精品解析：2024年湖南省长沙市望城区部分学校中考一模数学试题

2024年初三学业水平检测 数 学 试 题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，3.14，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数；据此进行判断即可． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； 是有理数； 为无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数有和共2个， 故选：B． 2. 亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. a6÷a2＝a3 C. 5y3•3y2＝15y5 D. a+a2＝a3 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘以单项式、合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：A、（a2b）3＝a6b3，故A错误； B、a6÷a2＝a4，故B错误； C、5y3•3y2＝15y5，故C正确； D、a和a2不是同类项，不能合并，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项，关键是掌握各计算法则． 4. 华为Mate60Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中， 的值为整数位数少1，进行作答即可． 【详解】解：7000000000大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴7000000000用科学记数法表示为， 故选：D． 5. 如图，在 中，是的平分线，，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于 ，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于 ，于， 是的平分线， ， ． 故选：D． 6. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ） 月用水量吨 户数 A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可，熟练掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是解题的关键． 【详解】 、这组数据的平均数为（吨），故此选项不符合题意； 、根据，中位数应为第 ，的平均数（吨），故此选项不符合题意； 、方差是，故此选项符合题意； 、这组数据出现次数最多的是 吨，共出现次，所以用水量的众数是 吨，故此选项不符合题意； 故选：． 7. 如图，为 的直径，点在 上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出 的度数，再利用圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接 ， 为 的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组无解， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 9. 下列一次函数中，y随x增大而增大的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质确定比例系数的符号后即可确定正确的选项． 【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b中，k＞0时，y随着x的增大而增大， ∴①③⑤符合题意， 故选：C． 【点睛】考查了一次函数的性质，一次函数y＝kx＋b中当k＞0时，y随着x的增大而增大，难度不大． 10. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为 ， ， ，， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即 ，， 所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是＝， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：__． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用平方差公式进行分解即可． 【详解】原式， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12. 若一组数据3，，x，，3的众数是3，则这组数据的方差为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据众数的定义得到，根据方差的定义，即可求解， 本题考查了众数，平均数，方差，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵数据3，，x，，3的众数是3 ∴， 则数据为3，，3，，3 ∴这组数据的平均数为：， ∴这组数据的方差为：， 故答案为：6． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点 在轴的正半轴上．若点 的坐标是，则点 的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质．根据点 的坐标是，可得 的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点 的坐标． 【详解】解： 点 的坐标是， ， 四边形为菱形，在x轴上， ，， 则点 的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，轴于点A，B为y轴负半轴上一点，且满足，连接与x轴交于点C，若，则____________. 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了利用图形面积求反比例函数的比例系数，连接，证明，则，得到，利用三角形中线性质得到，则，根据反比例函数图象所在象限即可得到答案. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵轴于点A，轴于点O, ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，轴于点A， ∴， ∵， ∴ ∵点M为反比例函数在第一象限图象上的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 15. 如图，已知是半圆O的直径，弦 ，，弦与之间的距离为3，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点O作，连接 ,则，结合 ，弦与之间的距离为3，得到，利用勾股定理，得，解答即可． 本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】过点O作，连接 ，则， ∵ ，弦与之间的距离为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 16. 如图，在 中，，，以 为直径作半圆 ，过点 作半圆 的切线，切点为，过点作交于点 ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和勾股定理．延长交 的延长线于点，过点作于 点，过 点作于点，连接 ，如图，先证明 为 的切线，则利用切线的性质和切线长定理得到，，接着证明，利用相似比得到，则设，，所以，接下来在中利用勾股定理求得，则利用面积法可求出，然后再用勾股定理计算出，最后利用垂径得到的长． 【详解】解：延长交 的延长线于点，过点作于 点，过 点作于点，连接 ，如图， ，， 为 的切线， 为 的切线， ，， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， 解得， 即， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故答案为：． 三、 解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，根据0指数次幂，绝对值，二次根式的性质及特殊的三角函数值解答即可. 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，化简后将a，b的值代入即可． 【详解】解： 当 ，时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则把所求式子化简． 19. 如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于地铁站南偏东 方向的图书馆C处． （1）求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离； （2）如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿回到地铁站A，那么她在10分钟内能否到达地铁站A？（，）． 【答案】（1）500米 （2）能 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点A作 于D，在中，利用余弦定义求出即可求解； （2）在中，利用余弦定义求出 ，然后利用时间=路程速度求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作 于D， 由题意，得米，，， 在中，米， 答：乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离为500米； 【小问2详解】 解：在中，， ∴乐乐回到地铁站A的时间为分钟， 而， ∴她在10分钟内能到达地铁站A． 20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______； （2）这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数； （3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数． 【答案】（1）40，25 （2）3，3，3 （3）估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数，众数和平均数，利用样本估计总体： （1）利用条形图计算总人数，利用1减去其他百分数求出的值； （2）根据众数，中位数和平均数的计算方法，进行求解即可． （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：； ， ∴； 故答案为：40，25； 【小问2详解】 3册的人数最多，故众数为3， 将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3， 平均数为： 【小问3详解】 （册）． 21. 如图， 中，，平分，于E．求证： （1）； （2）直线是线段的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵，平分，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定； （1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明； （2）根据垂直平分线的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略． 22. 已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了3500元购进一批该品牌的饮料共1000瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示： 大瓶 小瓶 进价（元/瓶） 5 2 售价（元/瓶） 7 3 （1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？ （2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？ 【答案】（1）该超市购进大瓶饮料500瓶，小瓶饮料500瓶 （2）小瓶饮料作为赠品最多只能送出20瓶 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理清题意得到相等关系和不等关系，并据此列出方程组或不等式是解题的关键． （1）设该超市购进大瓶饮料x瓶，小瓶饮料y瓶，根据：“该品牌的饮料共1000瓶、购进大、小瓶饮料共花费3500元”列不等式组求解可得； （2）设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，根据题意列不等式求解可得． 【小问1详解】 该超市购进大瓶饮料x瓶，小瓶饮料y瓶．由题意，得 解得 答：该超市购进大瓶饮料500瓶，小瓶饮料500瓶； 【小问2详解】 设小瓶饮料作为赠品送出m瓶． 由题意，得， 解得． 答：超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出20瓶． 23. 如图，在菱形中，对角线 与 相交于点O，E为的中点，连接 并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，，求 的长． 【答案】（1） ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）8 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，解直角三角形： （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线垂直，即可得证； （2）解，求出 的长，勾股定理求出 的长，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵菱形， ∴． ∵矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，为 的直径，C为 上一点，连接 ，过C作 于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． （1）求证：是 的切线； （2）如图2，点F是 上一点，且满足，连接 并延长交 的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段 的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是 的切线； （2）①线段与之间满足的数量关系是：， 理由如下：如图2，过 作于点，连接， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ② 【解析】 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． （1）如图1，连接 ，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论； （2）①如图2，过 作于点，证明，则，得； ②过点C作，连接，过点C作，先根据勾股定理求，则，设 ，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过点C作，连接，过点C作， 是 的直径， ， ，， ． ， ， ， 由得：， 设 ，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为 的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ， ， 25. 如图，二次函数的对称轴是 ，图象与x轴相交于点和点 ，交轴于点 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）点 是对称轴上一点，当时，求点 的坐标（请在图1中探索）； （3）二次函数图象上是否存在点 ，使 的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】（1） （2）点 的坐标是或 （3）存在，点 的坐标是或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由抛物线的对称轴为 得出，将代入抛物线求出 的值即可得解； （2）设对称轴与轴交于点，求出，，从而得出是等腰直角三角形，由相似三角形的性质得出是等腰直角三角形，，从而得出，即可得解； （3）根据轴对称的性质，结合三角形的面积，分情况得出坐标即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴是 ， ， ， 由已知得，点 是二次函数上一点， 把代入中得：， 解得：， ∴二次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：设对称轴与轴交于点， ， ∵二次函数的对称轴是 ，， ，， 在中，当时，， ， ， 是等腰直角三角形， 又∵点 在对称轴上，且， 是等腰直角三角形，， ， 当点 在轴上方时，坐标是，当点 在轴下方时，坐标是； ∴综上，点 的坐标是或． 【小问3详解】 解：存在， ∵点和点关于对称轴 对称， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点，， ， ， 解得： ∴使得的点 的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初三学业水平检测 数 学 试 题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，3.14，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. a6÷a2＝a3 C. 5y3•3y2＝15y5 D. a+a2＝a3 4. 华为Mate60Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中， 是的平分线，，，则为（　　） A. B. C. D. 6. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ） 月用水量吨 户数 A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是 7. 如图， 为 的直径，点在 上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列一次函数中，y随x增大而增大的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①④⑤ 10. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：__． 12. 若一组数据3，，x，，3的众数是3，则这组数据的方差为______． 13. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形的顶点 在 轴的正半轴上．若点 的坐标是，则点的坐标为__________． 14. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，轴于点A，B为y轴负半轴上一点，且满足 ，连接与x轴交于点C，若，则____________. 15. 如图，已知 是半圆O的直径，弦 ，，弦 与 之间的距离为3，则_______． 16. 如图，在 中，，，以 为直径作半圆 ，过点 作半圆 的切线，切点为 ，过点 作交于点 ，则______． 三、 解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 ，． 19. 如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东 方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于地铁站南偏东 方向的图书馆C处． （1）求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离； （2）如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿回到地铁站A，那么她在10分钟内能否到达地铁站A？（，）． 20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______； （2）这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数； （3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数． 21. 如图， 中，， 平分， 于E．求证： （1）； （2）直线 是线段的垂直平分线． 22. 已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了3500元购进一批该品牌的饮料共1000瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示： 大瓶 小瓶 进价（元/瓶） 5 2 售价（元/瓶） 7 3 （1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？ （2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？ 23. 如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O，E为 的中点，连接 并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，，求 的长． 24. 如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，过C作于点D，过C作，使，其中交 的延长线于点E． （1）求证：是 的切线； （2）如图2，点F是 上一点，且满足，连接 并延长交 的延长线于点G． ①试探究线段 与 之间满足的数量关系； ②若，，求线段 的长． 25. 如图，二次函数的对称轴是 ，图象与x轴相交于点和点，交 轴于点 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）点 是对称轴上一点，当时，求点 的坐标（请在图1中探索）； （3）二次函数图象上是否存在点 ，使 的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $