3.函数与导数综合应用-《中学生数理化》高考数学2024年5月刊

■四川省绵阳东辰中学 缑甫然 导数是高中数学研究函数的单调性、极 值、最值的一种重要工具。纵观历年高考试 题,导数综合应用以独特的命题视角和新颖 多变的出题方式一直备受大家关注。导数与 函数零点、不等式、三角函数及数列等知识的 融合是命题的重点和难点。本文将从以下三 个角度来探析导数在高考试题中的应用。 一、利用导数研究函数零点问题 函数零点问题作为高考的热点,融合了函 数的单调性、极值、最值等知识,难度层次差异 较大,解法形式也多种多样。同学们可以通过 零点存在性定理,利用数形结合、分类讨论、切 线放缩等思想方法来解决这一类问题。 类型一:研究函数零点个数 例 1 (2024届邯郸市第二次调研试 题)已知函数f(x)=ln x+(a-2)x+a。 (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的零点个数。 解析:(1)当a=1时,f(x)=ln x-x+ 1,则f(e)=ln e-e+1=2-e。 求导得f'(x)= 1 x-1 ,所以f'(e)= 1 e -1,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的 切线方程为y-(2-e)= 1 e-1 (x-e),即 1 e-1 x-y+1=0。 (2)函数f(x)=ln x+(a-2)x+a 的 定义域为(0,+∞),f'(x)= 1 x+a-2 。 ①若a-2≥0,即a≥2,则f'(x)>0恒 成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又 当x 趋向于0时f(x)<0,f(1)=2a-2> 0,所以函数f(x)有一个零点。 ②若a-2<0,即a<2,令f'(x)=0,解 得x= 1 2-a 。 所以当0<x< 1 2-a 时,f'(x)>0;当x > 1 2-a 时,f'(x)<0。 所以f(x)在 0, 1 2-a 上单调递增,在 1 2-a ,+∞ 上单调递减。 当x 趋向于0时f(x)<0,当x 趋向于 正无穷时f(x)<0。 又 f 1 2-a =ln 12-a -1+a,令 h(a)=ln 12-a -1+a(a<2),则h'(a)= 1 2-a+1>0 ,所以h(a)在(-∞,2)上单调递 增,且h(1)=0。 若f 1 2-a =ln 12-a -1+a>0,则 1<a<2,此时函数f(x)有两个零点; 若f 1 2-a =ln 12-a -1+a=0,则 a=1,此时函数f(x)有一个零点; 若f 1 2-a =ln 12-a -1+a<0,则 a<1,此时函数f(x)没有零点。 综上可得,当a<1时,函数f(x)没有零 点;当a=1或a≥2时,函数f(x)有一个零 点;当1<a<2时,函数f(x)有两个零点。 点评:本题考查了利用导数求切线方程 和函数零点个数问题。第(2)问解答的关键 在于分类讨论函数f(x)的单调性,根据单调 性结合零点存在性定理得到零点个数。零点 个数问题在导数大题中属于基础题目。 类型二:根据零点个数求参数 例 2 (2024届南充市一模)已知函数 f(x)=ex(2x-1),g(x)=x-1。 (1)设函数h(x)=f (x) g(x) ,求函数h(x) 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年5月 的单调区间; (2)设函数φ(x)=2xex-ex-ax+a, 若函数φ(x)有两个不同的零点,求实数a的 取值范围。 解析:(1)因为f(x)=ex(2x-1),g(x)= x-1,所以h(x)=f (x) g(x) = ex(2x-1) x-1 (x≠1), 求导得h'(x)= ex(2x+1)(x-1)-ex(2x-1) (x-1)2 = exx(2x-3) (x-1)2 。 令h'(x)=0,解得x=0或x= 3 2 。 当x∈(-∞,0)和 32 ,+∞ 时,h'(x) >0,所以h(x)在(-∞,0)和 32 ,+∞ 上单 调递增;当x∈(0,1)和 1, 3 2 时,h'(x)<0, 所以h(x)在(0,1)和 1, 3 2 上单调递减。 (2)因为φ(x)=2xex-ex-ax+a 有两 个不同的零点,则2xex-ex-ax+a=0有两 个不同的实数根。 令F(x)=2xex-ex=ex(2x-1),y= a(x-1),则F(x)的图像与直线y=a(x- 1)有两个交点。 求导得F'(x)=ex(2x+1),由F'(x)= 0,解得x=- 1 2 。 所以当x∈ -∞,- 1 2 时,F'(x)<0, F(x)单 调 递 减;当 x∈ - 1 2 ,+∞ 时, F'(x)>0,F(x)单调递增。 当直线y=a(x-1)与F(x)相切时,设 切点为(x0,ex0(2x0-1)),则k=F'(x0)= ex0(2x0+1),切线方程为y-ex0(2x0-1)= ex0(2x0+1)(x-x0)。 又直线y=a(x-1)过定点(1,0),将(1, 0)代入切线方程得-ex0(2x0-1)=ex0(2x0 +1)(1-x0),解得x0=0或x0= 3 2 ,则k1= F'(0)=1,k2=F' 3 2 =4e 3 2,所以切线方程 为l1:y=x-1;l2:y=4e 3 2(x-1)。 图1 如图1所示,要使 F(x)的图像与直线y =a(x-1)有 两 个 交 点,则a∈(0,1)或a∈ 4e 3 2,+∞ 。 综上可得,当a∈ (0,1)或a∈ 4e 3 2,+∞ 时,函数φ(x)有两 个不同的零点。 点评:根据零点个数求参数问题,通常可 以分离参数进行解决,而本题分离参数难度 较大,最终转化成两个函数图像的交点问题, 究竟转化成哪两个函数图像的交点是解决这 类问题的关键,本题是转化成直线和曲线的 交点问题,这也是我们经常思考的解题方向。 函数零点问题是高考命题主要方向之一,利 用导数解决函数零点问题主要有以下三个思 考方向:①直接法:先对函数求导,根据导数 值的正负求出函数的单调区间与极值,根据 函数的基本性质作出图像,然后将问题转化 为函数图像与x 轴的交点问题;②构造新函 数:将问题转化为研究两函数图像的交点问 题;③分离参数:由f(x)=0分离变量得出a =g(x),将问题等价转化为直线y=a 与函 数y=g(x)的图像的交点问题。 二、利用导数研究不等式问题 不等式是高考考查的一类重要问题,其 中导数作为一种重要的数学工具,在研究不 等式问题中扮演着不可或缺的角色。 类型一:含参不等式恒成立问题 例 3 (2024届广州市调研测试)已知 函数f(x)=(x+2)ln(x+1)-ax。 (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程; (2)当-1<x<0时,f(x)<0,求a 的 取值范围。 解析:(1)当a=0时,函数f(x)=(x+ 2)ln(x+1),f(0)=(0+2)ln(0+1)=0。 求导得f'(x)=ln(x+1)+ x+2 x+1 ,所以 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年5月 f'(0)=ln(0+1)+ 0+2 0+1=2 。 所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切 线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0。 (2)求导得f'(x)=ln(x+1)+ x+2 x+1- a,令g(x)=f'(x)(x∈(-1,0)),则g'(x) = 1 x+1- 1 (x+1)2 = x (x+1)2 <0,故f'(x) 在x∈(-1,0)上为减函数。 f'(0)=2-a。 ①当a≤2时,f'(x)>f'(0)≥0,故 f(x)在(-1,0)上为增函数,所以f(x)< f(0)=0恒成立,故a≤2符合题意。 ②当a>2时,f'(0)=2-a<0,由-1< e-a-1<0且当a>2时f'(e-a-1)=-a+ 1+ea-a=ea-2a+1>0,根据零点存在定 理,必存在t∈(-1,0),使得f'(t)=0。 由于f'(x)在(-1,0)上为减函数,故当 x∈(-1,t)时,f'(x)>0,当x∈(t,0)时, f'(x)<0,故f(x)在x∈(-1,t)上为增函 数,在x∈(t,0)上为减函数。 所以当x∈(t,0)时,f(x)>f(0)=0, 故f(x)<0在(-1,0)上不恒成立,所以a> 2不符合题意。 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2]。 点评:本题考查导数的几何意义及含参 不等式恒成立问题。该类问题常用分离参数 和构造新函数利用导数研究函数的单调性求 最值,进而求出参数的取值范围。本题采用 的是 后 者,其 难 点 在 于 根 据 参 数 讨 论 函 数 f(x)的单调性,分类讨论是关键。 类型二:不等式证明问题 例 4 (2024届资阳市第一次诊断试 题)已知函数f(x)=xln x-ax2-x+1。 (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求 a的取值范围; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明: 1 ln x1 + 1 ln x2 >2。 解析:(1)由f(x)=xln x-ax2-x+ 1,得f'(x)=ln x-2ax。 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f'(x)=ln x-2ax≤0,即2a≥ ln x x 在(0, +∞)上恒成立。 令g(x)= ln x x (x>0),则 g'(x)= 1-ln x x2 。 所以当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调 递增;当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减。 所以当x=e时,g(x)在(0,+∞)上取 得极大值g(e)= 1 e ,也为最大值。 所以2a≥ 1 e ,得a≥ 1 2e ,故当f(x)在(0, +∞)上 单 调 递 减 时,a 的 取 值 范 围 为 1 2e ,+∞ 。 (2)由(1)知,f'(x)=ln x-2ax。 若a≤0,则f'(x)≥0,f(x)单调递增, 显然不满足题意。 若a>0,由(1)易知,0<a< 1 2e ,此时 f'(x)=0有两个异号零点,满足题意。 因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,则 f'(x)=ln x-2ax 有两个零点x1,x2。 不 妨 设 0 < x1 < x2, 于 是 ln x1-2ax1=0, ln x2-2ax2=0, 则ln x2-ln x1=2a(x2- x1),所以 1 2a= x2-x1 ln x2-ln x1 。 所以 1 ln x1 + 1 ln x2 -2= 1 2ax1 + 1 2ax2 -2 = x2-x1 ln x2-ln x1 1 x1 + 1 x2 - 2 = x2 x1 - x1 x2 -2ln x2 x1 ln x2 x1 。 令 x2 x1 =t>1,则ln x2 x1 >0, x2 x1 - x1 x2 - 2 ln x2 x1 =t- 1 t-2ln t。 设h(t)=t- 1 t-2ln t(t>1),则h'(t) =1+ 1 t2 - 2 t= t2-2t+1 t2 >0。 21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年5月 故函数h(t)在(1,+∞)上单调递增,则 h(t)>h(1)=0,则 x2 x1 - x1 x2 -2ln x2 x1 >0。 所以 1 ln x1 + 1 ln x2 -2>0,即 1 ln x1 + 1 ln x2 >2。 点评:本题考查了已知函数单调性求参 数问题,以及利用导数证明不等式问题,解决 本题的关键在于根据题目条件和所证问题合 理构造新函数,本题是通过比值换元来达到 消元的目的,进而把二元函数问题变成一元 函数问题,最后结合导数来研究函数的单调 性,进而证明不等式。 三、导数与其他知识融合问题 导数作为研究函数的一个重要工具,在高 考命题中经常与三角函数、数列等知识融合。 这类问题的难点是如何将相关知识与导数有机 结合,怎样合理构造才能让导数发挥其功能。 例 5 (2024届长郡中学月考试题)已知 函数f(x)=ex+(a-1)x-1,其中a∈R。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a>1时,证明:f(x)>xln x- acos x。 解析:(1)因为f(x)=ex+(a-1)x- 1,所以f'(x)=ex+a-1。 当a≥1时,f'(x)=ex+a-1>0,函数 f(x)在R上单调递增。 当a<1时,由f'(x)=ex+a-1>0,得 x>ln(1-a),函数f(x)在区间(ln(1-a), +∞)上单调递增;由f'(x)=ex+a-1<0, 得x<ln(1-a),函数f(x)在区间(-∞, ln(1-a))上单调递减。 综上可得,当a≥1时,函数f(x)在 R 上单调递增;当a<1时,函数f(x)在区间 (ln(1-a),+∞)上单调递增,在区间(-∞, ln(1-a))上单调递减。 (2)要证f(x)>xln x-acos x,即证ex+ (a-1)x-1>xln x-acos x,即证ex+a(x+ cos x)-x-1-xln x>0,x∈(0,+∞)。 设k(x)=x+cos x,则k'(x)=1- sin x≥0,故k(x)在(0,+∞)上单调递增, 又k(0)=1>0,所以k(x)>1。 又因为a>1,所以a(x+cos x)>x+ cos x,所以ex+a(x+cos x)-x-1-xln x >ex+cos x-1-xln x。 ①当0<x≤1时,因为ex+cos x-1> 0,xln x≤0,所以ex+cos x-1-xln x>0。 ②当x>1时,令g(x)=ex+cos x- xln x-1,则g'(x)=ex-ln x-sin x-1。 设h(x)=g'(x),则h'(x)=ex- 1 x-cos x。 设m(x)=ex- 1 x-cos x,则 m'(x)= ex+ 1 x2 +sin x。 因为x>1,所以m'(x)>0,所以m(x) 即h'(x)在(1,+∞)上单调递增,所以h'(x) >h'(1)=e-1-cos 1>0,所以h(x)在(1, +∞)上单调递增。所以h(x)>h(1)=e- sin 1-1>0,即g'(x)>0,所以g(x)在(1, +∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=e+ cos 1-1>0,即ex+cos x-1-xln x>0。 综上可知,当a>1时,ex+a(x+cos x) -x-1-xln x>ex+cos x-1-xln x>0, 即f(x)>xln x-acos x。 点评:本题考查了函数单调性,以及结合 三角函数证明不等式。与三角函数相结合的 导数大题中常见的有分块分析法、分段分析 法和放缩分析法,本题采用的是分段分析法 和放缩分析法相结合,先利用放缩分析法证 明a(x+cos x)>x+cos x,进而将所证不 等式简化为ex+cos x-1-xln x>0,最后 用分段分析法证明不等式。 三角函数、数列等知识与导数的融合是新 高考的一大特色,考查同学们的数学抽象、逻 辑推理和数学运算等数学核心素养。导数在 高考数学中具有重要地位,并且也是微积分的 重要组成部分。导数涉及的知识面很多,也是 研究函数性质的一类重要工具,本文仅从以上 三个方向进行了探究。另外,导数通常在高考 试题中以压轴题的形式出现,着重考查同学们 的数学思维能力、分析解决问题的能力,以及 运算求解能力,同时也为今后高等数学的学习 奠定了坚实的基础。 (责任编辑 王福华) 31 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年5月