3.2023年高考随机变量及其分布列考点解读-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

■许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 研究近几年的高考命题可以看出,新高 考对随机变量及其分布列考点的考查,由原 来对生活实践情境中某一概率模型(某一知 识点)的单一考查逐步演变到对生活实践情 境类问题的综合考查,试题也由原来的中档 解答题逐步延伸到综合压轴题,所考查的知 识内涵也多以知识交汇为主,特别是2022年 新高考Ⅰ卷还引入了概率统计中的证明作为 创新题型呈现,这样不但打破了原来的备考 思维模式,而且新的考法对数学核心素养的 要求更高。下面结合2023年高考真题,对随 机变量及其分布列的考点进行解读,希望能 够引导同学们探究本考点问题的破解规律。 考点1 对条件概率的考查 例 1 【2023年全国甲卷理科第6题】 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰, 50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰 或爱好滑雪。在该地的中学生中随机调查一 位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好 滑冰的概率为( )。 A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 命题意图:本题主要考查条件概率,考查 同学们逻辑推理的数学素养。 解题思路:先计算出该同学同时爱好两项 运动的概率,再利用条件概率的知识进行解答。 解析:该同学同时爱好两项运动的概率 为0.5+0.6-0.7=0.4,记“该同学爱好滑 雪”为事件 A,记“该同学爱好滑冰”为事件 B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,所以P(B|A) = P(AB) P(A)= 0.4 0.5=0.8 。 故选A。 考点解读:求条件概率的常用方法包括: (1) 定义法,分别求P(A)和P(AB),得到 P(B|A)= P(AB) P(A) ;(2) 样本点法,借助古典 概型概率公式,先求事件A 包含的样本点个 数n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的样本点个数,即n(AB),得P(B|A)= n(AB) n(A) 。 考点2 对全概率公式及离散型随机变 量的数字特征的考查 例 2 【2023年新课标全国Ⅰ卷第21 题】甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规 则如下:若命中,则此人继续投篮;若未命中, 则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮 的命中率均为0.8。由抽签确定第1次投篮 的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5。 (1)求第2次投篮的人是乙的概率。 (2)求第i次投篮的人是甲的概率。 (3)已知:若随机变量Xi 服从两点分布, 且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2, …,n,则E(∑ n i=1 Xi)=∑ n i=1 qi。记前n次(即从第 1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求 E(Y)的值。 命题意图:本题是考查全概率公式及离 散型随机变量的期望值,同时也考查数列的 知识,考查同学们的逻辑推理、数学建模及数 学运算等数学素养。 解题思路:(1)利用全概率公式进行解 答;(2)设 P(Ai)=pi,由 题 意 知 pi+1= 0.4pi+0.2,根据数列的知识,构造等比数列 即可解答;(3)先求出两点分布的期望,再根 据题中的结论及等比数列的求和公式进行解 答。 解析:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事 件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi。 所以,P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2) =P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1) =0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6。 11 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 (2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)= 1-pi。 则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1) =P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi)。 即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)= 0.4pi+0.2。 构造等比数列{pi+λ},设 pi+1+λ= 2 5 (pi+λ),解 得λ=- 1 3 ,故 pi+1- 1 3= 2 5 pi- 1 3 。 又 p1 = 1 2 ,故 p1 - 1 3 = 1 6 ,所 以 pi- 1 3 是首项为16,公比为25的等比数列。 因此,pi- 1 3= 1 6× 2 5 i-1 ,pi= 1 6× 2 5 i-1 + 1 3 。 (3)因为pi= 1 6× 2 5 i-1 + 1 3 ,i=1, 2,…,n,所 以 当 n∈N* 时,E(Y)=p1+ p2+… + pn = 1 6 × 1- 25 n 1- 2 5 + n 3 = 5 181- 2 5 n +n3。 故E(Y)= 5 181- 2 5 n +n3。 考点解读:1.利用全概率公式解题的思 路:(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分 解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n);(2) 求P(Ai)与所求事件B 在各个互斥事件Ai 发生条件下的概率P(B|Ai)之积;(3)代入 全概率公式进行计算。 2.求离散型随机变量 X 的期望值与方 差的步骤:(1)理解X 的意义,写出X 可能的 全部值;(2)求 X 取每个值的概率;(3)写出 X 的分布列;(4)由期望值、方差的定义求 E(X),D(X)。 考点3 对随机变量及其分布列与统计 的综合应用的考查 例 3 【2023年全国甲卷理科第19 题】一项试验旨在研究臭氧效应。试验方案 如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分 配到试验组,另外20只分配到对照组,试验 组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境中,对照 组的小白鼠饲养在正常环境中,一段时间后 统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g)。 (1)设X 表示指定的两只小白鼠中分配 到对照组的只数,求 X 的分布列和数学期 望。 (2)试验结果如下。 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大 排序如表1所示。 表1 15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1 32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大 排序如表2所示。 表2 7.8 9.2 11.412.413.215.516.518.018.819.2 19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5 (i)求40只小鼠体重的增加量的中位数 m,再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数,完成如下列联表(表3)。 表3 <m ≥m 对照组 试验组 (i)根据(i)中的列联表,能否有95%的 把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常 环境中体重的增加量有差异。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表4 α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 命题意图:本题考查超几何分布的分布 列及期望,同时考查与独立性检验的综合运 用,考查同学们的逻辑推理及数学运算等数 学素养。 解题思路:(1)利用超几何分布的知识可 21 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 求得分布列及数学期望值;(2)(i)根据中位 数的定义即可求得 m 的值,从而求得列联 表;(i)利用独立性检验的卡方计算,进行检 验,即可得解。 解析:(1)依题意可知,X 的可能取值为 0,1,2。 则P(X=0)= C020C220 C240 = 19 78 ,P(X=1)= C120C120 C240 = 20 39 ,P(X=2)= C220C020 C240 = 19 78 。 所以X 的分布列如表5所示。 表5 X 0 1 2 P 1978 20 39 19 78 故E(X)=0× 19 78+1× 20 39+2× 19 78=1 。 (2)(i)依题意可知,这40只小白鼠体重 增量的中位数是将两组数据合在一起,从小 到大排序后第20位与第21位数据的平均 数,观察数据可得第20位为23.2,第21位为 23.6,所以m= 23.2+23.6 2 =23.4 。 故列联表如表6所示。 表6 <m ≥m 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 (i ) 由 (i) 可 得,χ2 = 40×(6×6-14×14)2 20×20×20×20 =6.400 。 6.400>x0.050=3.841,所以能有95%的 把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常 环境中体重的增加量有差异。 考点解读:1.超几何分布主要用于抽检产 品、摸不同类别的小球等问题的概率模型,其本 质是古典概型。超几何分布的特征:①考查对 象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取 若干个个体,考查某类个体数X 的分布列。 2.二项分布与超几何分布模型的辨识一直 是同学们学习的难点,“二项分布”与“超几何分 布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放 回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时, 超几何分布可视为二项分布来处理。 (责任编辑 徐利杰) 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 31 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月