专题13考前冲刺：瓜豆原理精讲练-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题13考前冲刺：瓜豆原理精讲练（中考数学） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 瓜豆原理精讲 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 瓜豆原理是主从联动轨迹问题。从动点的会随着主动点的运动而运动。 主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的轨迹就是直线；瓜在圆周上运动，豆的轨迹就是圆。 直线两种第二类：直线旋转型 ： P在直线上运动 从动点Q轨迹为直线 与主动线夹角∠2=∠1 一定O，两动：主P从Q OP ,OQ夹角∠1为定值. 第一类：A字（位似） 主动点P在直线AB上运动 从动点Q轨迹为直线 一定O，两动：主P从Q。 主从动圆两种如图，点A为定点，∠P1OP为定值，且为定值，当点B在⊙O上运动时，点C的运动轨迹也为圆(如图所示的虚线⊙O1)． 可得： ∠P1AP＝∠O1AO，. 一定A，两动：主P从P1 OP ,OP1夹角∠P1AP为定值. 如图，点A为定点，点P在⊙O上，点M为线段AP上一点，且为定值，当点P在⊙O上运动时，点M的运动轨迹为圆(如图所示的虚线⊙M)． O’是小圆圆心， 可得：△AO’M∽△AOP 从而得出： 一定A，两动：主P从M 12 符合瓜豆原理的条件 ①一定两动；②（旋转型 ）主线、从线夹角为定角a；③主线、从线比值为定值k； 结论： 涉及的知识和方法： 主从联动，其实质就是构造旋转、位似．对于一个图形进行旋转和位似变化，其实质就是对图形中的每一个点进行旋转和位似变化． 方法： 第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。 实际会简化为三步. 相关考点： ①相似； ②三角形的两边之和大于第三边； ③点到直线之间的距离垂线段最短； ④点到圆上点共线有最值。 1.直线型多用：点到直线之间的距离垂线段最短。 2.A字型（位似）： （1）定点到主动圆圆心，按比例，得从动圆圆心，常考中点。 （2）一箭穿心得最值。或利用三边关系：和得最大，差得最小。 3.旋转型圆： （1） 相似：定点—主动圆心—主动点∽定点—从动圆心—从动点， 全等：定点—主动圆心—主动点≌定点—从动圆心—从动点. 求出长度。（特殊角，要用三角函数）。 （2）一箭穿心得最值。或利用三边关系：和得最大，差得最小。 典例分析(旋转圆)1.判断变化： 从动点由主动点 绕固定点B： 1.顺45° 2.比例：BD=BC 即作等腰直角△BCD。 2.找主动圆圆心： 由∠ACB=60° (定弦定角——隐圆） 找到：圆心E 3.同主动到从动点方法， 找到从动圆圆心 M (1)顺45° (2)比例：BD=BC 即作等腰直角三角形△BOM。 4.画出从动圆圆M。 已知AB=2，∠ACB=60°,∠DCB=90°,CD=CB,求AD的最大值。 5.一箭穿心，共线最值。 6.计算（法一） 借助：相似，三角，勾股。 本题： ∠AMB=∠ACB=60°∠BMO=45° ∠AMO=∠OAM=15°, 在ΔABM中，作BE⊥AM 分别解：RtΔABE和RtΔBEM 可得： AE=BE=，EM=， DM=BM= ∴AD最大=AM+DM=+ 法二:经典实用 由△BOC∽△BMD 可得： (本题特殊：OC=OB，MD=MB) 求出：MD= 同法一求出：AM= 在△AMD中(右图), 由三边关系可得: AM-MD≤AD≤AM+MD 典例2 直线型旋转 等边三角形ABC的边长为6，点D是AC上的动点连接BD，以BD为向上作等腰Rt△BDE,连接AE,求AE的最小值？ 1.定轨迹： 主动在线，从动在线 2.找起点（P与C重合） 3.找终点：（P与A重合） 4.可以发现： 与主动点所在直线夹角 ∠2=∠1=45° 5.根据垂线段最短，作AM⊥ED 利用Rt△AMD,D正好为AC中点.(E在∠BDA的平分线上)。 实 战 演 练 一、单选题 1．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 2．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．如图，在矩形中，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B．5 C．3 D．1 4．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）    A． B． C． D． 5．如图，正方形中，，以为圆心，长为半径画，点在上移动，连接，并将绕点逆时针旋转至，连接．在点移动的过程中，长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 7．如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ． 8．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 9．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ． 10．如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为 ． 12．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为 ． 三、解答题 13．如图所示，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长． 14．如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值． 15．如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值． 16．如图，在等边 中， ， ， ，点 从点 出发沿 方向运动，连接 ，以 为边，在 右侧按如图方式作等边 ，当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长？ 17．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点G是AB边上的一个动点，连接CG，过点G作GC的垂线交AD于点E，以GE为斜边作等腰． (1)若AG＝2，则AE＝ ． (2)在点G从点A到点B的运动过程中，△AEG的外接圈的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值． (3)连结EC、AF．当△EGC∽△GBC时，求AF长度． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13考前冲刺：瓜豆原理精讲练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 瓜豆原理精讲 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 瓜豆原理是主从联动轨迹问题。从动点的会随着主动点的运动而运动。 主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的轨迹就是直线；瓜在圆周上运动，豆的轨迹就是圆。 直线两种第二类：直线旋转型 ： P在直线上运动 从动点Q轨迹为直线 与主动线夹角∠2=∠1 一定O，两动：主P从Q OP ,OQ夹角∠1为定值. 第一类：A字（位似） 主动点P在直线AB上运动 从动点Q轨迹为直线 一定O，两动：主P从Q。 主从动圆两种如图，点A为定点，∠P1OP为定值，且为定值，当点B在⊙O上运动时，点C的运动轨迹也为圆(如图所示的虚线⊙O1)． 可得： ∠P1AP＝∠O1AO，. 一定A，两动：主P从P1 OP ,OP1夹角∠P1AP为定值. 如图，点A为定点，点P在⊙O上，点M为线段AP上一点，且为定值，当点P在⊙O上运动时，点M的运动轨迹为圆(如图所示的虚线⊙M)． O’是小圆圆心， 可得：△AO’M∽△AOP 从而得出： 一定A，两动：主P从M 12 符合瓜豆原理的条件 ①一定两动；②（旋转型 ）主线、从线夹角为定角a；③主线、从线比值为定值k； 结论： 涉及的知识和方法： 主从联动，其实质就是构造旋转、位似．对于一个图形进行旋转和位似变化，其实质就是对图形中的每一个点进行旋转和位似变化． 方法： 第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。 实际会简化为三步. 相关考点： ①相似； ②三角形的两边之和大于第三边； ③点到直线之间的距离垂线段最短； ④点到圆上点共线有最值。 1.直线型多用：点到直线之间的距离垂线段最短。 2.A字型（位似）： （1）定点到主动圆圆心，按比例，得从动圆圆心，常考中点。 （2）一箭穿心得最值。或利用三边关系：和得最大，差得最小。 3.旋转型圆： （1） 相似：定点—主动圆心—主动点∽定点—从动圆心—从动点， 全等：定点—主动圆心—主动点≌定点—从动圆心—从动点. 求出长度。（特殊角，要用三角函数）。 （2）一箭穿心得最值。或利用三边关系：和得最大，差得最小。 典例分析(旋转圆)1.判断变化： 从动点由主动点 绕固定点B： 1.顺45° 2.比例：BD=BC 即作等腰直角△BCD。 2.找主动圆圆心： 由∠ACB=60° (定弦定角——隐圆） 找到：圆心E 3.同主动到从动点方法， 找到从动圆圆心 M (1)顺45° (2)比例：BD=BC 即作等腰直角三角形△BOM。 4.画出从动圆圆M。 已知AB=2，∠ACB=60°,∠DCB=90°,CD=CB,求AD的最大值。 5.一箭穿心，共线最值。 6.计算（法一） 借助：相似，三角，勾股。 本题： ∠AMB=∠ACB=60°∠BMO=45° ∠AMO=∠OAM=15°, 在ΔABM中，作BE⊥AM 分别解：RtΔABE和RtΔBEM 可得： AE=BE=，EM=， DM=BM= ∴AD最大=AM+DM=+ 法二:经典实用 由△BOC∽△BMD 可得： (本题特殊：OC=OB，MD=MB) 求出：MD= 同法一求出：AM= 在△AMD中(右图), 由三边关系可得: AM-MD≤AD≤AM+MD 典例2 直线型旋转 等边三角形ABC的边长为6，点D是AC上的动点连接BD，以BD为向上作等腰Rt△BDE,连接AE,求AE的最小值？ 1.定轨迹： 主动在线，从动在线 2.找起点（P与C重合） 3.找终点：（P与A重合） 4.可以发现： 与主动点所在直线夹角 ∠2=∠1=45° 5.根据垂线段最短，作AM⊥ED 利用Rt△AMD,D正好为AC中点.(E在∠BDA的平分线上)。 实 战 演 练 一、单选题 1．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，作EH⊥x轴于H，连接CE． ∵∠AOD＝∠ADE＝∠EHD＝90°， ∴∠ADO+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°， ∴∠ADO＝∠DEH， ∵AD＝DE， ∴△ADO≌△DEH（AAS）， ∴OA＝DH＝OC，OD＝EH， ∴OD＝CH＝EH， ∴∠ECH＝45°， ∴点E在直线y＝x﹣3上运动，作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形， ∵OC＝3， ∴OE′＝  ， ∴OE的最小值为 ． 故选A． 3．如图，在矩形中，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B．5 C．3 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点Q在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故选A． 4．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大， ∵， 则△ABO为等腰直角三角形， ∴AB=，N为AB的中点， ∴ON=， 又∵M为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线，BC=1， 则MN=， ∴OM=ON+MN=， ∴OM的最大值为 故答案选：B．    5．如图，正方形中，，以为圆心，长为半径画，点在上移动，连接，并将绕点逆时针旋转至，连接．在点移动的过程中，长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，当在对角线CA上时，C最小， 连接CP， 由旋转得：BP=B，∠PB=90°， ∴∠PBC+∠CB=90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=BA，∠ABC=90°， ∴∠AB+∠CB=90°， ∴∠PBC=∠AB， 在△PBC和△BA中， ， ∴△PBC≌△BA， ∴A=PC=1， 在Rt△ABC中，AB=BC=4， 由勾股定理得：， ∴C=AC-A=， 即C长度的最小值为， 故选：D． 二、填空题 6．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 7．如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB， ∵， ∴， 又∵∠APB=60°， ∴△APD是等边三角形， ∵B为PD的中点， ∴AB⊥DP，即∠ABP=90°， ∴∠BAP=30°， 以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H， ∴， 同理可得， ∵∠OAM=30°=∠PAB， ∴∠BAM=∠PAO， 又∵， ∴△AMB∽△AOP， ∴， ∵点P到点O的距离为2，即OP=2， ∴， ∴点B在以M为圆心，以为半径的圆上， 连接CM交圆M（半径为）于， ∴当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值， ∵AC=2AO=8， ∴AO=4， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴BC的最小值为， 故答案为：． 8．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD， ∴BD＝2， ∴． 由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动， ∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动， CE的最大值即C到BA中点的距离加上长． ∵，，BC＝2， ∴C到BA中点的距离即， 又∵， ∴CE的最大值即． 故答案为3． 9．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接EC． ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC， ∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为， 当重合，而（即）为等边三角形， 故答案为：． 10．如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段AB上运动，点G的轨迹也是一条线段， 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH， 从而可知△EBH为等边三角形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBE=90°， ∴∠GHE=∠FBE=90°， ∴点G在垂直于HE的直线HN上， 延长HG交DC于点N， 过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值， 过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形，∠PEC=30°，∠EPC=90°， 则CM=MP+CP=HE+EC=2+=， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，则∠AED=60°， ∴ ∴． ∵△ADE和△ABP都是等边三角形， ∴AB=AP，∠BAD=∠PAE，AD=AE， ∴△AEP≌△ADB(SAS)， ∴∠AEP=∠ADB=120°， ∴∠OEF=60°． ∴OF=3，∠OFE=30°， ∴点P在直线EF上运动， 当OP⊥EF时，OP最小， ∴, 故答案为：． 12．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为 ． 【答案】 【详解】解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G， 在△ABC中，∠ACB=90º，AC=，BC=2， ∴AB=， 由旋转可知：△DCE≌△ACB， ∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠ADC=(180º-∠ACD) ，∠BEC= (180º-∠BCE)， ∴∠ADC=∠BEC， ∵∠DGC=∠EGF， ∴∠DCG=∠EFG=90º， ∴∠AFB=90º， ∵H是AB的中点， ∴FH=AB， ∵∠ACB=90º， ∴CH=AB， ∴FH=CH=AB=， 在△FCH中，FH+CH>CF， 当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值， ∴线段CF的最大值为． 如图所示，当△ABC绕点C逆时针旋转180度时，直线AD与直线BE的交点即为点C，则此时C、F重合，即此时CF=0， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．如图所示，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长． 【答案】点运动的路径长为． 【详解】解：如图所示，取的中点，的中点，的中点，连接、、、、、， 在等腰中，， ． ． 为的中点， ． ． 点在以为直径的圆上， 当点与点重合时，点与点重合：当点与点重合时，点与点重合，易得四边形为正方形，， 点运动的路径为以为直径的半圆． 点运动的路径长为． 14．如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接，， ， 由勾股定理得：， ，， ． 当最小时，最小 当运动到时，最小． 此时的最小值为． 15．如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2=CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2． ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°． ∴∠DP2P1=90°． ∴∠DP1P2=45°． ∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2， ∴BP1= ∴PB的最小值是． 故答案是：． 16．如图，在等边 中， ， ， ，点 从点 出发沿 方向运动，连接 ，以 为边，在 右侧按如图方式作等边 ，当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长？ 【答案】8 【详解】连结DE，作FH⊥BC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°， 过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2， ∴点E′与点E重合， ∴∠BDE=30°，DE=BE=2， ∵△DPF为等边三角形， ∴∠PDF=60°，DP=DF， ∴∠EDP+∠HDF=90° ∵∠HDF+∠DFH=90°， ∴∠EDP=∠DFH， 在△DPE和△FDH中， ， ∴△DPE≌△FDH， ∴FH=DE=2， ∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2， 当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC， 当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10-2=8， ∴F1F2=DQ=8， ∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8． 17．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点G是AB边上的一个动点，连接CG，过点G作GC的垂线交AD于点E，以GE为斜边作等腰． (1)若AG＝2，则AE＝ ． (2)在点G从点A到点B的运动过程中，△AEG的外接圈的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值． (3)连结EC、AF．当△EGC∽△GBC时，求AF长度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴即 解得 故答案为：． （2）解：如图1，找中点，作于 由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到AB边的距离为 ∵ ∴是的中位线 ∴ 设 ，则 由（1）可知 ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值，最大值为 ∴的最大值为 ∴圆心到AB边的距离的最大值为． （3）解：如图2，作于，于， 解：∵ ∴ 设，则， 则 由（1）可知， 则 即 ∴ ∴ 解得 即， ∵， ∴即 解得 ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴即 解得 ∴ ∴ ∴的长为． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$