内容正文:
■江苏省南京市板桥中学 赵丹丹
导数双变量问题是一类重要的导数压轴
题型。双变量类型主要分为任意双变量、双
零点变量、双极值点变量。
导数双变量问题
综合性强,对同学们的分析转化能力要求较
高。解答导数双变量问题需对双变量进行代
换转化为单变量。双变量代换主要包含任意
双变量单调性代换、比值代换、差值代换,正
确进行双变量代换是解题的关键,但这一环
节上也存在各种易错点。分析错误找到错误
原因才能避免错误,这是高效的学习方法,能
起到事半功倍的学习效果。因此,笔者对导
数双变量问题中的条件代换易错点进行了分
析,具体如下。
一、任意双变量代换错误
例 1 已知函数f(x)=(a+1)ln
x+
ax2+1。若存在实数a<-1,使得|f(x1)-
f(x2)|≥4|x1-x2|成立,求a的取值范围。
错解:因为f(x)=(a+1)ln
x+ax2+
1,a<-1,所以f'(x)=
2ax2+a+1
x <0
,则
f(x)在(0,+∞)上单调递减。因为|f(x1)
-f(x2)|≥4|x1-x2|,不妨设x1≤x2,所以
f(x1)-f(x2)≥4(x2-x1),则(a+1)·
(ln
x1-ln
x2)+a(x21-x22)>4(x2-x1),则
a<
4(x2-x1)-(ln
x1-ln
x2)
(ln
x1-ln
x2)+(x21-x22)
。由 于 x1,
x2 不存在内在关系,不能消元构造函数求参
数a的范围。
错因分析:条件|f(x1)-f(x2)|≥4|x1
-x2|中的x1,x2 是任意两实数,既不是函数
的零点,也不是函数的极值点,故f(x1)与
f(x2),f'(x1)与f'(x2)均不存在内在关系,
因此无法建立x1,x2 之间的等式关系。条件
|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|是任意两实数
x1,x2 间的不等关系,所以应向函数单调性
方向转化。
正解:因为f(x)=(a+1)ln
x+ax2+
1,a<-1,所以f'(x)=
2ax2+a+1
x <0
,则
f(x)在(0,+∞)上单调递减。因为|f(x1)
-f(x2)|≥4|x1-x2|,不妨设x1≤x2,所以
f(x1)-f(x2)≥4(x2-x1),则f(x1)+4x1
≥f(x2)+4x2。设g(x)=f(x)+4x=(a
+1)ln
x+ax2+1+4x,则g(x)在(0,+∞)
上 单 调 递 减。 因 为 g' (x ) =
2ax2+4x+a+1
x
,所 以 ∀x∈ (0,+ ∞),
g'(x)≤0,则∀x∈(0,+∞),2ax2+4x+a
+1≤0,则∀x∈(0,+∞),a≤
-4x-1
2x2+1
。设
h(x)=
-4x-1
2x2+1
,则 ∀x∈(0,+∞),a≤
72
解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2024年5月
h(x)。求导得h'(x)=
4(2x-1)(x+1)
(2x2+1)2
,令
h'(x)<0,得0<x<
1
2
;令h'(x)>0,得x>
1
2
。所以 h(x)在 0,
1
2 上 单 调 递 减,在
1
2
,+∞ 上 单 调 递 增,则 [h(x)]min =
h 12 =-2,则a≤-2,故a 的取值范围为
(-∞,-2]。
二、含对数项等式条件变量代换错误
例 2 已知函数f(x)=x+2aln
x
x
,
a∈R。若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,
求证:f
(x1)+f(x2)
x1+x2
>4。
错解:因为函数f(x)存在两个极值点
x1,x2,所以f'(x)=
x2-2aln
x+2a
x2
存在两
个零点 x1,x2,则
x21-2aln
x1+2a=0,
x22-2aln
x2+2a=0, 则
2aln
x1=x21+2a,
2aln
x2=x22+2a。 因 为 f(x1)+f(x2)x1+x2 =
x1+
2aln
x1
x1
+x2+
2aln
x2
x2
x1+x2
=2+
2a
x1x2
,所以
要证
f(x1)+f(x2)
x1+x2
>4,只需证2+
2a
x1x2
>
4,即证x1x2<a。因为2aln
x1-2aln
x2=
x21-x22,所以2a=
x21-x22
ln
x1-ln
x2
,所以需证
2x1x2<
x21-x22
ln
x1-ln
x2
。不妨设x1>x2>0,t
=x1-x2,则t>0,x1=t+x2,则2a=
x21-x22
ln
x1-ln
x2
=
t(2x2+t)
ln
(x2+t)-ln
x2
,该式不能
用 变 量 t 显 性 表 示 x2,则 2x1x2 <
x21-x22
ln
x1-ln
x2
就不能转化为关于t的不等式,
再通过构造函数证明。
错因分析:对数型双变量问题含对数项
ln
x1,ln
x2,以及加减对应的是积商的对数
ln
x1x2,ln
x1
x2
,若采用差值代换,设t=x1-
x2,难以统一变量为t进行结论证明,而应采
用比值代换设t=
x1
x2
,就能较易地完成统一
变量为t进行证明。
正解:前面同错解。
要证2x1x2<
x21-x22
ln
x1-ln
x2
,不妨设x1>
x2>0,则 只 需 证 2ln
x1
x2
<
x21-x22
x1x2
,即 证
2ln
x1
x2
<
x1
x2
-
x2
x1
。设t=
x1
x2
>1,则需证2ln
t
<t-
1
t
,即证2ln
t-t+
1
t<0
。设g(t)=
2ln
t-t+
1
t
,t∈(1,+∞),则需证g(t)<0。
因为g'(t)=
-(t-1)2
t2
<0,所以g(t)在(1,
+∞)上单调递减,则g(t)<g(1)=0,则
f(x1)+f(x2)
x1+x2
>4,证毕。
三、差值代换中未将参数用变量表示
例 3 已知函数f(x)=e2x-ax。若
f(x)在(0,+∞)上存在两个零点x1,x2,求
证:x1+x2<ln
a-ln
2。
错解:因为f(x)在(0,+∞)上存在两个
不同零点x1,x2,所以e2x1=ax1,e2x2=ax2,
则
e2x1
e2x2
=e2(x1-x2)=
x1
x2
。不妨设x1>x2,t=
x1-x2,则t>0,x1=t+x2,则e2t=
t+x2
x2
=
t
x2
+1,则x2=
t
e2t-1
,x1=
te2t
e2t-1
。要证x1
+x2<ln
a-ln
2,只需证
t(e2t+1)
e2t-1
<ln
a-
ln
2,参数a与变量t的关系不知,不能证明。
错因分析:指数型双变量问题含指数项
ex1,ex2。由两个零点x1,x2 得到两个等式,
可采用差值代换进行变量处理,设t=x1-
x2,可由t表示x1,x2,但参数a未用t表示,
未能统一变量,也就无法证明结论。
正解:因为f(x)在(0,+∞)上存在两个
不同零点x1,x2,所以e2x1=ax1,e2x2=ax2,
则e2x1e2x2=e2(x1+x2)=a2x1x2,
e2x1
e2x2
=e2(x1-x2)=
82
解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2024年5月
x1
x2
。不妨设x1>x2,t=x1-x2,则t>0,
x1=t+x2,则e2t=
t+x2
x2
=
t
x2
+1,则x2=
t
e2t-1
,x1=
te2t
e2t-1
。因为e2(x1+x2)=a2x1x2,
所以x1+x2=ln
a+
1
2ln
x1x2,要证x1+x2
<ln
a-ln
2,需证x1x2<
1
4
,即证x1x2=
t2e2t
(e2t-1)2
<
1
4
,即证4t2e2t<(e2t-1)2,即证
(e2t-1)2-4t2e2t>0。设g(t)=(e2t-1)2-
4t2e2t,t>0,则需证g(t)>0。因为g'(t)=
4e2t(e2t-2t2-2t-1),设h(t)=e2t-2t2-2t
-1,则h'(t)=2(e2t-2t-1),由切线放缩知,
当t>0时,e2t>2t+1,则h'(t)>0,则g'(t)>
0,则g(t)在(0,+∞)上单调递增,则g(t)>
g(0)=0,则x1+x2<ln
a-ln
2,证毕。
四、比值代换中未将参数用变量表示
例 4 已知函数f(x)=a3e
3x-
1
5x
5+
1。若函数f(x)在(0,+∞)上存在两个极值
点x1,x2,求证:x1+x2<
8
3ln
4
3-
2
3ln
a。
错解:因为f(x)在(0,+∞)上存在两个
极值点x1,x2,所以f'(x)=ae3x-x4 在(0,
+∞)上存在两个零点x1,x2,则ae3x1=x41,
ae3x2=x42,取对数得ln
a+3x1=4ln
x1,ln
a
+3x2=4ln
x2,则3(x1-x2)=4(ln
x1-
ln
x2),则x1-x2=
4
3ln
x1
x2
。不妨设x1>
x2,t=
x1
x2
,则t>1,x1=tx2,则tx2-x2=
4
3ln
t,则x2=
4
3
·ln
t
t-1
,x1=
4
3
·tln
t
t-1
。要
证x1 +x2 <
8
3ln
4
3 -
2
3ln
a,只 需 证
4
3
·
(t+1)ln
t
t-1 <
8
3ln
4
3-
2
3ln
a。
错因分析:指数型双变量问题中对于含
指数项ex1,ex2 两个等式,可等式两边取对
数,将其转化为含对数项的等式,就可采用比
值代换进行变量处理。设t=
x1
x2
,可由t表示
x1,x2,但参数a未用t表示,未能统一变量,
也就无法证明结论。
正解:因为f(x)在(0,+∞)上存在两个
极值点x1,x2,所以f'(x)=ae3x-x4 在(0,
+∞)上存在两个零点x1,x2,则ae3x1=x41,
ae3x2=x42,取对数得ln
a+3x1=4ln
x1,ln
a
+3x2=4ln
x2,则3(x1-x2)=4(ln
x1-
ln
x2),3(x1+x2)=4(ln
x1+ln
x2)-
2ln
a,则 x1 -x2 =
4
3ln
x1
x2
,x1 +x2 =
4
3ln
x1x2-
2
3ln
a。不妨设x1>x2,t=
x1
x2
,
则t>1,x1=tx2,则tx2-x2=
4
3ln
t,则x2
=
4
3
·ln
t
t-1
,x1=
4
3
·tln
t
t-1
。要证x1+x2<
8
3ln
4
3-
2
3ln
a,即证
4
3ln
x1x2-
2
3ln
a<
8
3ln
4
3-
2
3ln
a,即证x1x2<
16
9
,即证16
9
·
t(ln
t)2
(t-1)2
<
16
9
,即证tln
t<t-1,即证t-
ln
t-
1
t
>0。设g(t)=t-ln
t-
1
t
,t>1,
则需证g(t)>0。因为g'(t)=
1
2t
-12-t-1
+
1
2t
-32=
1
2t
-1 t
1
2+t
-12-2 ,又t
1
2+t
-12
>2,所以g'(t)>0,则g(t)在(1,+∞)上单
调递增,则g(t)>g(1)=0,则x1+x2<
8
3ln
4
3-
2
3ln
a,证毕。
解答导数双变量问题的关键在于对双变
量进行代换,统一变量形式。
任意双变量问
题符合函数单调性可转化为单调性处理。
双
零点和双极值点问题都是得到两个等式,看
等式的结构,若等式中含对数项应采用比值
代换,若等式中含有指数项可采用差值代换,
也可对等式两边取对数化为对数型等式再用
比值代换,这些代换中存在易错点,代换错误
的原因是对问题本质缺乏认识,笔者分析了
问题本质,总结了错误原因,得到相关结论,
供同学们复习时参考。
(责任编辑 王福华)
92
解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2024年5月