北京市2023--2024学年八年级下学期期末数学分类汇编——几何综合

2023.7北京市八年级下期末数学分类汇编——几何综合 1．（2023春•西城区期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M，N两点分别在AB，BC边上，BM＝BN．连接DM，取DM的中点K，连接AK，NK． （1）依题意补全图1，并写出∠AKN的度数； （2）用等式表示线段NK与AK的数量关系，并证明； （3）若AB＝6，AC，BD的交点为O，连接OM，OK，四边形AMOK能否成为平行四边形？若能，求出此时AM的长；若不能，请说明理由． 2．（2023春•大兴区期末）如图，四边形ABCD是正方形，过点D在正方形ABCD的外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，DM，线段AM交直线DE于点N，设∠CDE＝α． （1）补全图形： （2）当α＝20°时，直接写出∠AND的度数； （3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段DN，AN与MN的数量关系，并证明． 3．（2023春•海淀区期末）在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE＝FE． （1）如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF＝180°． （2）在（1）的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明； （3）若AB＝4，BE＝3DE，直接写出线段CF的长． 4．（2023春•燕山期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E为边AB上一点．点F在DB的延长线上，EF＝ED．作点F关于直线AB的对称点G，连接EG． （1）依题意补全图形，并证明∠ADE＝∠FEB； （2）用等式表示AE，CG，DF之间的数量关系，并证明． 5．（2023春•延庆区期末）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为射线AB上一个动点，连接CE，以点E为圆心，CE为半径画弧，与直线CA交于点F，连接EF．若∠BCE＝α，且0°＜α＜45°． （1）如图1，当点E在边AB上时，求∠AEF的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，当点E在边AB的延长线上时， ①请你依题意补全图形； ②用等式表示线段AD，AE，AF之间的数量关系，并证明． 6．（2023春•东城区期末）如图，正方形ABCD．过点B作射线BP，交DA的延长线于点P．点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE．其中AE，CE分别与射线BP交于点G，H． （1）依题意补全图形； （2）设∠ABP＝α，∠AEB＝　 　（用含α的式子表示），∠AEC＝　 　°； （3）若EH＝BH，用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明． 7．（2023春•丰台区期末）在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE． （1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）． ①求证：∠BCF＝∠BAP； ②求证：EA＝EC+EB； （2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系． 8．（2023春•昌平区期末）正方形ABCD中，点E为射线DC上一点（点E不与D，C重合），射线AE交BD于点P，交直线BC于点F，点Q为EF的中点，连接PC，CQ． （1）如图1，当点E在线段DC上时，直接写出∠PCQ的度数，∠PCQ＝　 　，并证明； （2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，点D作BD的垂线，交直线CQ于点M． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段DP，DC，DM的数量关系，并证明． 9．（2023春•密云区期末）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 10．（2023春•石景山区期末）如图，正方形Rt△ABC中，点Rt△ABC在AD上（与点A，D不重合），连接BE．将线段BE绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G． （1）依题意补全图形； （2）连接DF，试判断DF与GF的数量关系，并证明． 11．（2023春•朝阳区期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）求证：BC＝DF； （2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明． 12．（2023春•顺义区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），AF⊥AE于点A，AF＝AE，连接BF，DE． （1）求证：∠ABF＝∠ADE； （2）延长FB，DE，交于点G，连接AG． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段EG，FG，AG之间的数量关系，并证明． 13．（2023春•房山区期末）如图，在正方形ABCD的外侧作射线AP，∠BAP＝α（0°＜α＜45°），作点B关于射线AP的对称点E，连接DE交AP于点F，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）若α＝20°，则∠AFD＝　 　°； （3）用等式表示线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明． 14．（2023春•平谷区期末）在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF＝EB． （1）如图1，当点E在线段OC上（不与端点重合）时． ①求证：∠DFE＝∠ABE； ②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明； （2）如图2，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，直接写出线段AB，AE，AF的数量关系． 15．（2023春•怀柔区期末）正方形ABCD中，G为边BC上一点（不含B，C），F为正方形ABCD外角∠DCE的平分线上一点，且∠AGF＝90°，分别连接AG，GF． （1）如图1，求证：AG＝FG； （2）如图2，连接AF，DF，当G在BC边上运动时，AF与边CD相交，交点为M． ①依题意补全图形； ②当交点M为边CD中点时，用等式表示线段AG，MF，DF的数量关系，并证明． 16．（2023春•通州区期末）如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，延长CP至E，连结DE，使DE＝DC，DN平分∠ADE，交CE于点N，连接AE、AN、BN． （1）依题意补全图形； （2）判断△ANE的形状，并证明； （3）用等式表示线段AN、BN、CN三者之间的数量关系，并证明． 17．（2023春•门头沟区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，作射线BD，过点A作AE⊥BD于点E，连接AE． （1）根据题意补全图形； （2）求证：∠EAD＝∠DBC； （3）用等式表示线段EA，EB，EC之间的等量关系，并证明． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023.7北京市八年级下期末数学分类汇编——几何综合 参考答案与试题解析 1．（2023春•西城区期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M，N两点分别在AB，BC边上，BM＝BN．连接DM，取DM的中点K，连接AK，NK． （1）依题意补全图1，并写出∠AKN的度数； （2）用等式表示线段NK与AK的数量关系，并证明； （3）若AB＝6，AC，BD的交点为O，连接OM，OK，四边形AMOK能否成为平行四边形？若能，求出此时AM的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）延长AK，交CD于点E，连接AC，NE，利用全等三角形的判定与性质得到AM＝DE，进而利用等式的性质得到BM＝CE，则BN＝CE；利用全等三角形的判定与性质得到AN＝AE，利用等式的性质得到∠NAE＝60°，则△DAE为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得AK⊥AE，则结论可求； （2）利用等边三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质得到∠ANK＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （3）依题意画出图形，利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理解答即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意补全图形如下： 延长AK，交CD于点E，连接AC，NE，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠AMD＝∠EDM． 在△AMK和△EDK中， ， ∴△AMK≌△EDK（ASA）， ∴AK＝KE，AM＝DE， ∴AB﹣AM＝CD﹣DE， 即BM＝CE． ∵BM＝BN， ∴BN＝CE． ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AE，∠ABC＝∠ACB＝∠ACE＝60°． 在△ABN和△ACE中， ， ∴△ABN≌△ACE（SAS）， ∴AN＝AE，∠BAN＝∠CAE， ∴∠BAN+∠NAC＝∠NAC+∠CAE， 即∠BAC＝∠NAE＝60°， ∴等腰△DAE为等边三角形， ∴NA＝NE， ∵AK＝KE， ∴NK⊥AE， ∴∠AKN＝90°； （2）段NK与AK的数量关系为：NK＝AK．理由： 由（1）知：△DAE为等边三角形， ∴∠ANE＝60°， ∵NK⊥AE， ∴∠ANK＝∠ANE＝30°， ∴AK＝AN． 设AK＝a，则AN＝2a， ∴NK＝＝＝a， ∴NK＝AK； （3）四边形AMOK能成为平行四边形，如图， ∵四边形AMOK为平行四边形， ∴OK＝AM． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO＝OD， ∵MK＝DK， ∴OK为△DMB的中位线， ∴OK＝BM， ∴AM＝BM， ∴BM＝2AM， ∵AB＝AM+BM＝6， ∴3AM＝6， ∴AM＝2． ∴四边形AMOK能成为平行四边形，此时AM的长为2． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形，平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2023春•大兴区期末）如图，四边形ABCD是正方形，过点D在正方形ABCD的外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，DM，线段AM交直线DE于点N，设∠CDE＝α． （1）补全图形： （2）当α＝20°时，直接写出∠AND的度数； （3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段DN，AN与MN的数量关系，并证明． 【分析】（1）作点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，DM，线段AM交直线DE于点N，画出相应的图形即可； （2）由正方形的性质得AD＝CD，∠ADC＝90°，由直线DE垂直平分CM，得MD＝CD，因为∠CDE＝α＝20°，所以∠MDE＝∠CDE＝20°，则∠CDM＝∠MDE+∠CDE＝40°，所以∠ADM＝∠ADC+∠CDM＝130°，由AD＝MD，得∠DMA＝∠DAM＝25°，则∠AND＝∠MDE+∠DMA＝45°； （3）设CM交DE于点O，在AN上截取AF＝MN，连接DF，可证明△ADF≌△MDN，得DF＝DN，∠ADF＝∠MDN，而∠MDN＝∠CDE，所以∠ADF＝∠CDE，即可推导出∠FDN＝∠ADC＝90°，所以FN＝＝DN，则AN＝MN+DN． 【解答】解：（1）如图，作点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，DM，线段AM交直线DE于点N． （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∵点M与点C关于直线DE对称， ∴直线DE垂直平分CM， ∴MD＝CD， ∵∠CDE＝α＝20°， ∴∠MDE＝∠CDE＝20°， ∴∠CDM＝∠MDE+∠CDE＝20°+20°＝40°， ∴∠ADM＝∠ADC+∠CDM＝90°+40°＝130°， ∵AD＝MD， ∴∠DMA＝∠DAM＝×（180°﹣130°）＝25°， ∴∠AND＝∠MDE+∠DMA＝20°+25°＝45°， ∴∠AND的度数是45°． （3）AN＝MN+DN， 证明：如图，设CM交DE于点O，在AN上截取AF＝MN，连接DF， 在△ADF和△MDN中， ， ∴△ADF≌△MDN（SAS）， ∴DF＝DN，∠ADF＝∠MDN， ∵∠MDN＝∠CDE， ∴∠ADF＝∠CDE， ∴∠FDN＝∠CDF+∠CDE＝∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴FN＝＝＝DN， ∵AN＝AF+FN，AF+FN＝MN+DN， ∴AN＝MN+DN． 【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 3．（2023春•海淀区期末）在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE＝FE． （1）如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF＝180°． （2）在（1）的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明； （3）若AB＝4，BE＝3DE，直接写出线段CF的长． 【分析】（1）证∠CBD＝∠MCN，得CN∥BD，再由平行线的性质和等腰三角形的性质得∠BEC＝∠ECF＝∠EFC，然后由三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，证四边形CHEO是矩形，得CH＝OE，再由等腰三角形的性质得CH＝FH，即可解决问题； （3）分两种情况，①点E在线段BD上时，BE+DE＝BD＝4，求出DE＝，再由（2）可知，CF+DE＝BE，即可得出结论； ②点E在线段BD的延长线上时，BE＝DE+BD，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，求出DE＝2，则BE＝3DE＝6，再由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠ABC＝45°， ∴∠DCM＝90°， ∵CN平分∠DCM， ∴∠MCN＝45°， ∴∠CBD＝∠MCN， ∴CN∥BD， ∴∠BEC＝∠ECF， ∵CE＝FE， ∴∠ECF＝∠EFC， ∴∠BEC＝∠ECF＝∠EFC， 在△ECF中，∠ECF+∠EFC+∠CEF＝180°， ∴2∠BEC+∠CEF＝180°； （2）解：CF+DE＝BE，证明如下： 如图2，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， 由（1）可知，CN∥BD， ∴EH⊥BD， ∴EH∥AC， ∴四边形CHEO是矩形， ∴CH＝OE， ∵CE＝FE，EH⊥CF， ∴CH＝FH， ∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2BE﹣2OB＝2BE﹣BD＝BE﹣（BD﹣BE）＝BE﹣DE， ∴CF+DE＝BE； （3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD＝AB＝4，OB＝OD，∠BAD＝90°， ∴BD＝AB＝4， ∴OB＝BD＝2， ①点E在线段BD上时，BE+DE＝BD＝4， ∵BE＝3DE， ∴4DE＝4， ∴DE＝， 由（2）可知，CF+DE＝BE， ∴CF＝BE﹣DE＝2DE＝2； ②如图3，点E在线段BD的延长线上时，BE＝DE+BD， 连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H， ∵BE＝3DE， ∴2DE＝4， ∴DE＝2， ∴BE＝3DE＝6， ∵EH⊥CF，CE＝FE， ∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2（6﹣2）＝8； 综上所述，线段CF的长为2或8． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 4．（2023春•北京期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E为边AB上一点．点F在DB的延长线上，EF＝ED．作点F关于直线AB的对称点G，连接EG． （1）依题意补全图形，并证明∠ADE＝∠FEB； （2）用等式表示AE，CG，DF之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意补全图形，根据菱形的性质结合ED＝EF可推出∠BDE＝∠BFE，从而推出结论； （2）连接DG，根据菱形的性质结合∠ABC＝120°推出△ABD为等边三角形，得出AD＝DB，∠ABF＝120°，由点F关于AB的对称点G在线段BC上，推出△DEG为等边三角形，根据SAS证明△ADE≌△BDG得出AE＝BG，从而得出结果． 【解答】解：（1）补全的图形如图所示； 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝∠ABC＝120°， ∴∠ADB＝∠ADC＝60°， ∠ABD＝∠ABC＝60°， ∴∠ADE+∠BDE＝60°， ∠FEB+∠BFE＝60°． ∵ED＝EF， ∴∠BDE＝∠BFE， ∴∠ADE＝∠FEB． （2）AE，CG，DF之间的数量关系：DF＝CG+2AE． 证明：如图，连接DG． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠ABC＝60°＝∠A， ∴△ABD为等边三角形， ∴AD＝DB，∠ABF＝120°， 点F关于AB的对称点G在线段BC上， ∴EG＝EF＝ED，∠GEB＝∠FEB＝∠ADE． ∵∠DEB＝∠A+∠ADE＝∠DEG+∠GEB， ∴∠DEG＝∠A＝60°， ∴△DEG为等边三角形， ∴DE＝DG，∠EDG＝60°， ∴∠ADE+∠EDB＝∠EDB+∠BDG＝60°， ∴∠ADE＝∠BDG， ∴△ADE≌△BDG（SAS）， ∴AE＝BG， ∴DF＝DB+BF＝BC+AE＝CG+BG+AE＝CG+2AE． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键． 5．（2023春•延庆区期末）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为射线AB上一个动点，连接CE，以点E为圆心，CE为半径画弧，与直线CA交于点F，连接EF．若∠BCE＝α，且0°＜α＜45°． （1）如图1，当点E在边AB上时，求∠AEF的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，当点E在边AB的延长线上时， ①请你依题意补全图形； ②用等式表示线段AD，AE，AF之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据正方形的性质证明∠AEF＝∠BCE，即可解决问题； （2）①根据题意即可补全图形； ②证明△EFM≌△CBE（AAS），得FM＝BE，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝∠BCA＝45°， ∵CE＝EF， ∴∠AFE＝∠ACE， ∵∠CAB＝∠AFE+∠AEF，∠BCA＝∠ACE+∠BCE， ∴∠AEF＝∠BCE， ∵∠BCE＝α， ∴∠AEF＝α； （2）①如图所示即为补全的图形； ②如图，过点F作FM⊥AB于点M， ∴∠FMB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBA＝90°，AB＝BC＝AD，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠CBA＝∠FME， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵∠EFC＝∠AEF+45°，∠ECF＝∠BCE+45°， ∴∠AEF＝∠BCE， 在△EFM 和△CBE中， ， ∴△EFM≌△CBE（AAS）， ∴FM＝BE， 在Rt△AMF中，由勾股定理得，， ∴， ∵AE＝AB+BE， ∴． ∴（写成 也可）． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 6．（2023春•东城区期末）如图，正方形ABCD．过点B作射线BP，交DA的延长线于点P．点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE．其中AE，CE分别与射线BP交于点G，H． （1）依题意补全图形； （2）设∠ABP＝α，∠AEB＝　90°﹣α　（用含α的式子表示），∠AEC＝　45　°； （3）若EH＝BH，用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）首先根据题意得到BP垂直平分AE，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （3）过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，首先得到△EHG是等腰直角三角形，然后设 EG＝HG＝AG＝a，则 ，AE＝2a，根据勾股定理表示出 ，然后证明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到 a，进而求解即可． 【解答】解：（1）如图所示， （2）∵点A关于直线BP的对称点为E， ∴BP垂直平分AE， ∴BE＝AB，AE⊥BP， ∴∠AEB＝∠BAE＝90°﹣α； ∴∠EBG＝∠ABP＝α， ∴∠EBC＝∠EBP+∠ABP+∠ABC＝2α+90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∴BE＝AB， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣∠ECB）＝45°﹣α； ∴∠AEC＝∠AEB﹣∠BEC＝45°； 故答案为：90°﹣α，45； （3）EC＝（+1）AE， 证明：如图所示，过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M， ∵∠AEH＝45°，∠EGH＝90°， ∴∠EHG＝45°， ∴△EHG是等腰直角三角形， ∴设EG＝HG＝AG＝a，则，AE＝2a， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠EHG＝45°，EH＝BH， △EMB是等腰直角三角形， ∴ a． ∵AE＝2a， ∴EC＝（+1）AE． 【点评】本题考查了四边形综合，等腰直角三角形，线段垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识． 7．（2023春•丰台区期末）在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE． （1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）． ①求证：∠BCF＝∠BAP； ②求证：EA＝EC+EB； （2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【分析】（1）①根据正方形的性质和垂线的性质得∠ABP＝∠CEP＝90°，由三角形的内角和定理可得结论； ②图1，过点B作BM⊥BE于B，证明△ABM≌△CBE（ASA）和△EBM是等腰直角三角形可得结论； （2）正确作图2，同理可得结论． 【解答】（1）证明：①∵AP⊥CE， ∴∠CEP＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠CEP， ∵∠CPE＝∠APB， ∴∠BCF＝∠BAP； ②如图1，过点B作BM⊥BE于B， ∴∠EBM＝∠ABP＝90°， ∴∠ABM＝∠CBE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， 由（1）知：∠BAM＝∠BCE， ∴△ABM≌△CBE（ASA）， ∴BM＝BE，AM＝CE， ∵∠EBM＝90°，BE＝BM， ∴EM＝BE， ∵AE＝AM+EM， ∴AE＝EC+BE； （2）解：线段EA，EC，EB之间的数量关系为：CE＝AE+BE，理由如下： 如图2，过点B作BM⊥BE于B， ∴∠EBM＝∠ABP＝90°， ∴∠ABE＝∠CBM， ∴AB＝BC， 由（1）同理得：∠BAE＝∠BCM， ∴△ABE≌△CBM（ASA）， ∴BM＝BE，AE＝CM， ∵CE＝CM+EM， ∴CE＝AE+BE； 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题难度适中，证明三角形全等是解题的关键． 8．（2023春•昌平区期末）正方形ABCD中，点E为射线DC上一点（点E不与D，C重合），射线AE交BD于点P，交直线BC于点F，点Q为EF的中点，连接PC，CQ． （1）如图1，当点E在线段DC上时，直接写出∠PCQ的度数，∠PCQ＝　90°　，并证明； （2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，点D作BD的垂线，交直线CQ于点M． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段DP，DC，DM的数量关系，并证明． 【分析】（1）证明△DAP≌△DCP（SAS），得∠DAP＝∠DCP，再根据正方形的性质即可解决问题； （2）①根据题意画出图形即可； ②证明△BAP≌△DCM得BP＝DM，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∠PCQ＝90°， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC， 在△DAP和△DCP中， ， ∴△DAP≌△DCP（SAS）， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵点Q为EF的中点， ∴EQ＝FQ＝CQ， ∴∠QEC＝∠QCE，∠QCF＝∠F， ∵∠QEC＝∠DEA，AD∥BC， ∴∠DEA＝∠QCE，∠DAE＝∠F＝∠DCP， ∵∠DAE+∠DEA＝90°， ∴∠DCP+∠QCE＝90°， ∴∠PCQ＝90°， 故答案为：90； （2）①如图2，即为补全的图形； ②DP+DM＝DC， 证明：∵BD是正方形四边形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD， ∵DM⊥BD， ∴∠BDM＝90°， ∴∠CDM＝45°， ∴∠ABP＝∠CDM， ∵AB∥DC， ∴∠BAP＝∠CEQ， 由（1）知：∠CEQ＝∠ECQ＝∠DCM， ∴∠BAP＝∠DCM， ∴△BAP≌△DCM（ASA）， ∴BP＝DM， ∴DP+DM＝DP+BP＝BD＝DC， ∴DP+DM＝DC． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△BAP≌△DCM． 9．（2023春•密云区期末）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先证明△ADE≌△ABF，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接CG，先证明△ADG≌△CDG，得出∠ADG＝∠CDG＝45°，取CE的中点，连接GM，先证明DM＝GM，从而得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CF＝DG．理由如下： 如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AG＝EF， 同理，在Rt△EFC中，CG＝EF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠ADC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GM＝CF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°， 在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DG＝GM， ∵GM＝CF， ∴DG＝CF， ∴2DG＝CF，即CF＝DG． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，综合性强，难度适中． 10．（2023春•石景山区期末）如图，正方形Rt△ABC中，点Rt△ABC在AD上（与点A，D不重合），连接BE．将线段BE绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G． （1）依题意补全图形； （2）连接DF，试判断DF与GF的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明△ABE≌△GEF（AAS），推出AE＝FG，AB＝EG，可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）结论；DF＝GF． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD， ∵FG⊥AG， ∴∠G＝90°， ∵EB＝ED，∠BEF＝90°， ∴∠G＝∠A＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠AEB+∠GEF＝90°， ∴∠ABE＝∠GEF， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE＝FG，AB＝EG， ∴EG＝AD， ∴DG＝AE＝GF， ∴△DFG是等腰直角三角形， ∴DF＝GF． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，这发型的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2023春•朝阳区期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）求证：BC＝DF； （2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据矩形的性质得到AD＝BC，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠AFD，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠DAF，于是得到结论； （2）连接BD，BG，CG，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠BEA，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠DAF，求得∠BAE＝AEB，推出AB＝BE＝DC，根据等腰直角三角形的性质得到EG＝CG＝FG，∠ECG＝∠FCG＝45°，根据全等三角形的判定和性质得到BG＝DG，∠DGC＝∠BGE，求得BD2＝2DG2，等量代换即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AFD， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∴BC＝DF； （2）解：AD2+CD2＝2DG2． 证明：连接BD，BG，CG， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAE＝AEB， ∵∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝BE＝DC， ∵∠BCF＝90°，∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴∠F＝45°， ∵G是EF的中点， ∴EG＝CG＝FG，∠ECG＝∠FCG＝45°， ∴∠BEC＝∠DCG＝135°， ∵BC＝DF， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG＝DG，∠DGC＝∠BGE， ∵∠CGE＝90°， ∴∠BGD＝90°， ∴△BDG是等腰直角三角形， ∴BD2＝2DG2， ∵AB2+AD2＝BD2，AB＝CD， ∴AD2+CD2＝2DG2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2023春•顺义区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），AF⊥AE于点A，AF＝AE，连接BF，DE． （1）求证：∠ABF＝∠ADE； （2）延长FB，DE，交于点G，连接AG． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段EG，FG，AG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）首先证∠BAF＝∠DAE，然后可依据“SAS”判定△ABF和△ADE全等，进而即可得出结论； （2）①根据题意剪图形补全即可； ②过点A作AH⊥AG与GD的延长线交于H，先证∠BAG＝∠DAH，依据（1）的结论得∠ABG＝∠ADH，进而可依据“ASA”判定△ABG和△ADH全等得AG＝AH，从而得△AGH为等腰直角三角形，则，即，再证∠FAG＝∠EAH，进而可依据“SAS”判定△AFG和△AEH全等，从而得FG＝EH，据此可得出线段EG，FG，AG之间的数量关系． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝90°， ∴∠DAE+∠BAE＝90°， 又∵AF⊥AE，AF＝AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAF+∠BAE＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴∠ABF＝∠ADE， （2）①解：依题意补全图形如下： ②线段EG，FG，AG之间的数量关系是：． 证明如下： 过点A作AH⊥AG与GD的延长线交于H， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAG+∠GAD＝90°， ∵AH⊥AG，则∠GAH＝90°， ∴∠GAD+∠DAH＝90°， ∴∠BAG＝∠DAH， ∵∠ABG＝180°﹣∠ABF，∠ADH＝180°﹣∠ADE， 由（1）知：∠ABF＝∠ADE， ∴∠ABG＝∠ADH， 在△ABG和△ADH中， ， ∴△ABG≌△ADH（ASA） ∴AG＝AH， 又∠GAH＝90°， ∴△AGH为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 即：， ∵∠EAF＝∠GAH＝90°， 即：∠FAG+∠GAE＝∠GAE+∠EAH＝90°， ∴∠FAG＝∠EAH， 在△AFG和△AEH中， ， ∴△AFG≌△AEH（SAS）， ∴FG＝EH， ∴． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是解答（2）时，正确的作出辅助线构造全等三角形． 13．（2023春•房山区期末）如图，在正方形ABCD的外侧作射线AP，∠BAP＝α（0°＜α＜45°），作点B关于射线AP的对称点E，连接DE交AP于点F，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）若α＝20°，则∠AFD＝　45　°； （3）用等式表示线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）由对称的性质得出AB＝AE，∠BAP＝∠EAP＝α＝20°，结合正方形的性质求出AE＝AD，∠DAE＝130°，从而求出∠AED的度数，利用三角形外角的性质即可求出∠AFD的度数； （3）过点A作AH⊥AF，垂足为点A，先证△AEF和△ADH全等，再证△AFH是等腰直角三角形，根据FD＝HD+FH即可得出结论． 【解答】（1）解：如图， （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， 由对称的性质可得AB＝AE，∠BAP＝∠EAP＝α＝20°， ∴AD＝AE，∠DAE＝∠DAB+∠BAP+∠EAP＝90°+20°+20°＝130°， ∴∠AED＝∠ADE＝， ∵∠AFD是△AEF的一个外角， ∴∠AFD＝∠EAP+∠AED＝20°+25°＝45°， 故答案为：45； （3）； 证明：如图，过点A作AH⊥AF，垂足为点A， ∴∠BAF+∠BAH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠BAH＝90°， ∴∠BAF＝∠DAH， 由对称的性质可得AB＝AE，∠BAF＝∠EAF， ∴AE＝AD，∠EAF＝∠DAH， ∴∠AEF＝∠ADH， 在△AEF和△ADH中， ， ∴△AEF≌△ADH（ASA）， ∴FE＝HD，∠AFE＝∠AHD， ∴180°﹣∠AFE＝180°﹣∠AHD， 即∠AFH＝∠AHF， ∴△AFH是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ∵FD＝HD+FH，FE＝HD， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，综合性较强，需熟练掌握这些知识． 14．（2023春•平谷区期末）在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF＝EB． （1）如图1，当点E在线段OC上（不与端点重合）时． ①求证：∠DFE＝∠ABE； ②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明； （2）如图2，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，直接写出线段AB，AE，AF的数量关系． 【分析】（1）①过E点作MN⊥AD于N，交BC于M，根据HL证Rt△EFN≌Rt△BEM，然后根据平行线的性质得出结论即可； ②由①得出EM＝FN，然后根据线段的和差关系得出结论即可； （2）过E点作MN⊥AD于N，交BC于M，根据HL证Rt△EFN≌Rt△BEM，再由线段的和差关系求解即可． 【解答】（1）①证明：过E点作MN⊥AD于N，交BC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠DAC＝45°， ∵MN⊥AD， ∴四边形ANMB是矩形，△ANE是等腰直角三角形， ∴AN＝EN＝BM， 又∵EF＝BE， ∴Rt△EFN≌Rt△BEM（HL）， ∴∠DFE＝∠BEM， ∵AB∥MN， ∴∠BEM＝∠ABE， ∴∠DFE＝∠ABE； ②解：AB＝AE﹣AF，证明如下： 由①知，Rt△EFN≌Rt△BEM， ∴EM＝FN， ∵△ANE是等腰直角三角形， ∴AE＝NE， ∵AB＝MN＝EM+NE， ∴AB＝NE+AN﹣AF＝2NE﹣AF＝AE﹣AF； （2）解：AB＝AE+AF，理由如下： 过E点作MN⊥AD于N，交BC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠DAC＝45°， ∵MN⊥AD， ∴四边形ANMB是矩形，△ANE是等腰直角三角形， ∴AN＝EN＝BM， 又∵EF＝BE， ∴Rt△EFN≌Rt△BEM（HL）， ∴FN＝EM， ∵AB＝NM＝NE+EM， ∴AB＝AN+FN＝AF+2AN， ∵AE＝AN， ∴AB＝AE+AF． 【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识是解题的关键． 15．（2023春•怀柔区期末）正方形ABCD中，G为边BC上一点（不含B，C），F为正方形ABCD外角∠DCE的平分线上一点，且∠AGF＝90°，分别连接AG，GF． （1）如图1，求证：AG＝FG； （2）如图2，连接AF，DF，当G在BC边上运动时，AF与边CD相交，交点为M． ①依题意补全图形； ②当交点M为边CD中点时，用等式表示线段AG，MF，DF的数量关系，并证明． 【分析】（1）在AB上截取AH＝GC，连接HG，根据正方形的性质和已知条件推出判定△AHG≌△GCF的条件，根据全等三角形的性质即可推出结论； （2）①根据题意连接相应线段，标出点M即可； ②在AM上截取MN＝MF，连接DN，根据正方形的性质和已知条件判定△DMN≌△CMF，△ADN≌△DCF，推出△AGF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可表示出三条线段的数量关系． 【解答】证明：（1）如图1，在AB上截取AH＝GC，连接HG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝DC，∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴HB＝BG，∠DCE＝90°，∠BAG+∠AGB＝90°， ∴∠BHG＝45°， ∴∠AHG＝135°， ∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90° ∴∠DCF＝45°， ∴∠GCF＝∠AHG＝135°， ∵∠AGF＝90°， ∴∠FGC+∠AGB＝90°， ∴∠BAG＝∠FGC， ∴△AHG≌△GCF（ASA）， ∴AG＝FG； （2）①根据题意连接AF，DF，标出点M即可，如图2就是补全后的图形； ②AG＝DF+2MF， 证明：如图3，在AM上截取MN＝MF，连接DN， ∵M为边CD中点， ∴DM＝MC， ∵∠AMD＝∠FMC， ∴△DMN≌△CMF（SAS）， ∴DN＝FC，∠NDC＝∠DCF＝45°， ∴∠ADN＝∠DCF＝45°， ∴△ADN≌△DCF（ASA）， ∴AN＝DF， ∵∠AGF＝90°，AG＝FG， ∴△AGF是等腰直角三角形， ∴AF＝AG， ∵AF＝AN+NM+MF＝DF+2MF， ∴AG＝DF+2MF． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 16．（2023春•通州区期末）如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，延长CP至E，连结DE，使DE＝DC，DN平分∠ADE，交CE于点N，连接AE、AN、BN． （1）依题意补全图形； （2）判断△ANE的形状，并证明； （3）用等式表示线段AN、BN、CN三者之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意即可补全图形； （2）证明△EDN≌△ADN（SAS），∠AEC＝45°，可得结论； （3）过点B作BF⊥BN交PC延长线于点F，证明△FCB≌NAB（ASA），得FC＝AN，FB＝BN，可得△FBN是等腰直角三角形，进而得结论． 【解答】解：（1）如图，即为补全的图形； （2）△ANE是等腰直角三角形， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA， ∵DC＝DE， ∴DE＝DA， ∵DN平分∠ADE， ∴∠EDN＝∠ADN， 在△EDN和△ADN中， ， ∴△EDN≌△ADN（SAS）， ∴AN＝EN， 设∠ADE＝x，则∠CDE＝90°+x， ∵DA＝DE＝DC， ∴∠DEA＝∠DAE＝（180°﹣x）＝90°﹣x，∠DEC＝∠ECD＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x， ∴∠AEC＝∠DEA﹣∠DEC＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°， ∵AN＝EN， ∴∠AEN＝∠EAN＝45°， ∴∠ANE＝90°， ∴△ANE是等腰直角三角形； （3）AN+NC＝BN，证明如下： 过点B作BF⊥BN交PC延长线于点F，如图2， ∴∠FBC＝∠ABN， ∵∠CBA＝∠CNA＝90°， ∴∠BCN+∠BAN＝180°， ∵∠FCB+∠BCN＝180°， ∴∠FCB＝∠BAN， 又∵AB＝BC， ∴△FCB≌NAB（ASA）， ∴FC＝AN，FB＝BN， ∴△FBN是等腰直角三角形， ∴FN＝BN， ∴AN+NC＝BN． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．（2023春•门头沟区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，作射线BD，过点A作AE⊥BD于点E，连接AE． （1）根据题意补全图形； （2）求证：∠EAD＝∠DBC； （3）用等式表示线段EA，EB，EC之间的等量关系，并证明． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用三角形内角和定理证明即可； （3）结论：．证明△AEC≌△BFC（SAS），推出CE＝CF，∠ECA＝∠FCB，可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵AE⊥EB于点E， ∴∠AEB＝∠ACB＝90°， ∵∠EDA＝∠CDB， ∴∠EAD＝∠CBD； （3）解：结论：． 理由：连接CE，在EB上截取BF＝AE，连接CF， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∠CAB＝90°，CA＝CB． ∵∠EAD＝∠CBD． ∴△AEC≌△BFC（SAS）， ∴CE＝CF，∠ECA＝∠FCB， ∠ECF＝90°， ∴EF＝EC， ∴． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/8 0:37:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$