6.4 .1 直线与平面平行（分层练习，5大题型）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

6.4.1 直线与平面平行 分层练习 题型一：直线与平面平行的判定和性质的应用 1．已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 3．对于直线和平面，下列命题中正确的是（    ） A．如果，，是异面直线，那么 B．如果，，是异面直线，那么与相交 C．如果，，共面，那么 D．如果，，共面，那么 4．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：直线与平行的判断 6．下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C． D． 8．设表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则，其中不正确的个数是（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 9．（多选）已知a，b是不同的直线，是平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 10．（多选）下列说法错误的是（    ）． A．过三个点有且只有一个平面 B．已知直线，平面，，，，，则 C．已知直线，平面，，，则 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 题型三：直线与平面平行的证明 11．（多选）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点（如图），则平面的有（    ） A．B．C．D． 12．（多选）每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图，若点分别是正八面体棱的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．与是异面直线 C．平面 D．与是相交直线 13．在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 14．如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点. 15．如图，在三棱柱中，D在线段AC上． (1)若D是AC中点，求证：平面； (2)若M为BC的中点，直线平面，求． 16．正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 17．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 18．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 题型四：直线与平面平行的性质应用 19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 20．如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于F．证明：. 21．如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点． 22．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 23．如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 24．如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF. 25．如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：. 26．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 题型五：直线与平面平行求参数或线段长度 27．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 28．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 29．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为 . 30．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 31．已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为 ． 32．如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .    33．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 34．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于 ，平面内与EF平行的线段是 ． 一、单选题 1．已知直线和，平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于空间中的直线a，b，c以及平面，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 二、多选题 4．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 5．如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有 . ①，，，四点共面；②平面；③与所成角为. 6．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    四、解答题 7．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：. 8．如图甲，在梯形中，，，分别为的中点，以为折痕把折起（如图乙），求证：    (1)//平面； (2)//平面． 9．如图，正方体中，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 10．如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；      11．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱的中点.求证：    (1) (2)平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.1 直线与平面平行 分层练习 题型一：直线与平面平行的判定和性质的应用 1．已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若，，，且，所以直线与平面平行的判定定理知； 若，，，所以直线与平面平行的性质定理知； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义、性质逐项分析判断得解. 【详解】对于A，若直线l上有无数个点不在平面内，则或l与相交，A错误； 对于B，直线与平面平行，则存在过直线的平面与平面相交，令交线为， 于是，显然在平面内有无数条直线与平行，这些直线都平行于，B正确； 对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行或在这个平面内，C错误； 对于D，若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或是异面直线，不会与平面内的任意一条直线都平行，D错误. 故选：B 3．对于直线和平面，下列命题中正确的是（    ） A．如果，，是异面直线，那么 B．如果，，是异面直线，那么与相交 C．如果，，共面，那么 D．如果，，共面，那么 【答案】C 【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对选项进行一一判断，从而进行求解. 【详解】对于A，如图①所示，，，是异面直线，此时n与α相交，则A不正确； 对于B，如图②所示，，，是异面直线，此时n与α平行，故B不正确； 对于C，，，则没有公共点，若共面，那么，故C正确； 对于D，如图③所示，，，共面，此时m与n相交，故D不正确． 故选：C. 4．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】①错，a，b有可能在同一平面内； ②错，直线a也可能与平面内某直线异面； ③错，两直线也可能异面； ④正确；由线面平行的判定定理可得； ⑤错误，a可以在α内； ⑥正确，由平行线上到平面内的距离相等可得. 所以正确的个数有2个； 故选：C. 5．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用正方体模型易于判断前两个命题真假，借助于反证法判断命题③ 即可. 【详解】 可借助正方体来判断.如图，在正方体中，∥，在过的平面内，故命题①不正确； ∥平面，平面，但不平行于BC，故命题②不正确； 运用反证法，假设b与α不平行，则有： (1)与相交，因为，所以a与α相交，这与a∥矛盾， (2)，这与题设矛盾，故假设不成立，即b∥，故命题③正确. 故选：B. 题型二：直线与平行的判断 6．下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，，有可能，A错误； 对于B，，有可能异面，B错误； 对于C，，有可能，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确． 故选：D 7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 8．设表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则，其中不正确的个数是（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解. 【详解】若且，则或，故命题错误； 若且，则或为异面直线，故命题错误； 若且，则或，故命题错误； 若且，则或相交或异面，故命题错误. 故选：D. 9．已知a，b是不同的直线，是平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】ABC 【分析】考查点线面位置关系，根据点线面位置关系类型和种类以及线面平行判定定理进行讨论分析即可. 【详解】对于A，因为，内有无数条直线与平行，故还可能是，故A错误； 对于B，，所以a与没有公共点，又，所以与没有公共点， 所以a与b的位置可平行可异面，故B错误； 对于C，因为,，所以或b在内，故C错误； 对于D，由线面平行的判定定理知D正确． 故选：ABC． 10．下列说法错误的是（    ）． A．过三个点有且只有一个平面 B．已知直线，平面，，，，，则 C．已知直线，平面，，，则 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】ABC 【分析】由立体几何公理判断AD，由面面平行的判定及线面关系判断CD． 【详解】对于A，过不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，由平面相交公理，可知D正确； 故选：ABC． 题型三：直线与平面平行的证明 11．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点（如图），则平面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，B选项；假设平面面，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C，D选项. 【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，A正确； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于，连接， 则，而, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，故此时平面不成立，C错误； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 故此时平面不成立，D错误； 故选：AB 12．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图，若点分别是正八面体棱的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．与是异面直线 C．平面 D．与是相交直线 【答案】ABD 【分析】利用空间中直线的位置关系、线面平行、线面垂直的判定结合正八面体的特征一一判断选项即可. 【详解】如图，连接， 易知两两相交且相互平分， ∴四边形为平行四边形，即. 又点分别是正八面体棱的中点， ∴， 且， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B，D错误； 易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 所以平面平面， 又平面，∴平面，故C正确； 由题意得，， ∴平面. 又平面，，∴与不垂直， ∴与平面不垂直，故A错误. 故选：ABD 13．在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）利用中位线的性质及线线平行证明线面平行即可； （2）作，，，构造面面平行，利用面面平行的性质判定线面平行即可. 【详解】（1） 如图所示，连接交于N，连接， 由题意可知为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）存在点，使得平面，理由如下： 如图所示，作交直线于E点，过E作交于F， 过F作交于Q， 因为底面为平行四边形，所以C为的中点，则为中点， 又，即为的中点， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面，平面, 又，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 因为平面平面，所以两平面重合， 即平面平面， 因为平面，所以存在一点，使得平面， 且． 14．如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，平面，即可得到平面平面，从而得证； （2）首先证明平面，根据线面平行的性质得到，即，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，， 因为底面是菱形，即，所以， 又平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面； （2）因为过点，，的平面与棱交于点， 又，平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以，所以， 所以为的中点，即与中点重合，所以是的中点． 15．如图，在三棱柱中，D在线段AC上． (1)若D是AC中点，求证：平面； (2)若M为BC的中点，直线平面，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接交于点O，连接OD，证明，证明平面； （2）设交于点E，连接DE，得到，利用平行即可求解. 【详解】（1）连接交于点O，连接OD， ∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点， 又∵D为AC的中点，∴ ∴平面，平面，∴平面 （2）设交于点E，连接DE, ∵平面，平面，平面平面 ∴，∴ 又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点 ∴，∴ 16．正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出； （2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证. 【详解】（1）连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为；    （2）取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 17．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，利用平行四边形证明BE∥AF即可； （2）取CD的中点G，连接AG，PG，可得∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由等边三角形求解即可. 【详解】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF， 则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD， 由已知AB∥CD且AB＝CD， 所以AB∥EF且AB＝EF， 所以四边形ABEF为平行四边形， 所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP， 所以BE∥平面ADP． （2）取CD的中点G，连接AG，PG， 所以AB∥GC且AB＝GC， 所以四边形ABCG为平行四边形， 所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角， 由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°， 所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°． 18．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析， 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理结合中位线证明即可； （2）先由几何关系证明截面为平行四边形，再由边长关系得到，然后根据对角线乘积的一般求出面积即可； 【详解】（1）证明：连接，由为的中位线，可得， 由平面平面，可得平面； （2）取的中点，连接，可得， 取的中点，连接，可得， 可得截面为平行四边形， 且，即平行四边形为菱形， 而， 所以截面的面积为. 题型四：直线与平面平行的性质应用 19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由AP∥平面BDM的性质可得AP∥GH. 【详解】证明　如图，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM， OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH， ∴AP∥GH. 20．如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于F．证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，证明，再借助线面平行的判定、性质推理作答. 【详解】因四边形，ABCD均为正方形，则，且，因此四边形为平行四边形， 于是得，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面， 所以. 21．如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点． 【答案】证明见详解 【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可得出证明. 【详解】证明：由已知可得，平面. 又平面，平面平面， 所以. 又因为点是的中点，所以是中点． 22．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，根据线面平行与面面平行的判定可得平面平面，进而可得证明平面PAD； （2）根据线面平行的判定可得平面PAD，再根据线面平行的性质证明即可. 【详解】（1）取中点，连接. 因为分别为的中点，故，， 又平面，平面，故平面，同理平面. 又平面，，故平面平面， 又平面，故平面. （2）因为四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面. 又平面平面l，平面，故. 23．如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可； （2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可. 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； （2）易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 24．如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF. 【答案】证明见解析 【详解】 证明：∵ 底面ABCD是正方形，∴AB∥CD. 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴ AB∥平面PCD. 又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴ AB∥EF. ∵ 平面PAB与平面PCD交于直线l，∴ AB∥l，∴ l∥EF. 【考查意图】以四棱锥为模型，考查利用线面平行的性质定理证明线线平行． 25．如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行. 【详解】因为平面，平面， 且平面平面，所以， 同理可证，因此. 26．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)点M为的中点 【分析】（1）取的中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设过三点的平面与交于点N，连接，由线面平行的性质证明出四边形为平行四边形，即可证明点M为的中点． 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点．    题型五：直线与平面平行求参数或线段长度 27．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【详解】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为 平面 ，平面平面 ，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 28．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 29．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则， 由四边形是菱形，可得，则， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为：3. 30．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【答案】 【详解】连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC， 则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 31．已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果. 【详解】如图，连结交于点，连结. 因为，E为AD的中点，则， 又因为PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC，则PA∥OF， 所以. 故答案为：. 32．如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .    【答案】/ 【分析】 根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】如图，连结交于点，连结.    因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以. 故答案为： 33．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 34．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于 ，平面内与EF平行的线段是 ． 【答案】 【分析】由线面平行的性质求解 【详解】在正方体中，，∴． 又E为AD的中点，平面，平面，平面平面， ∴，∴为的中点，∴． ∵，∴． 故答案为：， 一、单选题 1．已知直线和，平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合线面平行的判定以及性质判断“”和“”的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由题意知，，，根据线面平行的判定定理可得； 当时，，则和可能异面，不一定平行， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．对于空间中的直线a，b，c以及平面，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，因为，，则或，故A不正确； 对于B，因为，，与平行、相交、异面都有可能，故B不正确； 对于C，若，，，则与可能平行或异面，故C不正确； 对于D，若，，，利用线面平行的性质定理可得，D正确. 故选：D. 3．若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质与判定逐个辨析即可. 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则或与异面，故D正确. 故选：D 二、多选题 4．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项． 【详解】对于A，连接,由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确．    对于B，设是的中点，是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，，，故六边形为正六边形，所以，，，，，六点共面，B错误．    对于C，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，所以C错误．    对于D，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以， 由于平面，平面，所以平面，D正确．    故选：AD． 三、填空题 5．如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有 . ①，，，四点共面；②平面；③与所成角为. 【答案】②③ 【分析】对于①：用异面直线判定定理即可判断；对于②：利用线面平行的判定定理即可判断；对于③：利用为正三角形，可得与成角60°，即可求出与成角. 【详解】对于①：平面中，平面，平面， 又，则为异面直线，因此，，，四点不共面，故①错； 对于②：连结，如图： 在正方体中，,又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为分别为的中点， 所以，，又平面，平面， 故平面，故②对； 对于③：在正方体中，连结， 因为分别为和的中点，所以, 所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以为正三角形， 所以与成角60°，即与所成角为.故④对. 故答案为：②③. 6．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    【答案】 【分析】 连接交于点，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解. 【详解】连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以为的中点， 所以. 故答案为：. 四、解答题 7．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】先根据图1中几何关系，得到，进而得平面，可证. 【详解】在图1中，因为，，， 所以，，又， 所以， 因为，， 所以，故， 在图2中，因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面，所以； 8．如图甲，在梯形中，，，分别为的中点，以为折痕把折起（如图乙），求证：    (1)//平面； (2)//平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接根据线面平行的判定进行证明； （2）利用中位线，在平面中找到一条直线平行，然后根据线面平行的判定证明. 【详解】（1）由于梯形中，折叠后仍有//， 又平面，平面， 根据线面平行的判定，//平面； （2）   连接交于，连接，依题意得，//，，于是四边形是平行四边形， 故为中点，又为中点，根据三角形的中位线可得，//， 又平面，平面， 故//平面. 9．如图，正方体中，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）根据线面平行的判定定理即可证明结论. 【详解】（1）连接交于点O，连接，    因为四边形为正方形，故O为的中点， 而E为的中点，故， 平面，平面, 故平面； （2）连接，分别为的中点.， 故，而，为的中点.， 故，即四边形为平行四边形， 故，平面，平面， 故平面. 10．如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；      【答案】证明见解析 【分析】可先由中位线证明两线平行，再证明线面平行. 【详解】令交于,连接,    四边形为矩形， 为中点， 又为的中点， ， 又平面，平面. 平面， 11．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱的中点.求证：    (1) (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得为平行四边形，从而可证明结论. （2）要证平面，可证，由（1）即可得证. 【详解】（1）证明：四棱锥的底面是平行四边形， ， 又分别为的中点， ， 四边形为平行四边形. . （2）证明：由（1）知，又平面平面， 平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$