得0<p< k n ; 由f'(p)<0,得 k n<p<1 。 故当 p = k n 时,f(p)取 得 最 大 值 f k n 。 模型二 超几何分布 一般地,假设一批产品共有 N 件,其中 M 件次品,从 N 件产品中随机抽取n 件(不 放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品 数,则X 的分布列为P(X=k)= CkMCn-kN-M CnN , k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈ N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M}, r=min{n,M}。如果随机变量 X 的分布列 具有上述形式,则称随机变量 X 服从超几何 分布,其中E(X)= nM N 。 题型四、以k为自变量,其他参数不变 例 4 一副扑克(无大、小王,52张)随 机发给甲、乙、丙、丁四人,每人13张,记 X 为甲所拿的牌中黑桃的张数,求甲最可能拿 到几张黑桃牌。 解析:P(X=k)= Ck13C13-k39 C1352 ,其中k=0, 1,2,…,13。 53 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 由 P(X=k)≥P(X=k-1), P(X=k)≥P(X=k+1), 得: Ck13C13-k39 C1352 ≥ Ck-113 C14-k39 C1352 , Ck13C13-k39 C1352 ≥ Ck+113 C12-k39 C1352 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 71 27≤k≤ 98 27 ,所以k=3,即甲最可能 拿到3张黑桃牌。 归纳总结:令P(X=k)= CkMCn-kN-M CnN 。 由 P(X=k)≥P(X=k-1), P(X=k)≥P(X=k+1), 得: CkMCn-kN-M CnN ≥ Ck-1M Cn-k+1N-M CnN , CkMCn-kN-M CnN ≥ Ck+1M Cn-k-1N-M CnN 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得(n+1) M+1 N+2-1≤k≤ (n+1)· M+1 N+2 。 若(n+1) M+1 N+2 为整数,当k=(n+1)· M+1 N+2-1 或k=(n+1) M+1 N+2 时,P(X=k) 的值最大; 若(n+1) M+1 N+2 不 为 整 数,当 k= (n+1) M+1 N+2 时,P(X=k)的值最大。 题型五、以N 为自变量,其他参数不变 例 5 (2023年云、吉、黑、皖四省联考 第20题改编)一个池塘里鱼的数目记为 N, 从池塘里捞出200尾鱼,并给鱼作上标识,然 后把鱼放回池塘里,过一段时间后再从池塘 里捞出500尾鱼,X 表示捞出的500尾鱼中 有标识的鱼的数目。若捞出的500尾鱼中有 15尾有标识,试给出N 的估计值(以P(X= 15)的最大值作为N 的估计值)。 解析:当N<685时,P(X=15)=0; 当N≥685时,记f(N)=P(X=15)= C15200C485N-200 C500N 。 由 f(N)≥f(N-1), f(N)≥f(N+1), 得: C15200C485N-200 C500N ≥ C15200C485N-201 C500N-1 , C15200C485N-200 C500N ≥ C15200C485N-199 C500N+1 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 即 C485N-200 C500N ≥ C485N-201 C500N-1 , C485N-200 C500N ≥ C485N-199 C500N+1 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 200×500 15 -1≤N≤ 200×500 15 ,即 6 665.7≤N≤6 666.7,所以 N 的估计值为 6 666。 归纳总结:令f(N)= CkMCn-kN-M CnN 。 由 f(N)≥f(N-1), f(N)≥f(N+1), 得: CkMCn-kN-M CnN ≥ CkMCn-kN-1-M CnN-1 , CkMCn-kN-M CnN ≥ CkMCn-kN+1-M CnN+1 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 Mn k -1≤N≤ Mn k 。 若 Mn k 为整数,当N= Mn k 或N= Mn k -1 时,P(X=k)的值最大; 若 Mn k 不为整数,当 N= Mnk 时,P(X =k)的值最大。 通过上述几种题型不难发现,“两种分 布中的最值问题的处理”与“数列中求最值 问题”非常相似,比如求数列{an}中的最大 值 或 最 小 值 项,可 以 借 助 方 程 组 ak≥ak-1, ak≥ak+1 或 ak≤ak-1 , ak≤ak+1 求出正整数k,从而 得到最大值或最小值项。因此,同学们在日 常的学习中除要总结题型、掌握方法外,还 要注意知识板块间的横向联系,注重知识间 的迁 移,只 有 这 样 才 能 把 所 学 的 知 识 用 “活”,从而提高自己的解题素养。 (责任编辑 徐利杰) 63 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月