8.直击成对数据的统计分析常见题型-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其 成对数据的统计分析是高考概率与统计 考查的重点内容之一。这部分知识要求同学 们从过去的单变量观察阶段转变到多变量的 数据理性分析推断阶段,往往聚焦数学核心 素养,以解决生产生活中的实际问题为背景, 考查同学们的必备知识与关键能力,深受命 题者的青睐。那么成对数据的统计分析考查 的常见题型有哪些? 又该如何破解呢? 下面 加以总结,供同学们参考。 一、成对数据的相关性判断 例 1 (1)(多选题)在下列所示的四个 图中,每个图的两个变量间具有相关关系的 是( )。 (2)已知r1 表示变量 X 与Y 之间的线 性相关系数,r2 表示变量U 与V 之间的线性 相关系数,且r1=0.837,r2=-0.957,则 ( )。 A.变量 X 与Y 之间呈正相关关系,且 X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相 关性 B.变量X 与Y 之间呈负相关关系,且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关 性 C.变量U 与V 之间呈负相关关系,且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关 性 D.变量U 与V 之间呈正相关关系,且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关 性 解析:(1)对于选项 A,散点落在某条曲 线上,则两个变量具有函数关系。 对于选项B、选项C,散点落在某条直线 附近,则这两个变量具有相关关系。 对于选项D,散点杂乱无章,无规律,则 这两个变量无相关性,不具有相关关系。 故 选BC。 (2)因为线性相关系数r1=0.837,r2= -0.957,所以变量 X 与Y 之间呈正相关关 系,变量U 与V 之间呈负相关关系,且 X 与 Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性。 故选C。 方法总结:判定两个变量相关性的方法 如下。 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上 角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右 下角,两个变量负相关。 (2)样本相关系数:当r>0时,正相关; 当r<0时,负相关;|r|越接近于1,相关性 越强。 (3)经验回归方程:当b̂>0时,正相关; 当b̂<0时,负相关。 二、线性回归方程的求法及回归分析 例 2 “城市公交”泛指城市范围内定 线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式, 也是人们日常出行的主要方式。某城市的公 交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投 放,在一个人员密集流动地段增设一个起点 站,为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等 候人数y 之间的关系,经过调查得到数据,如 表1所示。 92 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 表1 间隔时间x(min) 4 6 8 10 12 等候人数y(人) 12 15 18 22 18 (1)根据以上数据,易知可用线性回归模 型拟合y 与x 的关系,请用相关系数加以说 明; (2)建立y 关于x 的回归直线方程,并预 测当车辆发车间隔时间为14 min时乘客的 等候人数。 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn),其回归直线ŷ=̂bx+̂a 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为b̂= ∑ n i=1 xiyi-n􀭺x􀭵y ∑ n i=1 x2i-n􀭺x2 = ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x;相关系数 r= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 ;35≈5.92。 解析:(1)由题意知,􀭺x= 1 5 (4+6+8+ 10+12)=8,􀭵y= 1 5 (12+15+18+22+18)= 17。 ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) =(4-8)(12-17)+(6-8)(15-17)+ (8-8)(18-17)+(10-8)(22-17)+(12- 8)(18-17) =20+4+0+10+4=38。 ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)2=16+4+0+4+16=40。 ∑ 5 i=1 (yi-􀭵y)2=25+4+1+25+1=56。 所以r= 38 40×56 = 19 4 35 ≈0.80。 y 与x 的相关系数近似为0.80,说明y 与x 的线性相关程度非常高,可以用线性回 归模型拟合y 与x 的关系。 (2)̂b= ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)2 = 38 40=0.95 , 则â=􀭵y-̂b􀭺x=17-0.95×8=9.4,可得ŷ= 0.95x+9.4。 当x=14时,̂y=0.95×14+9.4= 22.7。 所以预测车辆发车间隔时间为14 min 时等候的乘客有23人。 方法总结:求线性回归方程及回归分析 一般步骤如下。 三、非线性回归分析 图1 例 3 为 了解某地区未成 年男性身高与体 重的关系,对该 地区12组不同 身高 xi(单 位: cm)的未成年男性体重的平均值yi(单位: kg)(i=1,2,…,12)数据作了初步处理,得到 散点图(图1)和一些统计量的值(如表2所 示)。 表2 x y ω ∑ 12 i=1 (xi-􀭺x) 2 ∑ 12 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y)∑ 12 i=1 (xi-􀭺x)(ωi-􀭵ω) 11524.3582.958 14 300 6 300 286 表中ωi=ln yi(i=1,2,…,12),􀭵ω= 1 12∑ 12 i=1 ωi。 (1)根据散点图判断y=ax+b 和y= ecx+d 哪一个适宜作为该地区未成年男性体重 的平均值y 与身高x 的回归方程类型;(给出 判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表2中数据, 建立y 关于x 的回归方程; (3)如果体重高于相同身高的未成年男 性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏 瘦,那么该地区的一位未成年男性身高为 03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 175 cm,体重为78 kg,他的体重是否正常? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…, (un,vn),其回归直线v̂=̂α+̂βu 的斜率和截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 β̂ = ∑ n i=1 (ui-􀭵u)(vi-􀭵v) ∑ n i=1 (ui-􀭵u)2 ,̂α=􀭵v-̂β􀭵u,ln 2≈0.693。 解析:(1)由散点图可知,y=ecx+d 更适 宜作为该地区未成年男性体重的平均值y 与 身高x 的回归方程类型。 (2)由y=ecx+d,得ln y=ln ecx+d=cx+ d。令ω=ln y,则ω=cx+d。 由 表 2 中 的 数 据 可 得 ĉ = ∑ 12 i=1 (xi-x)(ωi-ω) ∑ 12 i=1 (xi-x)2 = 286 14 300=0.02 ,̂d=ω- ĉx=2.958-0.02×115=0.658。 故ω=0.02x+0.658,即ln y=0.02x+ 0.658,所以y=e0.02x+0.658。 (3)由ln 2≈0.693,得e0.693≈2。 当x=175时, y=e0.02×175+0.658=e6×0.693 =(e0.693)6≈26=64。 因为64×1.2=76.8<78,所以该男性 偏胖。 方法总结:有些非线性回归分析问题并 不给出经验公式,这时可以画出已知数据的 散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指 数函数、对数函数等)的图像进行比较,挑选 一种跟这些散点拟合得最好的函数,用适当 的变量进行变换,如通过换元或取对数等方 法,把问题转化为线性回归分析问题,使之得 到解决。 四、残差和相关指数的问题 例 4 耐盐碱水稻俗称“海水稻”,是一 种可以长在滩涂和盐碱地的水稻。海水稻的 灌溉是将海水稀释后进行灌溉,某试验基地 为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的 影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种 海水稻的亩产量与海水浓度的数据(如表3 所示)。绘制散点图发现,可用线性回归模型 拟合亩产量y 与海水浓度x 之间的相关关 系,用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性 回归方程为ŷ=̂bx+0.88。 表3 海水浓度xi(‰) 3 4 5 6 7 亩产量yi(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差êi (1)求b̂,并估计当浇灌海水浓度为8‰ 时,该品种的亩产量。 (2)①完成上述表中的残差数据。 ②统计学中常用相关指数R2 来刻画回 归效果,R2 越大,模型拟合效果越好,如假设 R2=0.8,就说明响应变量y 的差异有80% 是由解释变量x 引起的。请计算相关指数 R2(精确到0.01),并指出亩产量的变化多大 程度上是由浇灌海水浓度引起的。 附:残 差 公 式 êi=yi-ŷi,相 关 指 数 R2=1- ∑ n i=1 (yi-̂yi)2 ∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 。 解析:(1)由题意得,􀭺x=5,􀭵y=0.48。 由0.48=5̂b+0.88,可得b̂=-0.08。 当x=8时,̂y=-0.08×8+0.88= 0.24, 所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩 产量为0.24吨。 (2)①由(1)知ŷ=-0.08x+0.88,从而 得到表4。 表4 海水浓度xi(‰) 3 4 5 6 7 亩产量yi(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差êi -0.020.02 0.01 0 -0.01 ②依据公式,代入题中数据可得,R2=1 - 0.000 4+0.000 4+0.000 1+0+0.000 1 0.142+0.12+0.012+(-0.08)2+0.172 =1- 0.001 0.065= 64 65≈0.98 ,所以亩产量的变化 有98%是由浇灌海水引起的。 方法总结:对于响应变量y,通过观测得 到的数据称为观测值yi,通过回归方程得到 的ŷi 称为预测值,观测值减去预测值等于残 差,̂ei 称为相应于点(xi,yi)的残差,即有êi =yi-̂yi。残差是随机误差的估计结果,通 过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效 13 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 果以及判断原始数据中是否存在可疑数据 等,这方面工作称为残差分析。 五、等高堆积条形图 例 5 (多选题)为了有针对性地提高 学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性 别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有 影响,随机抽取了300名学生,对他们是否经 常锻炼的情况进行了调查,调查发现经常锻 炼人数是不经常锻炼人数的2倍,绘制其等 高堆积条形图,如图2所示,则( )。 图2 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其 中,n = a + b + c + d。 300×(100×60-40×100)2 140×160×200×100 ≈2.679 。 表5 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.7063.8416.6357.879 10.828 A.参与调查的男生中经常锻炼的人数 比不经常锻炼的人数多 B.从参与调查的学生中任取1人,已知 该生为女生,则该生经常锻炼的概率为5 7 C.依据α=0.1的独立性检验,认为性别 因素影响学生体育锻炼的经常性,该推断犯 错误的概率不超过0.1 D.假设调查人数为600,经常锻炼人数 与不经常锻炼人数的比例不变,统计得到的 等高堆积条形图也不变,依据α=0.05的独 立性检验,认为性别因素影响学生体育锻炼 的经常性,该推断犯错误的概率不超过0.05 解析:随机抽取了300名学生,则经常锻 炼人数为200,不经常锻炼人数为100。 对于选项A,由等高堆积条形图2知,男 生中经常锻炼的人数为200×50%=100,不 经常锻炼的人数为100×60%=60,A正确。 对于选项B,由等高堆积条形图2知,女 生中经常锻炼的人数为200×50%=100,不 经常锻炼的人数为100×40%=40, 所以从 参与调查的学生中任取1人,已知该生为女 生,则该生经常锻炼的概率为 100 100+40= 5 7 , B正确。 对 于 选 项 C, 因 为 χ2 = 300×(100×60-40×100)2 140×160×200×100 ≈2.679<2.706 ,所 以依据α=0.1的独立性检验,不能认为性别 因素影响学生体育锻炼的经常性,故C错误。 对于选项D,2×2列联表如表6所示。 表6 性别 锻炼情况 不经常 经常 合计 女生 80 200 280 男生 120 200 320 合计 200 400 600 则χ2= 600×(80×200-200×120)2 280×320×200×400 = 75 14≈5.357>3.841 ,依据α=0.05的独立性 检验,认为性别因素影响学生体育锻炼的经 常性,该推断犯错误的概率不超过0.05,故D 正确。 故选ABD。 方法总结:分类变量的两种统计表示形 式:(1)等高堆积条形图,根据等高堆积条形图 的高度差判断两个分类变量是否有关联及关 联强弱;(2)2×2列联表,直接利用2×2列联 表中的数据进行计算分析,用定量的方式判断 两个分类变量是否有关联及关联强弱。 六、独立性检验及应用 例 6 (1)针对时下的“短视频热”,某 高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关 联进行了一次调查,其中被调查的男生、女生 人数均为5m(m∈N*)人,男生中喜欢短视 频的人数占男生人数的 4 5 ,女生中喜欢短视 23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月 频的人数占女生人数的 3 5 。零假设 H0 为: 喜欢短视频和性别相互独立。若我们推断 H0 不成立,此推断犯错误率不超过5%,则 m 的最小值为( )。 A.7 B.8 C.9 D.10 (2)某生产线上,质量监督员甲在生产现 场时,990件产品中有合格品982件,次品8 件;不在生产现场时,510件产品中有合格品 493件,次品17件。能否在犯错误的概率不 超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不 在生产现场与产品质量好坏有关系? 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表7 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.7063.8416.6357.879 10.828 解析:(1)根据题意,不妨设a=4m,b= m,c=3m,d=2m。 于是χ2= 10m(4m×2m-3m×m)2 5m·5m·7m·3m = 10m 21 。依据α=0.05的独立性检验认为喜欢 短视频和性别不独立,根据表7可知 10m 21 ≥ 3.841,解得m≥8.066 1,于是m 的最小值为 9。选C。 (2)根据题目所给数据得到如表8所示 的2×2列联表。 表8 合格品 次品 合计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场 493 17 510 合计 1 475 25 1 500 χ2 = 1 500×(982×17-8×493)2 990×510×1 475×25 ≈ 13.097>10.828,根据小概率值α=0.001的 独立性检验,认为质量监督员甲在不在生产 现场与产品质量好坏有关。 方法总结:1.比较几个分类变量有关联 的可能性大小的方法:(1)通过计算χ2 的大 小判断,χ2 越大,两个变量有关联的可能性 越大;(2)通过计算|ad-bc|的大小判断, |ad-bc|越大,两个变量有关联的可能性越大。 2.独立性检验的一般步骤:(1)根据样本 数据制成2×2列联表;(2)根据公式χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,计算χ2 的值; (3)比较χ2 与临界值xα 的大小关系,作统计 推断。 (责任编辑 徐利杰) 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 33 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年5月