北京市2022--2023学年下学期八年级期末数学分类汇编——二次根式

2023.7北京市八年级下期末数学分类汇编——二次根式（原卷版）一．算术平方根（共1小题） 1．（2023春•怀柔区期末）计算：已知≈1.414，则≈　 　． 二．非负数的性质：算术平方根（共2小题） 2．（2023春•西城区期末）若+＝0，则a＝　 　，b＝　 　． 3．（2023春•密云区期末）若实数x，y满足，则xy的值为　 　． 三．实数大小比较（共1小题） 4．（2023春•海淀区期末）实数a与b满足． （1）写出a与b的取值范围； （2）已知是有理数． ①当a是正整数时，求b的值； ②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和11个位置的数． 四．平方差公式（共1小题） 5．（2023春•大兴区期末）计算： 五．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 6．（2023春•东城区期末）已知，求代数式（x﹣1）2﹣2x+5的值． 六．二次根式有意义的条件（共6小题） 7．（2023春•海淀区期末）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x≥0 D．x≤0 8．（2023春•西城区期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 9．（2023春•东城区期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　． 10．（2023春•丰台区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 11．（2023春•朝阳区期末）若二次根式有意义，则a的取值范围是 　 　． 12．（2023春•北京期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 七．二次根式的性质与化简（共5小题） 13．（2023春•海淀区期末）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2023春•朝阳区期末）化简的正确结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．25 15．（2023春•大兴区期末）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C．﹣ D． 16．（2023春•北京期末）计算的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 17．（2023春•密云区期末）＝　 　． 八．最简二次根式（共5小题） 18．（2023春•西城区期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 19．（2023春•东城区期末）下列四个式子中，最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 20．（2023春•大兴区期末）下列各式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 21．（2023春•密云区期末）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 22．（2023春•怀柔区期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 九．二次根式的乘除法（共5小题） 23．（2023春•东城区期末）下列各式中，计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（2023春•丰台区期末）计算：＝　 　． 25．（2023春•朝阳区期末）计算：＝　 　． 26．（2023春•北京期末）计算：． 27．（2023春•密云区期末）计算：2． 一十．分母有理化（共2小题） 28．（2023春•丰台区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 29．（2023春•密云区期末）阅读材料，并回答问题：小君在学习二次根式时，化简的过程如下： 解： ＝…第①步； ＝…第②步； ＝…第③步； ＝…第④步． （1）上述解答过程中，从第 　 　步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 一十一．同类二次根式（共1小题） 30．（2023春•东城区期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 　 　． 一十二．二次根式的混合运算（共11小题） 31．（2023春•西城区期末）下列计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（2023春•北京期末）下列计算正确的是（　　） A．+＝ B．﹣2＝ C．×＝4 D．÷＝4 33．（2023春•密云区期末）计算（+）（﹣）的结果为　 　． 34．（2023春•西城区期末）计算： （1）； （2）（）（）﹣． 35．（2023春•海淀区期末） 计算：（1）． （2）． 36．（2023春•东城区期末）计算： （1）（﹣）+（）； （2）． 37．（2023春•丰台区期末）计算：3+﹣×． 38．（2023春•朝阳区期末）计算：． 39．（2023春•大兴区期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当a＞0、b＞0时，与a+b的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当a＞0，b＞0时， 特例1：若a+b＝2，则； 特例2：若a+b＝3，则； 特例3：若a+b＝6，则． ②观察、归纳，得出猜想：当a＞0，b＞0时，． ③证明猜想： 当a＞0，b＞0时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当a＝b时，2． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： （1）当x＞0时，x+的最小值为 　 　 （2）当x＜0时，﹣x﹣的最小值为 　 　； （3）当x＜0时，求的最大值． 40．（2023春•北京期末）计算：（． 41．（2023春•怀柔区期末）计算： （1）； （2）． 一十三．二次根式的化简求值（共4小题） 42．（2023春•丰台区期末）若x＝，y＝，求x2+xy的值． 43．（2023春•朝阳区期末）已知，，求a2﹣b2的值． 44．（2023春•北京期末）已知，求代数式a2﹣2a的值． 45．（2023春•密云区期末）已知，求代数式x2﹣2x+4的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023.7北京市八年级下期末数学分类——二次根式 参考答案与试题解析 一．算术平方根（共1小题） 1．（2023春•怀柔区期末）计算：已知≈1.414，则≈　2.828　． 【分析】化简无理数，把的值代入即可得出答案． 【解答】解： ＝2 ≈2×1.414 ＝2.828． 故答案为：2.828． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握＝•（a≥0，b≥0）是解题的关键． 二．非负数的性质：算术平方根（共2小题） 2．（2023春•西城区期末）若+＝0，则a＝　1　，b＝　5　． 【分析】直接利用非负数的性质得出答案． 【解答】解：∵+＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣5＝0， ∴a＝1，b＝5． 故答案为：1，5． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 3．（2023春•密云区期末）若实数x，y满足，则xy的值为　2　． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则xy＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 三．实数大小比较（共1小题） 4．（2023春•海淀区期末）实数a与b满足． （1）写出a与b的取值范围； （2）已知是有理数． ①当a是正整数时，求b的值； ②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和11个位置的数． 【分析】（1）要使二次根式有意义，被开方数须不小于0，由此得出a与b的取值范围； （2）①当a是正整数时，a只能是4、3、2、1，从中选出符合条件的b的值即可； ②若a是整数，且b是有理数，则b必是的整数倍．可设b＝（m﹣1）（m＝1，2，3…），整理为a＝﹣3（m﹣1）2+4，分别计算当m＝3和m＝11时a的值即可． 【解答】解：（1）要使在实数范围有意义，须有4﹣a≥0， ∴a≤4， ∴b≥0． （2）①∵a是正整数， ∴a只能是4、3、2、1． 又∵是有理数， ∴a只能是4或1． 当a＝4时，b＝0，＝0； 当a＝1时，b＝，＝． ∴b＝0或b＝． ②∵a是整数，且b是有理数， ∴b是的整数倍． ∵符合条件的a的第一值为a＝4，b＝0， ∴设b＝（m﹣1）（m＝1，2，3…）， ∴＝（m﹣1），两边同时平方并整理得，a＝﹣3（m﹣1）2+4． ∴当m＝3时，a＝﹣8，b＝2，b＝×2＝6是有理数； 当m＝11时，a＝﹣296，b＝10，b＝×10＝30是有理数． ∴当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，排在第3个位置和11个位置的数分别是﹣8和﹣296． 【点评】本题考查实数及其大小比较，比较简单，但该部分内容非常重要，是中学数学的基础，一定要牢牢掌握． 四．平方差公式（共1小题） 5．（2023春•大兴区期末）计算： 【分析】依据题意，根据平方差公式及实数的性质进行运算即可得解． 【解答】解：由题意得， 原式＝ ＝． 【点评】本题考查了实数的性质，解题时需要熟练掌握并准确计算． 五．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 6．（2023春•东城区期末）已知，求代数式（x﹣1）2﹣2x+5的值． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣1）2﹣2x+5 ＝x2﹣2x+1﹣2x+5 ＝x2﹣4x+6 ＝x2﹣4x+4+2 ＝（x﹣2）2+2， 当x＝2+时，原式＝（2+﹣2）2+2＝3+2＝5， ∴代数式（x﹣1）2﹣2x+5的值为5． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 六．二次根式有意义的条件（共6小题） 7．（2023春•海淀区期末）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x≥0 D．x≤0 【分析】根据二次根式有意义的条件，求解即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x≥0． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数． 8．（2023春•西城区期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥2　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数． 9．（2023春•东城区期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥1　． 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可． 10．（2023春•丰台区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 11．（2023春•朝阳区期末）若二次根式有意义，则a的取值范围是 　a≥3　． 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得a﹣3≥0，即可求解． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴a﹣3≥0， 解得a≥3， 故答案为：a≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12．（2023春•北京期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥5　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0， 故实数x的取值范围是：x≥5． 故答案为：x≥5． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键． 七．二次根式的性质与化简（共5小题） 13．（2023春•海淀区期末）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据基二次根式的性质一一排除即可得出结论． 【解答】解：∵＝2， ∴A不符合题意． ∵， ∴B不符合题意． ∵＝﹣3， ∴C不符合题意． ∵， ∴D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，其中熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 14．（2023春•朝阳区期末）化简的正确结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．25 【分析】先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答． 【解答】解：原式＝＝5； 故选：A． 【点评】本题主要考查了根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a． 15．（2023春•大兴区期末）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C．﹣ D． 【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵＝|﹣2|＝2， ∴A选项的计算不正确，不符合题意； ∵＝7， ∴B选项计算不正确，不符合题意； ∵﹣＝﹣5， ∴C选项计算正确，符合题意； ∵﹣＝﹣3， ∴D选项的计算不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 16．（2023春•北京期末）计算的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 【分析】直接根据＝|a|化简即可． 【解答】解：＝|3|＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|． 17．（2023春•密云区期末）＝　2　． 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：＝＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 八．最简二次根式（共5小题） 18．（2023春•西城区期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【解答】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 19．（2023春•东城区期末）下列四个式子中，最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、＝2，故A不符合题意； B、＝2，故B不符合题意； C、＝，故C不符合题意； D、是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 20．（2023春•大兴区期末）下列各式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、是最简二根式，故A不符合题意； B、＝2，故B符合题意； C、是最简二根式，故C不符合题意； D、是最简二根式，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 21．（2023春•密云区期末）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】若一个二次根式中，被开方数中不含分母并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：＝×＝3， 则A不符合题意； 是最简二次根式， 则B符合题意； ＝， 则C不符合题意； ＝＝， 则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 22．（2023春•怀柔区期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可得出答案． 【解答】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 九．二次根式的乘除法（共5小题） 23．（2023春•东城区期末）下列各式中，计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵＝|﹣1|＝1， ∴A选项的计算不正确，不符合题意； ∵＝3， ∴B选项的计算正确，符合题意； ∵＝2， ∴C选项的计算不正确，不符合题意； ∵＝2， ∴D选项的计算不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 24．（2023春•丰台区期末）计算：＝　　． 【分析】根据二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）进行计算即可． 【解答】解：＝＝， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握计算法则． 25．（2023春•朝阳区期末）计算：＝　　． 【分析】根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 26．（2023春•北京期末）计算：． 【分析】根据二次根式乘除法法则进行计算即可得出结论． 【解答】解： ＝ ＝ ＝10． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，其中熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 27．（2023春•密云区期末）计算：2． 【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解答】解：原式＝2×× ＝×× ＝6． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 一十．分母有理化（共2小题） 28．（2023春•丰台区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案． 【解答】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意； B．不是最简二次根式，故此选项不合题意； C．不是最简二次根式，故此选项不合题意； D．不是最简二次根式，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键． 29．（2023春•密云区期末）阅读材料，并回答问题：小君在学习二次根式时，化简的过程如下： 解： ＝…第①步； ＝…第②步； ＝…第③步； ＝…第④步． （1）上述解答过程中，从第 　②　步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【分析】（1）利用分母有理化进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用分母有理化进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）上述解答过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）正确的解答过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一十一．同类二次根式（共1小题） 30．（2023春•东城区期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 　﹣1　． 【分析】利用同类二次根式的意义得到关于m的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴4﹣2m＝6， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的意义，熟练掌握上述定义是解题的关键． 一十二．二次根式的混合运算（共11小题） 31．（2023春•西城区期末）下列计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、＝3，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、＝×＝2×3，故C符合题意； D、÷2＝2÷2＝，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 32．（2023春•北京期末）下列计算正确的是（　　） A．+＝ B．﹣2＝ C．×＝4 D．÷＝4 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、+＝+2＝3，故A不符合题意； B、2与﹣2不能合并，故B不符合题意； C、×＝＝4，故C符合题意； D、÷＝＝2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 33．（2023春•密云区期末）计算（+）（﹣）的结果为　﹣1　． 【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可． 【解答】解：（+）（﹣） ＝ ＝2﹣3 ＝﹣1 ∴（+）（﹣）的结果为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”． （2）此题还考查了平方差公式的应用：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，要熟练掌握． 34．（2023春•西城区期末）计算： （1）； （2）（）（）﹣． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可； （2）先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可． 【解答】解：（1）×+ ＝+3 ＝4+3 ＝7； （2）（）（）﹣ ＝（）2﹣（）2﹣5 ＝6﹣2﹣5 ＝﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 35．（2023春•海淀区期末）计算：（1）． （2）． 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答． 【解答】解：（1） ＝2﹣2+3 ＝3； （2） ＝﹣ ＝4﹣2 ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 36．（2023春•东城区期末）计算： （1）（﹣）+（）； （2）． 【分析】（1）先本每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（﹣）+（） ＝2﹣+﹣ ＝+； （2） ＝[（2）2﹣42]÷2 ＝（20﹣16）÷2 ＝4÷2 ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 37．（2023春•丰台区期末）计算：3+﹣×． 【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【解答】解：原式＝+3﹣×× ＝+3﹣2 ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键． 38．（2023春•朝阳区期末）计算：． 【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解： ＝×+×﹣2 ＝+﹣2 ＝6+4﹣2 ＝6+2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 39．（2023春•大兴区期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当a＞0、b＞0时，与a+b的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当a＞0，b＞0时， 特例1：若a+b＝2，则； 特例2：若a+b＝3，则； 特例3：若a+b＝6，则． ②观察、归纳，得出猜想：当a＞0，b＞0时，． ③证明猜想： 当a＞0，b＞0时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当a＝b时，2． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： （1）当x＞0时，x+的最小值为 　2　 （2）当x＜0时，﹣x﹣的最小值为 　2　； （3）当x＜0时，求的最大值． 【分析】（1）根据阅读材料直接可得x+≥2＝2； （2）根据x的取值范围，将所求的式子变形为﹣x﹣＝（﹣x）+（﹣），再结合阅读材料求解即可； （3）先变量分离已知式子，再由x的取值范围，将所求式子变形为﹣（﹣x﹣）+2，结合（2）求解即可． 【解答】解：（1）∵x＞0， ∴x+≥2＝2， ∴x+的最小值为2， 故答案为：2； （2）∵x＜0， ∴﹣x＞0， ∴﹣x﹣＝（﹣x）+（﹣）≥2＝2， ∴﹣x﹣的最小值为2， 故答案为：； （3）∵x＜0， ∴﹣x＞0， ∴ ＝x++2 ＝﹣（﹣x﹣）+2 ≤﹣2+2， ∴的最大值为2﹣2． 【点评】本题考查基本不等式，熟练掌握二次根式的性质，完全平方公式的特点，能够准确地将所求的式子变形是解题的关键． 40．（2023春•北京期末）计算：（． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（ ＝ ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 41．（2023春•怀柔区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）依据题意，根据二次根式的混合运算法则计算可以得解； （2）依据题意，根据二次根式的混合运算法则计算可以得解． 【解答】解：（1）原式＝ ＝． （2）解：原式＝ ＝． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题时要能熟练掌握并准确计算． 一十三．二次根式的化简求值（共4小题） 42．（2023春•丰台区期末）若x＝，y＝，求x2+xy的值． 【分析】先计算出x+y＝，再把x2+xy变形为x（x+y），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x＝﹣，y＝， ∴x+y＝， ∴x2+xy＝x（x+y） ＝（﹣）× ＝3﹣． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算． 43．（2023春•朝阳区期末）已知，，求a2﹣b2的值． 【分析】由a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），再将a、b的值直接代入；或者直接将a、b的值直接代入a2﹣b2中计算． 【解答】解：解法1： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b +1+﹣1）（+1﹣+1） ＝2×2＝4； 解法2： a2﹣b2＝（+1）2﹣（﹣1）2 ＝（3+）﹣（3﹣2） ＝4． 【点评】本题考查了二次根式代值计算问题，当所求代数式比较简单时，可以将代数式变形，然后代值计算，也可以直接代入计算，灵活对待． 44．（2023春•北京期末）已知，求代数式a2﹣2a的值． 【分析】将a的值代入a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1计算可得． 【解答】解：a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1， 当时， 原式＝（+1﹣1）2﹣1 ＝5﹣1 ＝4． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 45．（2023春•密云区期末）已知，求代数式x2﹣2x+4的值． 【分析】将x2﹣2x+4变形整理得（x﹣1）2+3，然后代入数值计算即可． 【解答】解：x2﹣2x+4 ＝x2﹣2x+1+3 ＝（x﹣1）2+3， 当x＝+1时， 原式＝（+1﹣1）2+3 ＝2+3 ＝5． 【点评】本题考查代数式求值及二次根式的运算，将x2﹣2x+4变形整理得（x﹣1）2+3可简化运算． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/7 17:13:20；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$