10.导数压轴题中的函数构造易错点分析-《中学生数理化》高考数学2024年5月刊

■江苏省南京市板桥中学 纪明亮 导数综合问题是高考的重点,基本上以 压轴题形式出现,难度大,对同学们的能力要 求高。导数压轴题中存在各种易错点,分析 易错点是极好的复习策略,能帮助同学们提 升解题能力。导数压轴题的解决离不开构造 函数,下面笔者对导数压轴题中的函数构造 易错点进行分析,探究克服错误的策略。 一、含指数项函数的函数构造错误 例 1 已知函数f(x)=(x+a)ex。 若∀x∈R,f(x)≥ 1 6x 3-x-2,求a的取值 范围。 错解:因为∀x∈R,f(x)≥ 1 6x 3-x- 2,所以(x+a)ex≥ 1 6x 3-x-2,所以a≥ 1 6x 3-x-2 e-x -x。设 函 数 g(x)= 1 6x 3-x-2 e-x-x,则∀x∈R,a≥g(x)。 因为g'(x)= - 1 6x 3+ 1 2x 2+x+1 e-x- 1,所以设h(x)=- 1 6x 3+ 1 2x 2+x+1,则 h'(x)=- 1 2x 2+x+1。令h'(x)<0,得x < 3-1或x> 3+1;令h'(x)>0,得 3- 1<x< 3+1。所以h(x)在(-∞,3-1) 和(3+1,+∞)上单调递减,在(3-1,3 +1)上单调递增。由于h(x)的零点难以求 出,因此不能判断g(x)的单调性。 错因分析:因为 ex '=ex,ex ″=ex,…, (ex)(n)=ex,ex 具备n 次求导不变性,所以构 造含ex 项函数时,ex 项应与其他项以积或商 的形式出现。对于导函数只需知道正负即 可,因此对于导函数只需对不能确定正负的 因式项进一步构造函数。 正解:因为∀x∈R,f(x)≥ 1 6x 3-x- 2,所以(x+a)ex≥ 1 6x 3-x-2,所以a≥ 1 6x 3-x-2-xex e-x。设 函 数 g(x)= 1 6x 3-x-2-xex e-x,则∀x∈R,a≥g(x)。 因为g'(x)= - 1 6x 3+ 1 2x 2+x+1-ex e-x, 所以设h(x)=- 1 6x 3+ 1 2x 2+x+1-ex,则 h'(x)=- 1 2x 2+x+1-ex。因为∀x∈R, h'(x)≤0,所以h(x)在 R上单调递减。因 为h(0)=0,所以当x<0时,h(x)>0,即 g'(x)>0;当x>0时,h(x)<0,即g'(x)< 0。所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0, +∞)上单调递减,则[g(x)]max=g(0)= -2。因 为 ∀x∈R,a≥g(x),所 以 a≥ [g(x)]max=-2,则a∈[-2,+∞)。 二、含对数项函数的函数构造错误 例 2 已知函数f(x)=aln x x -1 。若 ∀x>0,f(x)≤ 1 x2 - 2 ex ,求a的取值范围。 错解:因为∀x>0,f(x)≤ 1 x2 - 2 ex ,所以 aln x x -1≤ 1 x2 - 2 ex ,即aln x x - 1 x2 + 2 ex-1≤0 。 设g(x)= aln x x - 1 x2 + 2 ex-1 ,则[g(x)]max≤0。 因为g'(x)= a(1-ln x) x2 + 2 x3 - 2 ex2 的形式较为 复杂,不易判断单调性和零点。 错因分析:函数g(x)中所含的超越项 ln x 以 aln x x 的形式出现,则对g(x)求导不 能消去ln x 项,使得导函数g'(x)的结构复 03 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年5月 杂不利于判断单调性和零点。 因为(ln x)'= 1 x ,独立求导一次可消去超越项,所以含ln x 项函数不等式应恒等变形使ln x 项不与其 他项以积或商形式出现,而应以和或差的形 式出现。 正解:因为∀x>0,f(x)≤ 1 x2 - 2 ex ,所 以 aln x x -1≤ 1 x2 - 2 ex ,所以aln x-x- 1 x+ 2 e≤0 。设g(x)=aln x-x- 1 x+ 2 e ,则 [g(x)]max≤0。因为g'(x)= -x2+ax+1 x2 , 二次函数y=-x2+ax+1,Δ=a2+4>0, 所以y=-x2+ax+1有两个零点,因为两 零点之积为-1,所以两个零点一正一负,则 设正零点为x0∈(0,+∞),则-x20+ax0+1 =0,则a=x0- 1 x0 。令g'(x)>0,得0<x <x0;令g'(x)<0,得x>x0。所以g(x)在 (0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递 减,则[g(x)]max=g(x0)= x0- 1 x0 ln x0- x0- 1 x0 + 2 e≤0 。设h(x)= x- 1 x ln x- x- 1 x + 2 e ,则h'(x)= 1+ 1 x2 ln x。令 h'(x)<0,得0<x<1;令h'(x)>0,得x> 1。所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增。因为h(e)=h 1e =0, 所以令h(x)≤0,得 1 e≤x≤e ,即1 e≤x0≤e , 则a=x0- 1 x0 。因为a'=1+ 1 x2 >0,所以a =x0- 1 x0 在 1 e ,e 上 单 调 递 增,则 a∈ 1 e-e ,e- 1 e 。 三、构造的函数存在间断点且在间断点 处取得最值 例 3 已知函数f(x)=e x-1 x +x 。 若∀x>0,f(x)≥ax2+1,求a的取值范围。 错解:因为∀x>0,f(x)≥ax2+1,所以 ex-1 x +x≥ax 2+1,所以 ex-1 x -ax 2+x-1 ≥0。设 g(x)= ex-1 x -ax 2+x-1,则 ∀x>0,g (x)≥ 0。 因 为 g' (x)= ex(x-1)-2ax3+x2+1 x2 ,所 以 设 h(x)= ex(x-1)-2ax3+x2+1,则h'(x)=x(ex- 6ax+2),所以当a≤0时,∀x>0,h'(x)> 0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x) >h(0)=0,则g'(x)>0,则g(x)在(0, +∞)上单调递增,则 g(x)>g(0)。 因为 g(x)在x=0处无意义,所以不能通过g(0) 的值来求参数的a范围。 错因分析:构造的函数g(x)存在间断点 x=0。当a≤0时,g(x)在x=0处取得最 值,由于g(x)在x=0处无意义,则g(0)不 存在,只能通过高等数学中的方法确定该间 断点处的极限值。因此,在构造函数时应有 意识地避开。 正解:因为∀x>0,f(x)≥ax2+1,所以 ex-1 x +x≥ax 2+1,所以a≤ ex x3 - 1 x3 - 1 x2 + 1 x 。设g(x)= ex x3 - 1 x3 - 1 x2 + 1 x ,则∀x>0, g (x ) ≥ 0。 求 导 得 g'(x) = (x-3)(ex-x-1) x4 。因为x>0,所以ex>x +1,则ex-x-1>0。令g'(x)<0,得0<x <3;令g'(x)>0,得x>3。所以g(x)在 (0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 则[g(x)]min=g(3)= e3+5 27 ,则a≤ e3+5 27 ,即 a∈ -∞, e3+5 27 。 四、隐零点问题中不能巧设零点构造函数 例 4 已知函数f(x)=ex-ea(a+ ln x)。若f(x)≥0恒成立,求a 的取值范 围。 错解:因为f'(x)=ex- ea x ,所以f″(x) =ex+ ea x2 >0,则f'(x)在(0,+∞)上单调 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年5月 增。因为f'(x)=ex- ea x<e x- ea ex ,f'(x)= ex- ea x>x- ea x ,所以令ex- ea ex =0,得x= a 2 ,令x- ea x =0 ,得x=e a 2,则f a 2 <0, fe a 2 >0,则f'(x)在 a 2 ,e a 2 上存在唯一 零点,令ex-ea(a+ln x)=0,该方程无显性 解。 错因分析:恒成立问题应转化为最值问 题,求导能判断函数单调性,原函数有隐零点 且在隐零点处取得最值,由于构造的关于隐 零点的函数最值不能表示出来,使得问题无 法解决。 正 解:前 面 同 错 解,得 f' (x)在 a 2 ,e a 2 上存在唯一零点,设为x0,则f'(x0) =ex0- ea x0 =0,ln x0+x0=a。当0<x<x0 时,f'(x)<0;当x>x0 时,f'(x)>0。所以 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上 单调递增,则[f(x)]min=f(x0)=ex0-ea(a +ln x0)=x0ex0 1 x0 -x0-2ln x0 。因 为 f(x)≥0恒成立,所以[f(x)]min≥0,则 1 x0 - x0-2ln x0≥0。设g(x)= 1 x-x-2ln x, 则g'(x)=- 1 x2 -1- 2 x=- (x+1)2 x2 <0,所 以g(x)在(0,+∞)上单调递减。因为g(1) =0,所以g(x0)≥0的解集为(0,1]。因为a =ln x0+x0,所以a'= 1 x0 +1>0,则a= ln x0+x0 在 (0,1]上 单 调 递 增,则 a∈ (-∞,1]。 五、同构式下函数构造错误 例 5 已知函数f(x)=2ex-1-a(x- ln x-1)-2x,x∈(1,+∞)。若f(x)>0 恒成立,求a的取值范围。 错解:因为f(x)>0恒成立,所以∀x∈ (1,+∞),f(x)>0。因为f(x)=2ex-1- a(x-ln x-1)-2x,所以f'(x)=2ex-1- a1- 1 x -2,f″(x)=2ex-1-ax2。当a≤0 时,f″(x)>0,则f'(x)在(1,+∞)上单调递 增,则f'(x)>f'(1)=0,则 f(x)在(1, +∞)上单调递增,则f(x)>f(1)=0,符合 题意。 当a>0时,f‴(x)=2ex-1+ 2a x3 >0,则 f″(x)在(1,+∞)上单调递增,但f″(x)是隐 零点函数,零点不能求出,难以确定f'(x)的 单调性。 错因分析:含指对数项的函数结构较为 复杂,应充分厘清其结构,盲目构造差值函数 势必会给推理带来麻烦。应将指对数项移至 不等号两边,再看两边能否变形为符合相同 函数的结构形式,若能则认为符合同构,只要 构造该结构的函数,并借助其单调性即可解 决问题。 正解:因为f(x)=2ex-1-a(x-ln x- 1)-2x>0恒成立,所以∀x∈(1,+∞), 2ex-1-a(x-1)>2x-aln x=2eln x - aln x。设g(x)=2ex-ax,x∈(1,+∞), 则∀x∈(1,+∞),g(x-1)>g(ln x)。设 h(x)=x-1-ln x,x∈(1,+∞),则h'(x) =1- 1 x>0 ,所以h(x)在(1,+∞)上单调递 增,则h(x)=x-1-ln x>h(1)=0,则x- 1>ln x。因为∀x∈(1,+∞),g(x-1)> g(ln x),所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, 则∀x∈(1,+∞),g'(x)=2ex-a≥0。因 为g″(x)=2ex>0,所以g'(x)在(1,+∞)上 单调递增,则g'(x)=2ex-a>g'(1)=2- a,则2-a≥0,则a∈(-∞,2]。 构造函数是解决导数压轴题的重要组成 部分,这也是导数压轴题考查的核心内容。 在日常解题中,同学们往往只是关注题目解 答正确与否,没有重点关注问题中的函数构 造,对于为什么这样构造,为什么不能那样构 造,并没有深入思考,忽略了重点。上面笔者 对导数压轴题中函数构造的易错点作了分 析,得到了一些结论,希望能给同学们的备考 提供帮助。 (责任编辑 王福华) 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年5月