5.巧化结构，妙建函数-《中学生数理化》高考数学2024年5月刊

■山东省济南市莱芜第一中学 吴 敏 高考数学压轴题,大多以导数为工具 来研究函数的单调性、求解参数的取值范 围、探究函数的零点及其性质,以及证明不 等式等问题,其解题的关键在于合理构建 新函数。构建新函数是否合适,往往决定 了解决 问 题 是 否 有 效 及 解 决 过 程 是 否 便 捷。如果构建的新函数合适,问题的解决 就比较简捷;反过来,如果构建的新函数不 合适,可能会导致求解过程复杂甚至是得 不到结果。想构建一个合适的新函数,往 往需要 结 合 题 设 条 件 中 关 系 式 的 结 构 特 征,对结构进行合理的化归与转化。本文 通过几个典型实例,介绍巧化结构,妙建函 数的基本思路及其综合应用。 一、换元转化,以简驭繁 当题设条件中的关系式含有根号、分式、 指数式等结构特征时,若能借助换元转化来 合理“瘦身”,使得数量关系更加简单化、明朗 化,再依此合理构建新函数求解,则往往能突 破思维局限,转化问题难点,明确解题方向, 优化解题过程。 例 1 已知函数 f(x)=ex+1-2x , g(x)= a+x+ln x x ,a∈R。 (1)当x∈(1,+∞)时,求函数g(x)的 极值; (2)当a=0时,求证:f(x)≥g(x)。 解 析:(1)由 条 件 可 得 g'(x)= (1-a)-ln x x2 。 若a≥1,则当 x∈(1,+∞)时,可得 g'(x)<0,所以函数g(x)在(1,+∞)上单 调递减,故函数g(x)不存在极值。 若a<1,令g'(x)=0,解得x=e1-a,当 x∈(1,+∞)时,g'(x)与g(x)的变化情况 如表1所示: 表1 x (1,e1-a) e1-a (e1-a,+∞) g'(x) + 0 - g(x) 单调递增 ea-1+1 单调递减 故g(x)极大值=g(e1-a)=ea-1+1,无极小值。 综上可得,当a≥1时,函数g(x)不存在 极值;当a<1时,函数g(x)有极大值,且 g(x)极大值=ea-1+1,不存在极小值。 (2)显然x>0,要证f(x)≥g(x),即证 ex+1≥ x+2+ln x x ,即证xex+1≥ln x+x+2, 即证eln x+x+1≥(ln x+x+1)+1。 令t=ln x+x+1,故只需证et≥t+1。 设函数h(x)=ex-x-1,则h'(x)= ex-1。 当x>0时,h'(x)>0;当 x<0时, h'(x)<0。所以h(x)在(0,+∞)上单调递 增,在(-∞,0)上单调递减,即h(x)min= h(0)=0,所以h(x)≥0,从而有ex≥x+1, 故et≥t+1。 所以f(x)≥g(x)成立。 点评:解决此类含有根号、分式、指数式 等结构特征的关系式问题时,经常通过合理 的变形与转化,将对应的关系式加以换元处 理,为问题的进一步分析与解决优化形式,使 得问题的解决更加简单快捷。 二、集中变元,整体代换 在处理多变元问题时,经常利用多变元 关系式的结构特征进行集中变元处理,即通 过整体配凑,改变问题中关系式的结构,把含 有若干表达式看成一个变元整体,从而“减 少”变元,使得问题简单化。集中变元法实质 上是整体思想在实际解题中的具体体现,是 处理多元问题的一种有效方法。 例 2 已知函数f(x)=ax+1(x> 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年5月 0),g(x)=ln x- a-1 x +2a ,a∈R。 (1)若a= 1 2 ,比较函数f(x)与g(x)的 大小; (2)若 m>n>0,求证: m-n ln m-ln n> mn。 解析:(1)当a= 1 2 时,f(x)= x 2+1 , g(x)=ln x+ 1 2x+1 。 令函数F(x)=f(x)-g(x)= x 2-ln x - 1 2x ,则F'(x)= 1 2- 1 x+ 1 2x2 = (x-1)2 2x2 ≥ 0,所以 F(x)在(0,+∞)上单调递增,且 F(1)=0。 综上可知,当x=1时,F(x)=0,f(x) =g(x);当x∈(0,1)时,F(x)<0,f(x)< g(x);当x∈(1,+∞)时,F(x)>0,f(x)> g(x)。 (2)当m>n>0时,有 m n>1 。 要证 m-n ln m-ln n> mn ,即证m-n mn > ln m-ln n,即证 m n - n m >ln m n 。 设t= m n ,且t>1,即证t- 1 t>ln t2 =2ln t,即证 t 2-ln t- 1 2t>0 (t>1)。 由(1)知,当x∈(1,+∞)时,F(x)>0 成立,故不等式t 2-ln t- 1 2t>0 (t>1)成立。 所以当m>n>0时, m-n ln m-ln n> mn 成立。 点评:解决此类涉及多变元(特别是双变 元)的结构特征的关系式问题时,经常通过相 应变元之间的和、差、积、商等形式的变形与 转化,合理进行集中变元处理,减少变元的个 数,方便合理地构建新函数来分析与解决问 题。整体化思维是解决此类问题的重要依 据,减元是目的,也是进一步解题的一个重要 关口。 三、差异分析,调整形态 “观察,观察,再观察”,这是俄国著名心 理学家巴甫洛夫的座右铭。观察是我们研究 问题的出发点。人们说:“观察是思维的窗 口,没有它,智慧的阳光就照不进脑海。”同样 在数学解题时,特别是比较大小等问题时,通 过差异分析,识别题设条件之间、条件与结论 之间的差异,合理调整形态,缩小差异,往往 能帮助我们发现解题思路与方向。 例 3 已知函数f(x)=eln x-ax (a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex ≤0。 解析:(1)求导得f'(x)= e x-a (x>0)。 ①若a≤0,则f'(x)>0,函数f(x)在 (0,+∞)上单调递增。 ②若a>0,则当0<x< e a 时,f'(x)> 0;当x> e a 时,f'(x)<0。故函数f(x)在 0, e a 上单调递增,在 ea,+∞ 上单调递 减。 (2)证 法 一:因 为 x>0,所 以 只 需 证 f(x)≤ ex x-2e 。 当a=e时,由(1)知,函数f(x)在(0,1) 上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以 f(x)max=f(1)=-e。 令函数g(x)= ex x-2e (x>0),则g'(x) = (x-1)ex x2 。 所以当0<x<1时,g'(x)<0,函数 g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,函数 g(x)单调递增。 所以g(x)min=g(1)=-e。 综上可知,当x>0时,f(x)≤g(x),即 f(x)≤ ex x-2e ,即xf(x)-ex+2ex≤0。 证法二:由题意知,即证exln x-ex2- 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年5月 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 ex+2ex≤0,即证ln x-x+2≤ ex ex 。 设函数m(x)=ln x-x+2(x>0),则 m'(x)= 1 x-1 。 所以当x∈(0,1)时,m'(x)>0;当x∈ (1,+∞)时,m'(x)<0。 所以函数m(x)在(0,1)上单调递增,在 (1,+∞)上单调递减,从而函数m(x)在(0, +∞)上的最大值为m(1)=1。 设函数h(x)= ex ex (x>0),则h'(x)= (x-1)ex ex2 。 所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0;当x∈ (1,+∞)时,h'(x)>0。 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减,在 (1,+∞)上单调递增,从而函数h(x)在(0, +∞)上的最小值为h(1)=1。 综上可知,当x>0时,m(x)≤h(x),即 xf(x)-ex+2ex≤0。 点评:解决此类涉及复杂关系的综合问题 时,经常通过方程、不等式两边的合理差异化 变形,巧妙调整形态,使得方程、不等式两边所 对应的函数方便确定相应的最值,进而分头处 理,再综合判断。解答此类综合复杂问题的关 键是调整形态,将关系式转化为比较熟知的基 本函数形式来处理,方便进一步分析与应用。 在实际构建函数,处理一些相关函数与 导数的综合问题时,要正确分析并转化题设 条件。利用题设中函数的关系式,针对不同 结构特征与形式,或换元转化,或集中变元, 或差异分析等,合理构建对应的新函数。利 用新函数来分析相应的函数基本性质,进而 加以合理转化与应用,有效拓展数学思维,提 高数学能力,提升解题效益,形成良好的思维 习惯,培养数学核心素养。 (责任编辑 王福华) 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年5月