北师大版期末真题精选（六大章节26题型，基础易错100题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

北师大版期末真题精选（六大章节26题型，基础易错100题）（原卷版） 目录 一、第一章，整式的乘除，7题型20题 1 二、第二章，相交线与平行线，4题型20题 5 三、第三章，变量之间的关系，3题型10题 10 四、第四章，三角形，5大题型30题 13 五、第五章，生活中的轴对称，4题型10题 21 六、第六章，概率初步，3题型10题 24 一、第一章，整式的乘除，7题型20题 1．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了14nm（纳米），已知将用科学记数法可表示 （    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·河南平顶山·期末）如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 5．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）如图，从边长为的大正方形纸片中挖去一个边长为的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ）    A． B． C． D． 6．（21-22七年级下·广西百色·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）若m，n满足，则 ． 8．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知，，则 ． 9．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则 ． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）（1）计算：； （2）计算： 11．（22-23七年级下·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中，． 12．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    13．（22-23七年级下·四川达州·期末）计算： (1) (2) 14．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）（1）计算：； （2）已知，，求． 15．（22-23七年级下·山东青岛·期末）计算： (1)利用整式乘法公式计算：； (2)先化简，再求值：，其中，． 16．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算题： (1)； (2)（用乘法公式进行计算）； (3)； (4)； (5)先化简，再求值：其中，y=1． 17．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）【知识生成】 如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】 图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形， （1）用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1：__________，方法2：__________，可得到的等量关系式是__________； （2）若，，求的值； 【知识迁移】 （3）如图⑤，正方形和正方形的边长分别为a、，若，，E是的中点，求图中阴影部分的面积和． 18．（22-23七年级下·四川成都·期末）手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形是正方形， 连接， 通过探索， 小新发现四边形也是正方形， 如图3． 设．    (1)请用含a，b的代数式表示图3中阴影部分的面积． (2)若图3 中空白部分面积为 168，， 求的长． 19．（22-23七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)运用乘法公式计算：． 20．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 二、第二章，相交线与平行线，4题型20题 21．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，直线，被直线所截，则与是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 22．（22-23七年级下·贵州安顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 23．（22-23七年级下·广西贵港·期末）下列说法中不正确的有（    ） ①经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 ②如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 ③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ④两条平行线之间的距离是它们的公垂线段 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（22-23七年级下·山东日照·期末）下列说法不正确的是（    ） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行 25．（22-23七年级下·湖北·期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话： 小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行． 小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直． 对于两个人的说法，正确的是（        ） A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对 26．（22-23七年级下·四川凉山·期末）如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 27．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 28．（21-22七年级下·北京·期末）如图，已知，请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工其画图，不写画法，只保留画图痕迹）    ①画的平分线交线段于点D； ②过点C画的平行线交射线于点E； ③过点E作的垂线段，垂足是F． 29．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案） （）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系； （）图中，，，，求的度数. 30．（22-23七年级下·河南新乡·期末）已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 31．（21-22七年级下·广西百色·期末）如图，与交于点，，，求的度数．请完成下列解答过程： 解：因为与交于点， 所以，依据是________； 因为，     所以_______，依据是________； 所以． 32．（22-23七年级下·四川成都·期末）为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．当等于多少度时，与平行？ 33．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图 ，，，， 将求 的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴（_______________________ ）， ∵， ∴（等量代换）， ∴_______ （_______________________）， ∴_______ （______________________）， ∵， ∴_________． 34．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，若，，请说出和之间的数量关系，请通过填空完善下列推理过程． 解：． 理由如下： ∵（已知） ∴_____（____________） ∵（已知） ∴____（_______） ∴（等量代换） 35．（22-23七年级下·四川泸州·期末）如图直线，，，求的度数． 36．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，点是内部一点，交于点．    (1)尺规作图（不写作法）：作出射线，使得，交于点； (2)请你确定与的数量关系，并说明理由． 37．（22-23七年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    已知：，线段． 求作：，使． 38．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知． (1)尺规作图：在线段的下方，以点D为顶点，作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请说明； (3)若，平分，求的度数． 39．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，交于点，      (1)尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 40．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）（1）知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点P画已知直线b的平行线a．下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线a；④用三角尺的一边贴住直线b；正确的操作顺序是：_________________________(填序号)； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a，使a经过点P且．(保留作图痕迹，不写画法)    三、第三章，变量之间的关系，3题型10题 41．（21-22七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是 ，因变量是 42．（21-22七年级下·陕西西安·期末）某水果店每天售出某种水果的数量（单位：千克）与该水果的售价（单位：元/千克）之间的关系如下表所示，由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出 千克． 售价（元/千克） 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 … 数量（千克） 20 19 18 17 16 15 … 43．（22-23七年级下·四川成都·期末）一个长方形的周长为，其中它的长为自变量，宽为因变量，则与之间的关系式为 ． 44．（22-23七年级下·四川达州·期末）某人购进一批苹果，到市场零售，已知卖出苹果数量千克与售价元的关系如下表： 数量千克 2 3 4 5 售价元 用x表示y的关系式可表示为 ． 45．（22-23七年级下·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 546    (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围） 46．（22-23七年级下·四川达州·期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息：    (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)朱老师的速度为______秒；小明的速度为______米/秒； (3)求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围． 47．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，请解答下列问题： (1)小明步行的速度是_______，爸爸的速度是 ．a的值为 ； (2)当小明与爸爸相距时，求小明出发后的时间． 48．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像．    (1)通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ (2)如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 49．（22-23七年级下·云南文山·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题：    (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)小明从家到学校的路程共多少米？ (3)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ (4)小明修车用了多长时间？ (5)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 50．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 四、第四章，三角形，5大题型30题 51．（22-23七年级下·四川资阳·期末）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 52．（22-23七年级下·吉林长春·期末）现有长度分别为10cm和20cm的两根小棒，王红要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则她所选择的小棒是（    ） A．5cm B．25cm C．35cm D．40cm 53．（22-23七年级下·四川达州·期末）若有四根木棒，长度分别为，，，（单位：），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 54．（22-23七年级下·河南南阳·期末）已知原图形如图，则下面四个图形中与原图形不是全等图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   55．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   56．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 57．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图， 在和中，，， 请问添加下面哪个条件不能判断的是（  ）    A． B． C． D． 58．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 59．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在和中，，，若证，还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（   ） A． B． C． D． 60．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．5 61．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点M在上，且，点M到射线的距离为a，点P在射线上，，若的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 62．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，已知，点B为上一点，用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点F；以点F为圆心，以为半径作弧，交前面的弧于点G；连接并延长交于点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 63．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图，，若，则的长度为（  ）    A．12 B．10 C．8 D．4 64．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，是的中线，，，若的周长为18，则周长为 ． 65．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为 ． 66．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，四边形四边形，若，，，则 °．    67．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 68．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是 ． 69．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点E在上，与相交于点F，，，则的度数为 度．    70．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知的周长为，则 ． 71．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 72．（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 73．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，，点、、、在同一直线上，有如下三个关系式：①：②；③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③并证明．    74．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，已知点，都在线段上，，，．    (1)求证：； (2)求证：(本题每一行都要写明依据 75．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 76．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，的两条高与交于点，，． (1)求的长； (2)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 77．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如阔，已知，，，，求的度数和的长．    78．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 79．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，．连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．    (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？ (2)请说明你认为方案可行的理由： 以上的生活情景化归到数学上：根据题意，此时， 已知条件是：______________________；有待说明的是：______________________； 请介绍你每一步的思考及相应的道理： (3)请将不可行的方案稍加修改使之可行． 你的修改是： 80．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在边上，与相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 五、第五章，生活中的轴对称，4题型10题 81．（22-23七年级下·四川成都·期末）甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 82．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）下列图形为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 83．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下列图形：直角三角形、等边三角形、长方形、圆，其中轴对称图形有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 84．（22-23七年级下·四川成都·期末）将一个长方形纸条折成如图的形状， 已知，则为（  ）    A．66° B．70° C．76° D．80° 85．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，将对边平行的纸条两次对折．已知，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 86．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，位置，恰好在上，若，则等于 °． 87．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    88．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于 ．    89．（22-23七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，．求作：求作一点，使在上，且．    90．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在上找一点，使，再在上找一点，使； (2)作关于AC的对称点，连接． 六、第六章，概率初步，3题型10题 91．（22-23七年级下·四川成都·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视机，它正在播放动画片 B．任意投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数 C．早上的太阳从西方升起 D．将油滴滴入水中，油会浮出水面上 92．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，搅匀后任意摸出一个球，下列说法正确的是（　　） A．摸出5号球的可能性最大 B．摸出奇数号球和偶数球的可能性相同 C．摸出1号球的可能性最小 D．摸出每个号码的小球的可能性相同 93．（22-23七年级下·山西运城·期末）下列说法正确的是（    ） A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 B．从、、、、中随机抽取一个数，抽出奇数的可能性较大 C．某彩票的中奖率为，说明买张彩票，有张获奖 D．打开电视，中央一台一定在播放新闻联播 94．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）数学课上老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ）    A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”． B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花． C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球． D．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面． 95．（22-23七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 96．（22-23七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出a个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出a的值． 97．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数字，，，；另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的个扇形区域，分别标有数字，，如图所示． (1)从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于的概率是______ ； (2)小明和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加比赛，游戏规则为：小明从口袋中摸出一个小球，小东转动圆盘，如果所摸球上的数字小于，那么小明去；圆盘上转出数字小于，则让小东去，你认为游戏公平吗？请说明理由． 98．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率； (3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 99．（21-22七年级下·江西九江·期末）有7张纸签，分别标有数字1，1，2，2，3，4，5，从中随机抽出一张，求： (1)抽出标有数字3的纸签的概率； (2)抽出标有数字1的纸签的概率； (3)抽出标有奇数数字的纸签的概率． 100．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版期末真题精选（六大章节26题型，基础易错100题）（解析版） 目录 一、第一章，整式的乘除，7题型20题 1 二、第二章，相交线与平行线，4题型20题 14 三、第三章，变量之间的关系，3题型10题 30 四、第四章，三角形，5大题型30题 38 五、第五章，生活中的轴对称，4题型10题 62 六、第六章，概率初步，3题型10题 69 一、第一章，整式的乘除，7题型20题 1．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算可得，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了14nm（纳米），已知将用科学记数法可表示 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意， 将用科学记数法可表示 故选：B 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项等知识点，能熟记运算法则解题的关键．先根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项对各选项逐一计算，再得出选项即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 4．（22-23七年级下·河南平顶山·期末）如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】设，，根据题意，结合题意计算即可． 【详解】设，， 根据题意， ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 5．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）如图，从边长为的大正方形纸片中挖去一个边长为的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果． 【详解】解：∵图形中阴影部分的面积可表示为或， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系式推导出乘法公式． 6．（21-22七年级下·广西百色·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，根据积的乘方可以判断A；根据单项式乘多项式可以判断B；根据同底数幂的除法可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）若m，n满足，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了整体带入的数学思想，还考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键．先求出，再化简，最后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ． 8．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知，，则 ． 【答案】65 【分析】 本题考查平方差公式计算．根据题意可知，代入已知数值即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：65． 9．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，乘方，再算加减即可； （2）先算单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，再算整式的除法，最后合并同类项即可． 本题主要考查实数的运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：（1） ； （2） ． 11．（22-23七年级下·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的乘除运算及求代数式的值；分别进行多项式除以单项式、平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，， 原式 ． 12．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    【答案】，个 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，利用圆柱体的容积等于底面积乘以高，以及杯子的数量等于瓶子的容积除以杯子的容积，列出代数式，再将，代入，求值即可．掌握的列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 当，时， 原式 个． 13．（22-23七年级下·四川达州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘除加减法则计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）（1）计算：； （2）已知，，求． 【答案】（1）9；（2） 【分析】 本题主要考查了零指数和含乘方的有理数混合计算，完全平方公式和平方差公式： （1）直接利用整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，进而得出答案； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算出A和B，代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，， ∴ ． 15．（22-23七年级下·山东青岛·期末）计算： (1)利用整式乘法公式计算：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)9991 (2)， 【分析】本题主要考查整式的运算： （1）原式先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可； （2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，合并后把a，b的值代入计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； 当 ，时，原式． 16．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算题： (1)； (2)（用乘法公式进行计算）； (3)； (4)； (5)先化简，再求值：其中，y=1． 【答案】(1)0.125； (2)1； (3)； (4)； (5)，． 【分析】（1） 将原式变形为 ，再逆用积的乘方变形计算可得； （2） 原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值； （3） 原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果； （4）原式利用平方差公式， 以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果； （5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ， 当时， 原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 17．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）【知识生成】 如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】 图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形， （1）用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1：__________，方法2：__________，可得到的等量关系式是__________； （2）若，，求的值； 【知识迁移】 （3）如图⑤，正方形和正方形的边长分别为a、，若，，E是的中点，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）；；；（2）37；（3）11 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去小长方形的面积，阴影部分面积面积等于长为，宽为的长方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； （2）根据完全平方公式变形求值即可求解； （3）根据阴影部分面积和，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1：，方法2：， 可得到的等量关系式是； （2），， ； （3）阴影部分的面积和 ． ，， ， 阴影部分的面积和． 18．（22-23七年级下·四川成都·期末）手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形是正方形， 连接， 通过探索， 小新发现四边形也是正方形， 如图3． 设．    (1)请用含a，b的代数式表示图3中阴影部分的面积． (2)若图3 中空白部分面积为 168，， 求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，正方形的性质． （1）根据阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积即可； （2）由空白部分面积，得到，根据，利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积， ； （2）解：∵空白部分面积为168， ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 19．（22-23七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)运用乘法公式计算：． 【答案】(1)9 (2)250000 【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方以及零指数幂的计算方法进行计算即可； （2）利用平方差公式将原式化为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查负整数指数幂，有理数的乘方、零指数幂以及平方差公式，掌握负整数指数幂，有理数的乘方、零指数幂的计算方法，平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 20．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案； ②先用平方差公式，再约分即可． 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为 ∴可以验证的等式是： 故答案为：B； （2）解：①∵， ∴， 即， ∴； ② 二、第二章，相交线与平行线，4题型20题 21．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，直线，被直线所截，则与是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 【答案】D 【分析】此题考查了“三线八角”模型，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．根据“三线八角”模型，求解即可． 【详解】解：由“三线八角”模型可得，与是内错角， 故选：D 22．（22-23七年级下·贵州安顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义、平行公理、垂直性质、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故此选项说法错误，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项说法错误，不符合题意； C、有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项说法正确，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故此选项说法错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角的定义、平行公理、垂直性质、点到直线的距离的定义，熟练掌握相关知识是解答的关键． 23．（22-23七年级下·广西贵港·期末）下列说法中不正确的有（    ） ①经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 ②如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 ③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ④两条平行线之间的距离是它们的公垂线段 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据垂线的性质，平行线的性质，平行公理，两条平行线间的距离的定义分析即可． 【详解】①经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ②如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故不正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确； ④两条平行线间的距离是指从一条直线上的一点到另一条直线的垂线段的长度，故不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了垂线的性质，平行线的性质，平行公理，两条平行线间的距离的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 24．（22-23七年级下·山东日照·期末）下列说法不正确的是（    ） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行 【答案】A 【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【详解】解：A、若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，因此原说法错误，符合题意； B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确，不符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意； D、在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行，说法正确，不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题主要考查垂线段最短，平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 25．（22-23七年级下·湖北·期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话： 小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行． 小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直． 对于两个人的说法，正确的是（        ） A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对 【答案】B 【分析】根据平行公理，垂线的基本性质进行判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴小明错，小刚对， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键． 26．（22-23七年级下·四川凉山·期末）如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选B． 27．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，而，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 28．（21-22七年级下·北京·期末）如图，已知，请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工其画图，不写画法，只保留画图痕迹）    ①画的平分线交线段于点D； ②过点C画的平行线交射线于点E； ③过点E作的垂线段，垂足是F． 【答案】见解析 【分析】①根据角平分线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可；③根据垂线段的定义画出图形即可． 【详解】如图所示：    ①射线即为所求； ②直线即为所求； ③线段即为所求． 【点睛】本题考查了简单作图，掌握角平分线、垂线和平行线的定义是解题的关键． 29．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案） （）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系； （）图中，，，，求的度数. 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）由平行公理的推论可得，进而得到，，即可求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，正确作出辅助线及掌握平行公理的推论是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）)如图，过点向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （）如图，过点向右作 ∵， ∴， ∴，， ∴． 30．（22-23七年级下·河南新乡·期末）已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，设交于点，则，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）或． 如图2，交于点，当点在上方时，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图3，延长交于点，当点在下方时，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 31．（21-22七年级下·广西百色·期末）如图，与交于点，，，求的度数．请完成下列解答过程： 解：因为与交于点， 所以，依据是________； 因为，     所以_______，依据是________； 所以． 【答案】对顶角相等；；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质， 由对顶角的性质得到，由平行线的性质得到，即可求出的度数．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等． 【详解】解：因为与交于点， 所以，依据是对顶角相等， 因为， 所以，依据是两直线平行，同旁内角互补， 所以． 故答案为：对顶角相等；；两直线平行，同旁内角互补． 32．（22-23七年级下·四川成都·期末）为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．当等于多少度时，与平行？ 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解∶∵， ∴即 ∵， ∴ ∴当时，． 33．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图 ，，，， 将求 的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴（_______________________ ）， ∵， ∴（等量代换）， ∴_______ （_______________________）， ∴_______ （______________________）， ∵， ∴_________． 【答案】两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补， 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 故答案为：两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，． 34．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，若，，请说出和之间的数量关系，请通过填空完善下列推理过程． 解：． 理由如下： ∵（已知） ∴_____（____________） ∵（已知） ∴____（_______） ∴（等量代换） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键；根据题干信息的提示逐步完善推理过程，填写推理依据即可． 【详解】解：． 理由如下： ∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等量代换） 35．（22-23七年级下·四川泸州·期末）如图直线，，，求的度数． 【答案】 【分析】作，由平行线的性质可得，根据平行公理推论，可得， 由平行线的性质可得，代入数值，即可求解，本题考查了平行公理推论，平行线的性质，解题的关键是：根据平行公理推论，作出辅助线． 【详解】 解：过点在的内部作， （两直线平行，同位角相等）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：． 36．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，点是内部一点，交于点．    (1)尺规作图（不写作法）：作出射线，使得，交于点； (2)请你确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与相等．见解析 【分析】（1）作即可； （2）利用平行线的性质得到，，然后利用等量代换得到． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作；   ； （2）解：与相等． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，与相等． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． 37．（22-23七年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    已知：，线段． 求作：，使． 【答案】见解析 【分析】根据题意题目要求进行作图即可． 【详解】解：①画出射线， ②以点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于点E和点F；以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交以点B为圆心画的弧于点； ④画出射线，则； ⑤以点B为圆心，b为半径画弧，交射线于点A；以点B为圆心，a为半径画弧，交射线于点P；以点P为圆心，a为半径，交射线于点C， ⑥连接，即为所求．    【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，作线段，解题的关键是熟练掌握相关作图方法． 38．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知． (1)尺规作图：在线段的下方，以点D为顶点，作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请说明； (3)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）用尺规作图作一个角等于已知角即可； （2）先找到角相等，最后通过判定方法证明平行即可； （3）根据角平分定义得出角相等，再利用两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】（1）解：作，如图，以B为圆心，任意半径画弧交于N，交于M，以D为圆心画弧，交于G，以G为圆心，长为半径画弧，与以D为圆心画的弧交于H，连接并延长，与的交点为F．即为所求．    （2）证明： （已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行） （3）解：，（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， （已知） ∴（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质和判定，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用． 39．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，交于点，      (1)尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，作角相等即可得解； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，交于点，即为所求，      （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图之作一个角等于已知角、平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 40．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）（1）知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点P画已知直线b的平行线a．下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线a；④用三角尺的一边贴住直线b；正确的操作顺序是：_________________________(填序号)； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a，使a经过点P且．(保留作图痕迹，不写画法)    【答案】（1）④②①③；（2）见解析 【分析】（1）根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； （2）根据同位角相等，两直线平行，作图即可． 【详解】解：（1）正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线b； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线a； 故答案为：④②①③； （2）如图，直线a即为所求；    【点睛】本题考查作图复杂作图、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 三、第三章，变量之间的关系，3题型10题 41．（21-22七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是 ，因变量是 【答案】 烧水时间 水的温度 【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可． 【详解】解：∵电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化， ∴自变量为烧水时间，因变量为水的温度， 故答案为：烧水时间，水的温度． 42．（21-22七年级下·陕西西安·期末）某水果店每天售出某种水果的数量（单位：千克）与该水果的售价（单位：元/千克）之间的关系如下表所示，由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出 千克． 售价（元/千克） 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 … 数量（千克） 20 19 18 17 16 15 … 【答案】13 【分析】根据表格中的数据可知：售价每增加元/千克，数量就减少1千克，据此列式解答即可． 【详解】解：由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出（千克）； 故答案为：13． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，得出售价每增加元/千克，数量就减少1千克是解题的关键． 43．（22-23七年级下·四川成都·期末）一个长方形的周长为，其中它的长为自变量，宽为因变量，则与之间的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查列关系式，根据长方形的周长为14列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可． 【详解】解：∵长方形的周长为，长为，宽为， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（22-23七年级下·四川达州·期末）某人购进一批苹果，到市场零售，已知卖出苹果数量千克与售价元的关系如下表： 数量千克 2 3 4 5 售价元 用x表示y的关系式可表示为 ． 【答案】 【分析】根据表格得：售价与数量成正比，求出单价即可得到关系式． 【详解】解：根据表格得：售价与数量成正比， 元， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，函数的表示方法，根据表格得到售价与数量成正比是解题的关键． 45．（22-23七年级下·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 546    (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围） 【答案】(1)放水时间，游泳池的存水； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识； （1）根据题中表格即可完成； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水； （2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390 （3）解：与的函数关系式为． 46．（22-23七年级下·四川达州·期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息：    (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)朱老师的速度为______秒；小明的速度为______米/秒； (3)求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)小明出发的时间t；距起点的距离s (2)2；6 (3) 【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量； （2）根据速度＝路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度； （3）设小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可得出函数关系式，再令求出t的值，从而找出取值范围，此题得解． 【详解】（1）解：观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s． 故答案为：小明出发的时间t；距起点的距离s． （2）解：朱老师的速度为：（米/秒）； 小明的速度为：（米/秒）． 故答案为：2；6． （3）解：设小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为， 将代入中 ，解得：， ∴小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为， 当时，有， 解得：， ∴小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 47．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，请解答下列问题： (1)小明步行的速度是_______，爸爸的速度是 ．a的值为 ； (2)当小明与爸爸相距时，求小明出发后的时间． 【答案】(1)90，180，12； (2)或或 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值； （2）根据题意可知：分三种情况，然后分别计算出相应的时间即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小明的速度为：， 爸爸的速度为：， ， 故答案为：90，180，12； （2）解：当小明与爸爸相距时，设小明出发后的时间为， 爸爸出发前：， 解得； 爸爸出发后与小明相遇之前：， 解得； 小明与爸爸相遇之后：， 解得； 答：当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． 【点睛】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键． 48．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像．    (1)通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ (2)如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 【答案】(1)通话1分钟，要付电话费元；通话5分钟，要付电话费元 (2)通话4分钟的电话费是元 【分析】（1）观察图像，可得答案； （2）把代入关系式，即可解答． 【详解】（1）解：观察图像，可知当时，；当时，， 通话1分钟，要付电话费元，通话5分钟要付元； （2）解：当时， ， 通话4分钟的电话费是元． 【点睛】本题考查了从图像中获取信息，求因变量的值，仔细观察得到所要的数据是解题的关键． 49．（22-23七年级下·云南文山·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题：    (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)小明从家到学校的路程共多少米？ (3)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ (4)小明修车用了多长时间？ (5)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)自变量是离家时间，因变量是离家的距离 (2)小明从家到学校的路程共2000米 (3)共用了20分钟 (4)小明修车用了5分钟 (5)修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟 【分析】（1）所给图象中横轴为自变量，纵轴为因变量； （2）根据图象中的数据可直接得出答案； （3）根据图象中的数据可直接得出答案； （4）s保持不变的那一段对应的时间即为修车时间； （5）根据速度等于路程除以时间求解． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）解：由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米； （3）解：由图象可得：从家出发到学校，小明共用了20分钟； （4）解：由函数图象可得：小明修车用了：（分钟）． 即小明修车用了5分钟； （5）解：由图象可得，小明修车前的速度为：（米/分钟）； 小明修车后的速度为：（米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． 50．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 【答案】(1)6，2 (2)小明和妈妈相遇时距起点的距离 (3)小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米 【分析】（1）小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可； （2）两图象的交点处表示两人相遇．因此，表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离； （3）两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且、时，分别讨论计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米， 小明前70秒的速度是（米秒）． 妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米， 妈妈的速度是（米秒）． 故答案为：6，2． （2）解：两图象的交点处表示两人相遇， 表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离． 故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离． （3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． 当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． ①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得 ，解得； ②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得 ，解得． ③当时，两人第三次相距60米时，得 ，解得． 综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米． 【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键． 四、第四章，三角形，5大题型30题 51．（22-23七年级下·四川资阳·期末）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质．利用平行线的性质求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 52．（22-23七年级下·吉林长春·期末）现有长度分别为10cm和20cm的两根小棒，王红要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则她所选择的小棒是（    ） A．5cm B．25cm C．35cm D．40cm 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 【详解】解：∵两根小棒的长度为10cm和20cm，根据三角形的三边关系得： 第三边， 即：第三边，只有25cm适合． 故选：B． 53．（22-23七年级下·四川达州·期末）若有四根木棒，长度分别为，，，（单位：），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和，根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐一判断即可． 【详解】解：A、由，故，，三根木棒能围成三角形，不符合题意； B、由，故，，三根木棒能围成三角形，不符合题意； C、由，故，，三根木棒能围成三角形，不符合题意； D、由，故、、三根木棒不能围成三角形，符合题意． 故选：D． 54．（22-23七年级下·河南南阳·期末）已知原图形如图，则下面四个图形中与原图形不是全等图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：A、B、C图形与原图形能够完全重合， D图形不能与原图形完全重合，故不是全等图形， 故选D． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 55．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 56．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到，即可证明，可得，，根据，即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 57．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图， 在和中，，， 请问添加下面哪个条件不能判断的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵当时，根据ASA即可判定； ∵当时，根据AAS即可判定； ∵当时，无法判定； ∵当时，根据SAS即可判定； 故选：C． 58．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 59．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在和中，，，若证，还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】在和中，，， A．补选，符合，A正确，不符合题意； B．补选，符合，B正确，不符合题意； C．补选，则有，不能证明三角形全等，故本项错误，符合题意； D．补选，符合，D正确，不符合题意． 故选：C． 60．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 故选：C． 61．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点M在上，且，点M到射线的距离为a，点P在射线上，，若的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论，结合图形，即可得到答案． 【详解】解：当时，，是直角三角形，的形状、大小是唯一确定的； 当时，如图，有两种情况； 当时，的形状、大小是唯一确定的． ∴或． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，运用分类讨论的思想求解是解题的关键． 62．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，已知，点B为上一点，用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点F；以点F为圆心，以为半径作弧，交前面的弧于点G；连接并延长交于点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图求得，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题． 【详解】解：连接，，    根据题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形性质和三角形的外角的性质等，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质． 63．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图，，若，则的长度为（  ）    A．12 B．10 C．8 D．4 【答案】D 【分析】由全等的性质可得，，则由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】∵， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握对应边相等的性质是关键． 64．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，是的中线，，，若的周长为18，则周长为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的长度的差是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为18，比长2， ∴周长为：． 故答案为：20 65．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握利用三角形的中线求面积的方法是解题的关键．利用三角形的中线将三角形的面积平分，分别求出，，，，的面积，即可求得答案． 【详解】如图，连结， 点D是的中点， ， 点E是的中点， ，， ， 点F是的中点， ． 故答案为：． 66．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，四边形四边形，若，，，则 °．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得，进一步可得的度数. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键. 67．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 【答案】6 【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 证明≌，推出与面积相等，可得结论． 【详解】解：在等腰三角形中，，， 与等高，底边比值为， 与的面积比为． 的面积为， 与的面积分别为和， ， ． ，，， ， ． 在和中， ， ， 与面积相等， 与的面积之和为的面积， 与的面积之和为． 故答案为：． 68．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是 ． 【答案】全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据作图，利用即可得到三角形全等即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴； 故答案为：全等三角形的对应角相等． 69．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点E在上，与相交于点F，，，则的度数为 度．    【答案】70 【分析】由全等三角形的性质得到，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， ． ​故答案为：70． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 70．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知的周长为，则 ． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算． 【详解】解：， ， 由题意得，， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 71．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）解：， ∴, ， ∴，则， ∵， ． 72．（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先证明，然后结合已知条件即可证明； （2）根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）证明：，理由如下， ∵， ∴， ∴． 73．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，，点、、、在同一直线上，有如下三个关系式：①：②；③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③并证明．    【答案】如果①，③，那么②；证明见解析．（或如果②，③，那么①；证明见解析） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法．对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到，因为，，利用判定，得到，即得到；对于如果②，③，那么①，先根据平行线的性质证明，再根据证明，根据判定，得出即可． 【详解】解：如果①，③，那么②，证明如下： ， ， 在与中， ， ， ， ， 即． 如果②，③，那么①，证明如下： ， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ． 74．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，已知点，都在线段上，，，．    (1)求证：； (2)求证：(本题每一行都要写明依据 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质，则，再根据，则，等量代换，最后根据全等三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的性质得出对应角相等，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等式性质）， ∴， 在和中， ， ∴． （2）∵（已知）， ∴（全等三角形对应角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 75．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）可证明≌，从而得出结果； （2）可证明≌从而得出，进而得出结论； （3）证明≌，从而得出，从而得出． 【详解】（1）∵，， ∴≌， ∴， 故答案为：＝； （2），理由如下： ∵，， ∴≌， ∴. ∵， ∴； （3），理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴≌， ∴， ∴． 76．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，的两条高与交于点，，． (1)求的长； (2)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【答案】(1)6； (2)或2． 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解： ，， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．    ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 77．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如阔，已知，，，，求的度数和的长．    【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的对应角相等求出，最后根据全等三角形的对应边相等求得，最后根据证得即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即． 78．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 79．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，．连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．    (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？ (2)请说明你认为方案可行的理由： 以上的生活情景化归到数学上：根据题意，此时， 已知条件是：______________________；有待说明的是：______________________； 请介绍你每一步的思考及相应的道理： (3)请将不可行的方案稍加修改使之可行． 你的修改是： 【答案】(1)甲同学的方案可行 (2)，，；； (3)见解析 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据证明，根据全等三角形对应边相等得出； （3）根据全等三角形的判定方法，进行说明改进即可． 【详解】（1）解：甲同学的方案： 在和中， ∴， ∴；（全等三角形对应边相等） ∴甲同学的方案可行； 乙同学的方案中只能确定，，而两个条件不能判定， ∴乙同学的方案不可行； （2）解：∵在和中， ∴， ∴；（全等三角形对应边相等） ∴已知条件是：，，； 有待说明的是：； 利用“边角边”判断三角形全等；根据全等三角形对应边相等判断； 故答案为：，，；． （3）解：乙同学方案： 在和中只知道，，不能判定， ∴乙同学方案不可行； 改进：过点B作直线， 所以，利用证明，根据全等三角形对应边相等，得出． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 80．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在边上，与相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由，得到，而，即可得到； （2）由，得到，，由三角形外角的性质得到进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 五、第五章，生活中的轴对称，4题型10题 81．（22-23七年级下·四川成都·期末）甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 82．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）下列图形为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，找出对称轴、图形两部分折叠后互相重合是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义分析即可得到结果． 【详解】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这三个图形都不是轴对称图形，不符合题意； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这个图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 83．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下列图形：直角三角形、等边三角形、长方形、圆，其中轴对称图形有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 本题考查了轴对称图形的概念，掌握判断轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是关键． 【详解】解：在图形：直角三角形、等边三角形、长方形和圆中， 轴对称图形的有：等边三角形、长方形和圆，共三个． 故选：C． 84．（22-23七年级下·四川成都·期末）将一个长方形纸条折成如图的形状， 已知，则为（  ）    A．66° B．70° C．76° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质中折叠问题，平行线性质，角度计算．根据题意可知折叠两角度相等，利用平行线性质，继而得到本题答案． 【详解】解：将本图命名如下：    ∵一个长方形纸条折成如图的形状，， ∴， ∴， 故选：B． 85．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，将对边平行的纸条两次对折．已知，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角相等是解题的关键．图1中，由题意知，求出图2中，图3中根据求出度数． 【详解】解：图1中，∵长方形对边， ∴， 在图2中，， 在图3中，． 故选：B． 86．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，位置，恰好在上，若，则等于 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．由折叠性质可得，再由平行线的性质可得，从而利用平角的定义可求得，再利用平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：如图， 由折叠得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50 87．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【答案】/ 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， ∵， ∴， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 88．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于 ．    【答案】56°/56度 【分析】根据尺规作图的痕迹，作了的垂直平分线和的平分线，先根据矩形的性质和平行线的性质得到的度数，再利用角平分线和互余计算出的对顶角的度数，然后根据对顶角的性质得到的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，垂直平分，平分，    ∵在矩形中， ∴ ∴ ∴的度数为 故答案为： 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质． 89．（22-23七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，．求作：求作一点，使在上，且．    【答案】见解析 【分析】作的平分线与交于点，即可． 【详解】如图所示，作的平分线与交于点．    ∴， 又∵， ∴． 点即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 90．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在上找一点，使，再在上找一点，使； (2)作关于AC的对称点，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，无刻度直尺作图，轴对称的性质，熟练掌握相关知识点，在网格中确定点的位置，是解题的关键． （1）利用格点构造全等三角形，根据全等三角形的性质可知点即为所求；构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； （2）利用轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）如图，点，即为所求； （2）如图，点即为所求． 六、第六章，概率初步，3题型10题 91．（22-23七年级下·四川成都·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视机，它正在播放动画片 B．任意投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数 C．早上的太阳从西方升起 D．将油滴滴入水中，油会浮出水面上 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件和必然事件的知识，解答的关键是理解随机事件和必然事件的定义，即可． 【详解】A、打开电视机，它正在播放动画片，是随机事件，不符合题意； B、任意投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； C、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意； D、将油滴滴入水中，油会浮出水面上，是必然事件，符合题意． 故选：D． 92．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，搅匀后任意摸出一个球，下列说法正确的是（　　） A．摸出5号球的可能性最大 B．摸出奇数号球和偶数球的可能性相同 C．摸出1号球的可能性最小 D．摸出每个号码的小球的可能性相同 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件以及可能性，得到摸到每个小球的可能性大小后即可确定正确的选项，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵有1，2，8，4，5这五个号码， ∴摸出每个球的可能性大小相同， ∴A、C不符合题意； ∵有5个奇数球，2个偶数球， ∴摸出偶数球的可能性小于摸出奇数球的可能性， ∴B选项不符合题意， 摸出每个号码的小球的可能性相同，则D正确，故符合题意； 故选：D． 93．（22-23七年级下·山西运城·期末）下列说法正确的是（    ） A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 B．从、、、、中随机抽取一个数，抽出奇数的可能性较大 C．某彩票的中奖率为，说明买张彩票，有张获奖 D．打开电视，中央一台一定在播放新闻联播 【答案】B 【分析】此题主要考查了概率的意义，根据概率的意义即可解答，解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念，理解概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生． 【详解】、掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为，不一定就反面朝上，故此选项错误； 、从，，，，中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确； 、某彩票中奖率为，说明买张彩票，有张中奖，不一定，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数并不能说买张该种彩票就一定能中张奖，故此选项错误； D、打开电视，中央一套正在播放新闻联播，必然事件是一定会发生的事件，则对于选项很明显不一定能发生，不符合题意，故此选项错误； 故选：． 94．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）数学课上老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ）    A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”． B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花． C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球． D．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面． 【答案】D 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意； C、不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率为；符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键． 95．（22-23七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系． 96．（22-23七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出a个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了简单事件的概率，清楚所有可能结果数及事件发生时的可能结果数是解题的关键．注意概率公式的变形运用． （1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率； （2）由红球的概率可求得盒子里的总球数，用30减去总球数即可得到要取出黑球的个数，即可求得a的值． 【详解】（1）解：∵红球6个，白球10个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， 故盒子中黑球的个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； （2）解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：（个）， ∴可以将盒子中的黑球拿出（个） ∴． 97．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数字，，，；另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的个扇形区域，分别标有数字，，如图所示． (1)从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于的概率是______ ； (2)小明和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加比赛，游戏规则为：小明从口袋中摸出一个小球，小东转动圆盘，如果所摸球上的数字小于，那么小明去；圆盘上转出数字小于，则让小东去，你认为游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）直接由概率公式求解即可； （2）分别求出所摸球上的数字小于的概率和圆盘上转出数字小于的概率，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：口袋中小球上数字大于的有，， 则． 故答案为：； （2）解：游戏不公平，理由如下： ，， 游戏不公平． 98．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率； (3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用“1点朝上”的频率除以总试验次数，即可求出“1点朝上”的频率；用“6点朝上”的频率除以总试验次数，即可求出“6点朝上”的频率； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为， “6点朝上”的频率为． （2）解：朝上的点数为1的概率． （3）解：∵朝上的点数不小于4， ∴有4、5、6这3种可能性， ∴朝上的点数不小于4的概率． 【点睛】本题主要考查了频率，用概率公式求概率，解题的关键是掌握频率=频数和试验总次数之比，概率=所求情况数与总情况数之比． 99．（21-22七年级下·江西九江·期末）有7张纸签，分别标有数字1，1，2，2，3，4，5，从中随机抽出一张，求： (1)抽出标有数字3的纸签的概率； (2)抽出标有数字1的纸签的概率； (3)抽出标有奇数数字的纸签的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用标有数字3的结果数除以总数量可得； （2）用标有数字1的结果数除以总数量可得； （3）用标有数字为奇数的结果数除以总数量可得． 【详解】（1）解：7张纸签，随机抽出一张，共有7中可能，抽出标有数字3的纸签有1种可能， ∴抽出标有数字3的纸签的概率为； （2）7张纸签，随机抽出一张，共有7中可能，抽出标有数字1的纸签有2种可能， ∴抽出标有数字1的纸签的概率为； （3）7张纸签，随机抽出一张，共有7中可能，抽出标有奇数数字的纸签有4种可能， 抽出标有数字为奇数的纸签的概率为． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 100．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) (4)不公平，见解析 【分析】（1）根据甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，再根据概率公式即可得出答案； （2）根据甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，再根据概率公式即可得出答案； （3）根据乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，然后根据概率公式即可得出答案； （4）根据概率公式先求出小明和小颖转出的颜色为红色的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份， 小明转出的颜色为红色的概率为； 故答案为：； （2）解：甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份， 小转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （3）解：乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份， 小颖转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （4）解：不公平， 因为小明转出的颜色为红色的概率为，小颖转出的颜色为红色的概率为， 而， 所以不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$