中考数学：不同背景下的最短路径问题解题方法和技巧

中考数学：不同背景下的最短路径问题解题方法和技巧 求最短路径问题一般分为两种情形： (1)立体图形(圆柱、正方体、圆锥、台阶等)求最短路径： ①立体图形平面化，即展开立体图形，“化曲为直”或实现“折转直”； ②利用原理“两点之间线段最短”、“勾股定理”解题。 (2)平面几何关于动点的最短路径问题 动点问题的解题规律和方法：动点在哪条直线上，就以哪条直线为对称轴，作定点关于此直线的对称点，实现“折转直”解题。 理论依据：“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”、“垂线段最短”、“点关于线对称”、“线段的平移”、轴对称等。 出题背景：直线、平行线、角、三角形、立体图形(圆柱、正方体、圆锥、台阶等)、坐标轴、矩形、菱形、长方体、圆、圆锥、抛物线等， 注意：若平面图形本身为轴对称图形，则动点通常出现在其对称轴上，比如：棱形、正方形的对角线、抛物线的对称轴等。 一、“直线”背景 1.1、两点位于直线异侧或同侧（将军饮马问题、两定一动模型） 例1、如左图，A，B在直线a的两侧，在a上求一点P，使得PA+PB最小。 【解析】连接AB,线段AB与直线a的交点P ，即为所求。（理论依据：两点之间线段最短.） 例2、如右图，A，B在直线a的同侧，在a上求一点P，使得PA+PB最小。 【解析】如图，作定点B关于直线a的对称点B’，连接AB’与直线a的交点P1即为所求。 理论依据：三角形两边之和大于第三边。（AP+PB’>AB’） 二、“平行线”背景（造桥选址问题） 例3、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥CD，桥造在何处才能使从A到B的路径ACDB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 【解析】1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河上岸与点C, 3、过点C作CD垂直于对岸于点D，CD即为所求。 【证明】由平移的性质，得 BE平行且等于CD ∴DB=CE ∴AC+CD+DB=AC+CE+EB=AE+EB 而对于桥上岸任一点P，都有AP+PE>AE（理论依据：三角形两边之和大于第三边）。 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。 三、“角”背景（点在角的内部） 例4、如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 【解析】分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 4、 “三角形”背景（费马问题） 例5、已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为最小。 【解析】把△BPC绕点B旋转60°，点P对应点P'，点C对应点C'，于是有 PC = P'C'， PB = PP' （∵ △PBP' 是等边三角形） ∴PA + PB + PC = PA + PP' + P'C' 而PA + PB + PC = PA + PP' + P'C' ≥ AC'（原理：两点之间线段最短） 显然，当不等式能取等号时，那么这时候的点P就是到点 A, B, C 距离之和最小的点，也就是费马点。 五、“坐标轴”背景 例6、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，交直线x＝a于点C，点D与点B关于x轴对称，连接AD交直线x＝a于点E． （1）填空：S△ABD＝　 　． （2）求直线AD的解析式； （3）在x轴上存在一点P，则PE+PD的和最小为　 　；（直接填空即可） 【答案】（1）12（2） （3） 【解析】（1）如图1，∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B， 令x＝0，y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， 令y＝0，0＝﹣x﹣3， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∵点D与点B关于x轴对称， ∴D（0，3）， ∴S△ABD＝BD×OA＝×4×6＝12， 故答案为：12； （2）如图1，设直线AD：y＝kx+b，由（1）知，A（﹣4，0），D（0，3）， ∴ - 4k+b=0, b=3 解得,b=3 ∴直线AD的解析式为 （3）如图2，由（2）知，直线AD：， ∵直线CE：x＝a， ∴E（a， a+3）， ∵点D与点B关于x轴对称， ∴连接BE交x轴于P，此时，PD+PE最小，最小值为BE， BE＝＝， ∴BE的最小值为， 则PE+PD的和最小为； 六、“棱形”背景 例7、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，） 【答案】D 【解析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称， ∴PC+PD=PA+PD，当D、P、A，三点共线时，PC+PD最短， 在RT△AOG中，AG===， ∴AC=2，∵OA•BK=AC•OB， ∴BK=4，AK==3， ∴点B坐标（8，4）， ∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=﹣x+1， 联立解得点P坐标（，）．故选D． 七、“矩形”背景 例8、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为 （3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2） 【答案】B 【解析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交 点为E，因为△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+HE+EC，而CD为定值， 所以当CEH三点共线时，△CDE的周长最小 ∵D（，0），A（3，0），∴H（，0）， ∴直线CH解析式为y=﹣x+4， ∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B． 8、 “长方体”背景 长方体展开方式有三种：①右侧面与下底面展开在同一平面内 ②前表面与上表面展开在同一平面内③上表面与左侧面展开在同一平面内。求得三种路程，然后进行比较大小，即可得到最短路程. 例9、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（　　） A．4.8 B． C．5 D． 【答案】5 【解析】有两种展开方法： ①将长方体展开成如中图所示，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB==； ②将长方体展开成如右图所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，则AB==5＜； ∴最短距离 5 九、“圆”背景 例10、如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。 【答案】 【解析】作D关于OC的对称点D’，于是有PA+PD’≥AD’, （当且仅当P运动到Po处，等号成立，易求AD’=。 十、“圆椎”背景 将圆锥侧面展开，可将其侧面展开在同一平面内，利用平面图形的知识求出最短路程。 例11、如图，一直圆锥的母线长为OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式） 【答案】 【解析】小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 依题意可得：展开后的扇形硕对应的圆心角为， 由勾股定理求得它的弦长AA’= 十一、“抛物线”背景 例12、如图，抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点. （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； （3）在（2）的条件下，过点C作直线//x轴，动点P直线上，动点Q在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出它的最小值 【答案】（1）y=（x-1）2-4，M（1，-4）（2）N(4，5) （3） 【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）,把C（0，-3）代入解析式中得,∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3=（x-1）2-4 ∴顶点M（1，-4） （2） 设N（n,n2-2n-3），过N点作ND//y轴交直线BC于点D，如图3， ∵B（3，0），C（0，-3），∴∴ ∴ 又A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），∴AB=4，OC=3， ∴,∴, 解得：n=4，n=-1舍去∴N(4，5) （3） ∵P∴PQ=3，要求PM+PQ+QN的和最小，即求PM+QN最小。将PM将上平移3个单位至QM`位置，使P、Q重合，连接NM`，交X轴于点Q，过点Q作QP⊥直线于点P，此时PM+PQ+QN=QM`+3+QN=M`N+3有最小值，如图4。∵M（1，-4），直线：，∴， ∴, ∴PM+PQ+QN的最小值 跟踪练习： 1、问题发现． （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　． （2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值． （3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5， ∵AC×BC＝AB×CD， ∴CD＝＝， 故答案为； （2）如图②作点C关于BD的对称点E， 过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，由勾股定理解得BD＝5， 又CE⊥BC， 由等积法可知BD×CF＝BC×CD， ∴CF＝＝， CE＝2CF＝， 在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝， ∴sin∠BCF＝， 在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝； ∴CM+MN的最小值为； 方法2：建立直角坐标系 （3）如图3， ∵四边形ABCD是矩形， 可知CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，由勾股定理AC＝5， ∵AB＝3，AE＝2， ∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方， 设点G到AC的距离为h， ∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6， ∴求四边形AGCD的面积最小，，只需求h最小， ∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点， ∴EG⊥AC时，h最小， 而∠EGF＝∠ABC＝90°， 延长EG交AC于H，则EH⊥AC， 在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝， 在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝， ∴EH＝AE＝， ∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝， ∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝， 过点F作FM⊥AC于M， ∵EH⊥FG，EH⊥AC， ∴四边形FGHM是矩形， ∴FM＝GH＝ ∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°， ∴△CMF∽△CBA， ∴， ∴， ∴CF＝1 ∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3． 2、如图，△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为　 　． 【答案】 【解析】如图，取BC中点G，连接DG， ∵△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0）， ∴AO＝BO＝3，∠BCO＝30°，∠ABC＝60° ∴BC＝6＝AB ∵点G是BC中点 ∴CG＝BG＝3＝OA＝OB ∵将线段BD绕点B逆时针旋转60°， ∴∠DBE＝60°，BD＝BE ∴∠ABC＝∠DBE ∴∠CBD＝∠ABE，且BE＝BD，BG＝OB＝3， ∴△BGD≌△BOE（SAS） ∴OE＝DG ∴当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小． ∵∠BCO＝30°，DG⊥OC ∴DG＝CG＝ ∴OE的最小值为 3、如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　） A． （0，4） B．（0，5） C． D． 【答案】A 【解析】由题知A（0，），B（﹣3，0），C（3，0）， ∴AB＝AC＝8， 取点F（3，8），连接CF，EF，BF． ∵C（3，0）， ∴CF∥OA， ∴∠ECF＝∠CAO， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴∠CAO＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠ECF， ∵CF＝AB＝8，AD＝EC， ∴△ECF≌△DAB， ∴BD＝EF， ∴BD+BE＝BE+EF， ∵BE+EF≥BF， ∴BD+BE的最小值为线段BF的长， ∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小， ∵直线BF的解析式为：y＝x+4， ∴H（0，4）， ∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4）， 故选：A． 4、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm． 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【答案】D 【解析】将长方体展开，连接A、B′， ∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm． 故答案为：10． 5、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （1，） C. （，） D. （，） 【答案】D 【解析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C关于直线OB对称， ∴PC+PD=PA+PD=DA， 即当D、P、A三点共线，此时PC+PD最短． 在RT△AOG中，AG===， ∴AC=． ∵OA•BK=•AC•OB， ∴BK=4，AK==3， ∴点B坐标（8，4）， ∴直线OB解析式为，直线AD解析式为， 联立方程点P坐标（，）． 故选D． 6、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】连接AP，Rt△ABC中，，，则BC=10， ∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形，EF，AP为两条对角线， ∴EF=AP， ∵M是EF的中点， ∴AM=EF=AP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短， ∴S△ABC=BC•AP＝AB•AC， ∴×10AP＝×6×8， ∴AP最短时，AP=， ∴当AM最短时，AM=AP=． 故答案为：． 7、如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB=2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为_____． 【答案】9 【解析】作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC． ∵E（0，4），D（6，0），MN∥x轴，D，D′关于MN对称， ∴D′（6，8）， ∴OD′==10， ∵∠AOB=90°，AB=2，AC=CB， ∴OC=AB=1， ∵PD=PD′， ∴PC+PD=PC+PD′， ∵OD′≤OC+PC+PD′， ∴PC+PD′≥9， ∴PC+PD的最小值为9， 故答案为：9． 学科网（北京）股份有限公司 $$