安徽省八年级期末真题必刷压轴60题（41个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（沪科版）

期末真题必刷压轴60题（41个考点专练） 一．二次根式的性质与化简（共1小题） 1．（巢湖市期末）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，，那么便有例如：化简 解：首先把化为，这里，； 由于，，即，， 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 二．分母有理化（共2小题） 2．（裕安区校级期末）阅读下面问题： ； ； ． 试求：（1）的值； （2）为正整数）的值． （3）计算：． 3．（2024春•凤台县月考）我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． （1）的有理化因式是　　，的有理化因式是　　； （2）化简：； （3）比较的大小，说明理由． 三．同类二次根式（共1小题） 4．（2022春•怀远县期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积． 四．二次根式的混合运算（共2小题） 5．（2022春•合肥期末）计算：． 6．（2023春•潘集区期末）计算： （1）； （2）． 五．二次根式的化简求值（共1小题） 7．（2024春•庐江县校级月考）已知：，，求的值． 六．二次根式的应用（共2小题） 8．（2024春•庐江县校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题． 一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了（提示：圆柱的体积，其中，为底面的半径，为高，取 （1）求从塑料容器中倒出的水的体积； （2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径． 9．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 七．一元二次方程的解（共1小题） 10．（枞阳县校级月考）已知是方程的一个根，则 （1） （2）． 八．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 11．解方程 （1） （2） （3） （4）（用配方法） 九．根的判别式（共2小题） 12．（2023春•怀宁县期末）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）给取一个负整数值，解这个方程． 13．（2020春•禹会区校级月考）当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 一十．根与系数的关系（共3小题） 14．（2022春•大观区校级期中）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且，求的值． 15．（东至县校级期中）已知方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求的值和方程的两个根． 16．（天长市校级月考）方程中的是什么数值时，方程的两个实数根满足：（1）一个根比另一个根大2；（2）一个根是另一个根的3倍；（3）两根差的平方是17． 一十一．一元二次方程的应用（共4小题） 17．（2024春•安庆期中）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． 18．（2021春•瑶海区校级期中）如图所示，中，，，． （1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？ 19．（2023春•瑶海区校级期中）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽度为米，则　 　（用含的代数式表示）； （2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？ 20．（2023春•安庆期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　　吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 一十二．配方法的应用（共1小题） 21．（瑶海区期末）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：因为　　　　；所以当　　时，代数式有最 　　（填“大”或“小” 值，这个最值为 　　． （2）比较代数式与的大小． 一十三．勾股定理（共4小题） 22．（2021春•蚌埠月考）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为 　　． 23．（2024春•镜湖区校级期中）如图，在中，，于，设，，，． 试说明：（1）；（2）；（3）判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由． 24．（2024春•凤台县月考）如图①，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1．在网格中构造格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），、、三边的长分别为、、，利用网格就能计算三角形的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上． 　　． （2）在图②中画出，、、三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 25．（巢湖市期末）清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为，则第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘，得三边长”． （1）当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程． 一十四．勾股定理的证明（共1小题） 26．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 一十五．勾股定理的逆定理（共1小题） 27．（2024春•蜀山区期中）如图，为上一点，，，试判断的形状，并说明理由． 一十六．勾股定理的应用（共1小题） 28．（2021春•金安区校级期末）如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？ 一十七．等腰直角三角形（共1小题） 29．（2023春•颍州区校级期中）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，，在旋转过程中，当时，则的长为 　　，若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，则的长为 　　． 一十八．三角形中位线定理（共1小题） 30．（2022春•埇桥区校级期末）如图，，、是边上的两点，且，，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 　　． 一十九．平面镶嵌（密铺）（共1小题） 31．（2021春•南岸区期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是　　 A．25 B．26 C．30 D．39 二十．平行四边形的性质（共1小题） 32．（2021春•宣城期末）已知：如图，平行四边形，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 二十一．平行四边形的判定（共1小题） 33．（2021春•埇桥区期末）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接． （1）试说明； （2）求证：四边形是平行四边形． 二十二．平行四边形的判定与性质（共2小题） 34．（和县期末）如图，在平行四边形中，点，在上，且． （1）写出图中所有你认为全等的三角形； （2）延长交的延长线于，延长交的延长线于（请补全图形），证明四边形是平行四边形． 35．（蚌埠校级期中）如图所示，在中，点，在对角线上，且．请你以为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接 　　； （2）猜想：　　　　； （3）证明． 二十三．菱形的性质（共1小题） 36．（2023春•金寨县期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 二十四．菱形的判定（共2小题） 37．（滁州期末）如图所示，已知：矩形中，是与的交点，过点的直线与、的延长线分别交于点、． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 38．（2022春•长丰县期末）如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，． （1）求证：； （2）小亮同学经过探究发现：．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由． 二十五．菱形的判定与性质（共1小题） 39．（2022春•定远县期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连接、、，如图2所示， ①求证：； ②求的度数． （3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长． 二十六．矩形的性质（共2小题） 40．（2022春•上杭县校级期末）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论： ①； ②若，，则； ③； ④当是的中点时，． 其中正确的结论是 　　．（填写所有正确结论的序号） 41．（庐江县期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 二十七．矩形的判定（共1小题） 42．如图，在中，，，为边上的高，过点作，过点作，与交于点，与交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的面积． 二十八．矩形的判定与性质（共1小题） 43．（2021春•黄州区期末）如图，在中，，为中点，四边形是平行四边形，，相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形对角线的长． 二十九．正方形的性质（共4小题） 44．（颍上县校级月考）一个工人师傅要将一个正方形（四个角都是直角，四边都相等，边长为的余料，修剪成如四边形的零件．其中，是的中点． （1）试用含的代数式表示的值； （2）连接，则是直角三角形吗？为什么？ 45．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论序号是 　　． 46．（2023春•颍东区校级期中）如图①正方形中，点是对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 47．（2023春•霍邱县期末）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点．，且交正方形外角的平分线于点，求证：． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除，外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，结论“”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 三十．正方形的判定（共1小题） 48．如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． 三十一．正方形的判定与性质（共1小题） 49．（2023春•曲阳县期末）问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 三十二．用样本估计总体（共1小题） 50．（济南校级期末）某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年经验知道鱼苗成活率为，一段时间后打捞出售，第一次网出40条称得平均鱼重2.5千克，第二次网出25条，称得平均鱼重2.2千克，第三次网出35条，称得平均鱼重2.8千克，请你估计鱼塘中的鱼总质量大约是多少千克？ 三十三．频数（率）分布表（共1小题） 51．为了解学生的身高情况，抽测了某校17岁的50名男生的身高，将数据分成7组，列出了相应的频数分布表（部分未列出）如下： 某校50名17岁男生身高的频数分布表 分组 频数（名 频率 2 0.04 　　 　　 6 0.12 11 0.22 　　 0.34 6 　　 4 0.08 合计 50 1 请回答下列问题： （1）请将上述频数分布表填写完整； （2）估计这所学校17岁男生中，身高不低于且不高于的学生所占的百分比； （3）该校17岁男生中，身高在哪个范围内的频数最多？如果该校17岁男生共有350名，那么在这个身高范围内的人数估计有多少人？ 三十四．频数（率）分布直方图（共1小题） 52．某校七年级1班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出如下频数分布表和频数分布直方图： 次数 频数 4 12 16 8 3 结合图表完成下列问题： （1）　　； （2）补全频数分布直方图； （3）写出全班人数　　，并求出第三组“”的频率（精确到； （4）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀学生人数占全班总人数的百分之几？ 三十五．频数（率）分布折线图（共1小题） 53．学校开展“阳光体育”活动，学生会为了解学生最喜欢哪一种球类运动项目，从：足球、：乒乓球、：篮球、：羽毛球等四个方面，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图，如图1，图2（要求每位同学只能选择一种喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了　　名学生？ （2）在图1扇形统计图中，求出“”部分所对应的圆心角等于　　度？ （3）补全频数分布折线统计图． 三十六．算术平均数（共1小题） 54．某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽了100棵蜜橘，成活，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘，称得质量（单位：分别为25，18，20；他从乙山采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量（单位：分别是21，24，19，20．组成一个样本，那么： （1）样本容量是多少？ （2）样本平均数是多少？并估算出甲乙两山蜜橘的总产量？ （3）甲乙两山哪座山上蜜橘挂果更均匀？为什么？ 三十七．加权平均数（共1小题） 55．（2022春•洛江区期末）某中学八年级（1）班共40名同学开展了“献爱心”的活动．活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． （1）求这40名同学捐款的平均数； （2）该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 三十八．中位数（共1小题） 56．（2020秋•石河子校级期末）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级（1）班40名学生读书册数的情况如表： 读书册数 4 5 6 7 8 人数（人 6 4 10 12 8 根据表中的数据，求： （1）该班学生读书册数的平均数； （2）该班学生读书册数的中位数． 三十九．众数（共2小题） 57．（2023春•古冶区期末）某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题： （1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数； （2）写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值； （3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于4件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数． 58．（2020春•和县期末）体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取10名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示． （1）求女生进球数的平均数、众数； （2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？ 四十．方差（共1小题） 59．（2023春•陇县期末）甲、乙两人参加射箭比赛，两人各射了5箭，他们的成绩（单位：环）统计如下表． 第1箭 第2箭 第3箭 第4箭 第5箭 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 6 5 7 （1）分别计算甲、乙两人射箭比赛的平均成绩； （2）你认为哪个人的射箭成绩比较稳定？为什么？ 四十一．标准差（共1小题） 60．一次期中考试中，、、、、五位同学的数学、英语成绩有如下信息： 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 英语 88 82 94 85 76 85 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分个人成绩平均成绩）成绩标准差． 从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷压轴60题（41个考点专练） 一．二次根式的性质与化简（共1小题） 1．（巢湖市期末）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，，那么便有例如：化简 解：首先把化为，这里，； 由于，，即，， 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 二．分母有理化（共2小题） 2．（裕安区校级期末）阅读下面问题： ； ； ． 试求：（1）的值； （2）为正整数）的值． （3）计算：． 【分析】（1）（2）仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算； （3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）原式 ． 【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 3．（2024春•凤台县月考）我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． （1）的有理化因式是　　，的有理化因式是　　； （2）化简：； （3）比较的大小，说明理由． 【分析】本题主要考查的分母有理化的应用．（1）（2）易求．解答（3）题时，可沿用（1）（2）的思路．由于所求的两个式子的大小无法直接判断出，因此可用它们的有理化因式将它们分别表示出来，然后再进行判断． 【解答】解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是； （2）原式； （3）；； ， ． 【点评】二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是学习的难点，找出分母的有理化因式是解决此类问题的关键． 三．同类二次根式（共1小题） 4．（2022春•怀远县期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可； （2）先求出，得出，求出即可． 【解答】解：（1）要使有意义，必须， 即， 所以使得该二次根式有意义的的取值范围是； （2）， 所以， 解得：， 这两个二次根式的积为． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和同类二次根式的定义等知识点，能根据知识点得出不等式或方程是解此题的关键． 四．二次根式的混合运算（共2小题） 5．（2022春•合肥期末）计算：． 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式混合计算法则即可直接求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简以及性质的运用． 6．（2023春•潘集区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式化简二次根式，再合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 五．二次根式的化简求值（共1小题） 7．（2024春•庐江县校级月考）已知：，，求的值． 【分析】根据二次根式的性质把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：，， ，， ， 当，时，原式． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键． 六．二次根式的应用（共2小题） 8．（2024春•庐江县校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题． 一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了（提示：圆柱的体积，其中，为底面的半径，为高，取 （1）求从塑料容器中倒出的水的体积； （2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径． 【分析】（1）直接利用长方体体积公式得出答案； （2）直接利用圆柱体体积公式求出圆柱形玻璃容器的底面的半径． 【解答】解：（1）由题意可得： ． 答：从塑料容器中倒出的水的体积为； （2）设圆柱形玻璃容器的底面的半径为，根据题意可得： ， 解得：． 答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为． 【点评】此题主要考查了二次根式的应用以及长方体以及圆柱体的体积求法，正确化简二次根式是解题关键． 9．（2022春•宜秀区校级月考）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出、、的值，代入海伦公式即可得出结论； （2）由三角形的面积底高，代入数据，即可得出结论． 【解答】解：（1），，， ，，，， 的面积． （2）设边上的高为， 则， 解得． 【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可． 七．一元二次方程的解（共1小题） 10．（枞阳县校级月考）已知是方程的一个根，则 （1） （2）． 【分析】（1）把代入方程，得到，即可求解； （2）将两边同时除以可得，再根据完全平方公式和平方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）把代入方程，得 ； （2）， 如果，代入方程中，得，不成立，说明不能为0． 两边同时除以可得， 则， 则． 【点评】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．同时考查了完全平方公式和平方根． 八．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 11．解方程 （1） （2） （3） （4）（用配方法） 【分析】（1）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）找出，及的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程左边提取变形后，分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （4）常数项移到右边，两边加上4变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：（1）开方得：， ，． （2）这里，，， △， ， ，； （3）分解因式得：， 即， ，，； （4）， 变形得：， 即， 或， ，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键． 九．根的判别式（共2小题） 12．（2023春•怀宁县期末）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）给取一个负整数值，解这个方程． 【分析】（1）利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）在（1）中的的范围内取，方程变形为，然后利用因式分法解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得△， 解得； （2）取，则方程变形为，解得，． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 13．（2020春•禹会区校级月考）当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 【分析】先计算出△并且设△为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论的存在性．变形为，，利用，都为整数进行讨论即可． 【解答】解：当为整数时，关于的方程没有有理根．理由如下： ①当为整数时，假设关于的方程有有理根，则要△为完全平方数，而△， 设△为整数），即为整数），所以有， 与的奇偶性相同，并且、都是整数，所以或， 解得， ②时，（不合题意舍去）． 所以当为整数时，关于的方程没有有理根． 【点评】考查了一元二次方程根的判别式为△．△为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法． 一十．根与系数的关系（共3小题） 14．（2022春•大观区校级期中）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且，求的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得，、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再由（1）的结论即可确定值． 【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根， △， 解得：． （2）方程的两实数根分别为，， ，． ， ， ， 解得：，． 又， ． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）由方程解得个数结合根的判别式找出△；（2）利用根与系数的关系找出． 15．（东至县校级期中）已知方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求的值和方程的两个根． 【分析】先根据方程有两个实数根判断出的取值范围，设出方程的两个实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起关系式，再根据这两个实数根的平方和比两根的积大21可列出关于的方程，求出的值，再把的值代入原方程即可解答． 【解答】解：方程有两个实数根， △， ， 设方程的两根分别为、， ①，②， 这两个实数根的平方和比两根的积大21，即， 即， 把①、②代入得，， （舍去）或， ， 原方程可化为， 解得，． 【点评】此题比较复杂，考查的是一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解答此题的关键是先判断出的取值范围，再根据根与系数的关系解答． 16．（天长市校级月考）方程中的是什么数值时，方程的两个实数根满足：（1）一个根比另一个根大2；（2）一个根是另一个根的3倍；（3）两根差的平方是17． 【分析】（1）根据方程一个根比另一个根大2，设出方程的一个根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起方程，求出未知数的值即可； （2）根据方程两根之间的关系及根与系数的关系建立起方程，求出未知数的值即可； （3）先设出方程的两个实数根，再根据，及建立起关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：（1）设方程的一个根为，则另一根为， 则，解得，，则； ； （2）设方程的一个根为，则另一根为， 则，解得，； ； （3）设方程的两根分别为、， 则，， 两根差的平方是17，即， 即， ． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，即，，比较简单． 一十一．一元二次方程的应用（共4小题） 17．（2024春•安庆期中）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解． 【解答】解：（1），， ， 整理得， 解得． 答：当时的面积为面积的； （2）当时， ， 整理得， △， 此方程没有实数根， 的面积不可能是面积的一半． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 18．（2021春•瑶海区校级期中）如图所示，中，，，． （1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？ 【分析】（1）设经过秒，使的面积等于，根据等量关系：的面积等于，列出方程求解即可； （2）设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在射线上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）设经过秒，使的面积等于，依题意有 ， 解得，， 经检验，，均符合题意． 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， ， △， 此方程无实数根， 线段不能将分成面积相等的两部分； （3）①点在线段上，点在线段上， 设经过秒，依题意有 ， ， 解得，， 经检验，不符合题意，舍去， ； ②点在线段上，点在射线上， 设经过秒，依题意有 ， ， 解得， 经检验，符合题意． ③点在射线上，点在射线上， 设经过秒，依题意有 ， ， 解得，， 经检验，不符合题意，舍去， ； 综上所述，经过秒，5秒，秒后，的面积为． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 19．（2023春•瑶海区校级期中）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽度为米，则　　（用含的代数式表示）； （2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？ 【分析】（1）根据通道宽度为米，表示出即可； （2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）设通道的宽度为米，则； 故答案为： （2）根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：中间通道的宽度为2米． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 20．（2023春•安庆期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　60　吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨． （2）设当售价定为每吨元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解． 【解答】解：（1）；（2分） （2）设当售价定为每吨元时， 由题意，可列方程．（2分） 化简得． 解得，．（6分） 当售价定为每吨200元时，销量更大， 所以售价应定为每吨200元． 【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解． 一十二．配方法的应用（共1小题） 21．（瑶海区期末）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：因为　　　　；所以当　　时，代数式有最 　　（填“大”或“小” 值，这个最值为 　　． （2）比较代数式与的大小． 【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【解答】解：（1）， 所以当时，代数式有最小值，这个最值为2， 故答案为：；2；2；小；2； （2） ； ， 则． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用． 一十三．勾股定理（共4小题） 22．（2021春•蚌埠月考）如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为 　3或或2　． 【分析】分三种情况讨论：①当时，容易得出的长；②当时，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当时，由勾股定理求出，即可得出的长． 【解答】解：分三种情况： ①如图1所示： 当时， 由，可得； ②如图2所示： 当时， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ； ③如图3所示： 当时， 在中，， ， ； 综上所述：的长为3或或2． 故答案为：3或或2． 【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键． 23．（2024春•镜湖区校级期中）如图，在中，，于，设，，，． 试说明：（1）；（2）；（3）判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）只需证明，从左边推导到右边； （2）证明； （3）直角三角形，证明． 【解答】（1）证明：的面积为：或， ，，即， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， （3）是直角三角形． 证明：， ， ，（勾股定理） （面积公式推导） ， ， 根据勾股定理的逆定理知道 以，，为边构成的三角形是直角三角形 【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式的应用． 24．（2024春•凤台县月考）如图①，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1．在网格中构造格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），、、三边的长分别为、、，利用网格就能计算三角形的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上． 　　． （2）在图②中画出，、、三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 【分析】（1）利用“构图法”求解的面积即可； （2）根据网格结构与勾股定理确定出点、、，顺次连接可得，利用勾股定理的逆定理，可判断是直角三角形，代入面积公式可求出面积． 【解答】解：（1）； （2）如图所示： ． ①为直角三角形．理由如下： ， 为直角三角形； ②． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题关键是熟练勾股定理的应用，注意格点三角形中“构图法”求面积的应用． 25．（巢湖市期末）清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为，则第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘，得三边长”． （1）当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程． 【分析】先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题． 【解答】解：（1）当时，， 所以三边长分别为：，，； （2）证明：三边为3、4、5的整数倍， 设为倍，则三边为，，， 而三角形为直角三角形且、为直角边． 其面积， ，， 即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数． 【点评】此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答． 一十四．勾股定理的证明（共1小题） 26．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形面积等于和的面积之和，化简整理得到勾股定理． 【解答】解：由图可得： 正方形的面积四边形的面积和的面积之和， 即， ， 整理得：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，一般采用拼图的方法证明．在解题时注意：先利用拼图的方法拼图，然后再利用面积相等，证明勾股定理． 一十五．勾股定理的逆定理（共1小题） 27．（2024春•蜀山区期中）如图，为上一点，，，试判断的形状，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据勾股定理的逆定理得出，求出，即可求出答案． 【解答】解：是等腰直角三角形， 理由是：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和勾股定理的逆定理，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 一十六．勾股定理的应用（共1小题） 28．（2021春•金安区校级期末）如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？ 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响； （2）点到直线的长为200千米的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点， 在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【解答】解：（1）由点向作垂线，垂足为， 在中，，，则， 因为，所以城要受台风影响； （2）设上点，，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， 由勾股定理得，千米， 则千米， 遭受台风影响的时间是：（小时）． 【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂． 一十七．等腰直角三角形（共1小题） 29．（2023春•颍州区校级期中）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，，在旋转过程中，当时，则的长为 　　，若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，则的长为 　　． 【分析】利用勾股定理可直接求出，在△、△中，先求出、，再通过证明得结论． 【解答】解：在中， ，，， ； 连接． 是底边为的等腰直角三角形， ． ，， ，． ， ． ． ，， ． 在和中， ， ． ． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查了三角形全等，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质是解决本题的关键． 一十八．三角形中位线定理（共1小题） 30．（2022春•埇桥区校级期末）如图，，、是边上的两点，且，，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 　　． 【分析】取的中点，连接，过点作于点，得是的中位线，连接并延长交于点，可得点的运动轨迹是射线，所以得的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接，过点作于点， 点是的中点， 是的中位线， 连接并延长交于点， ， 点的运动轨迹是射线， 的最小值为的长， ，，是的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到点的运动轨迹是射线． 一十九．平面镶嵌（密铺）（共1小题） 31．（2021春•南岸区期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是　　 A．25 B．26 C．30 D．39 【分析】设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，推出每个小正六边形的面积，推出阴影部分的面积为，再利用的面积，求出可得结论． 【解答】解：设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为， 每个小正六边形的面积， 阴影部分的面积为， 的面积为75， ， ， 阴影部分的面积， 故选：． 【点评】本题考查平面镶嵌，等边三角形的面积，正多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二十．平行四边形的性质（共1小题） 32．（2021春•宣城期末）已知：如图，平行四边形，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）只要证明，即可解决问题； （2）结论：四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ． （2）解：结论：四边形是矩形． 理由：，， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 四边形是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二十一．平行四边形的判定（共1小题） 33．（2021春•埇桥区期末）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接． （1）试说明； （2）求证：四边形是平行四边形． 【分析】（1）首先由中，由可以得到，又由是等边三角形，，由此得到，并且，然后证得，继而证得结论； （2）根据（1）知道，而是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【解答】证明：（1）中，， ， 又是等边三角形，， ， 在和中， ， ， ； （2）是等边三角形， ，， 又， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得是关键． 二十二．平行四边形的判定与性质（共2小题） 34．（和县期末）如图，在平行四边形中，点，在上，且． （1）写出图中所有你认为全等的三角形； （2）延长交的延长线于，延长交的延长线于（请补全图形），证明四边形是平行四边形． 【分析】（1）因为是平行四边形，，因此，又知，那么构成了三角形和全等的条件因此．同理可得出，． （2）要证明四边形是个平行四边形，已知的条件有，只要证得即可得出上述结论．那么就需要证明，也就是证明，根据．．这两个三角形中已知的条件就有，，又由上面得出的对应角相等，那么两三角形就全等了． 【解答】（1）解：；；； （2）证明：在和中，，，， ， ． ， ，而且，， 四边形是平行四边形 【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，本题中公共全等三角形来得出线段和角相等是解题的关键． 35．（蚌埠校级期中）如图所示，在中，点，在对角线上，且．请你以为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接 　　； （2）猜想：　　　　； （3）证明． 【分析】（1）已知条件是，那么应构造和所在的三角形，所以连接． （2）在两个三角形中，已知其他两条边对应相等，那么所求的一定是第三条边对应相等． （3）利用平行四边形的对边平行且相等，加上已知条件利用可证得这两条边所在的三角形全等，进而求得相应的线段相等． 【解答】解：解法一：（如图） （1）连接． （2）猜想：． （3）证明： 四边形为平行四边形， ，． ． 在和中， ， ， ． 解法二：（如图） （1）连接． （2）猜想：． （3）证明： 四边形为平行四边形， ，． ， ． ． 四边形为平行四边形． ． 解法三：（如图） （1）连接． （2）猜想：． （3）证明： 四边形为平行四边形， ，． ． 在和中， ， ． ． 【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 二十三．菱形的性质（共1小题） 36．（2023春•金寨县期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可； （2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，，， ，，， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可． 二十四．菱形的判定（共2小题） 37．（滁州期末）如图所示，已知：矩形中，是与的交点，过点的直线与、的延长线分别交于点、． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【分析】（1）由矩形的性质：，证得； （2）当时，四边形是菱形．根据已知条件可证明四边形是平行四边形，当，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定． 【解答】证明：（1）四边形是矩形 （矩形的对角线互相平分） （矩形的对边平行） ， ； （2）当时，四边形是菱形． 证明：四边形是矩形 （矩形的对角线互相平分） 又 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理． 38．（2022春•长丰县期末）如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，． （1）求证：； （2）小亮同学经过探究发现：．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由． 【分析】（1）依据条件得出，，依据是的中点，，即可得到是线段的垂直平分线，进而得到，，利用即可判定；（注：本小题也可以通过证明四边形为矩形得出结论） （2）过点作于，判定，可得，由（1）可得，即可得到，依据，即可得出； （3）依据，可得，进而得到，故，再根据四边形是平行四边形，即可得到四边形是菱形． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是的中点，， 是的中点， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ； （2）证明：过点作于， ，而， ， ， 由（1）可得， ， ， ； （3）四边形是菱形， 证明：， ， ， ， 由（1）得， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． 二十五．菱形的判定与性质（共1小题） 39．（2022春•定远县期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连接、、，如图2所示， ①求证：； ②求的度数． （3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长． 【分析】（1）平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）证明： 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）①四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ； ②， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； （3）方法一：如图3中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． ，， ， ． 方法二：过作于， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 二十六．矩形的性质（共2小题） 40．（2022春•上杭县校级期末）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论： ①； ②若，，则； ③； ④当是的中点时，． 其中正确的结论是 　①②④　．（填写所有正确结论的序号） 【分析】①根据矩形的性质证明是等腰直角三角形，进而可以判断； ②首先证明，证明，可得，可得四边形是正方形，所以，进而可以判断； ③根据勾股定理可得，根据，，即可判断； ④设，则，可得，所以，根据勾股定理可得，所以得，进而可以判断． 【解答】解：①在矩形中，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ；故①正确； ②，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ；故②正确； ③若，， ， ， ， ，， ；故③错误； ④当是的中点时， 设，则， ， ， ， ， ， ．故④正确． 综上所述：①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到． 41．（庐江县期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，推出，求出即可． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ， 设长为，则， 在中， 即， 解得：， 所以长为5． 【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 二十七．矩形的判定（共1小题） 42．（2021春•隆回县期末）如图，在中，，，为边上的高，过点作，过点作，与交于点，与交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的面积． 【分析】（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形是矩形． （2）在中，由勾股定理可以求得的长度，由等腰三角形的性质求得的长度，则矩形的面积长宽，即可得出结果． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ． 在中，，为边上的高， ，． ． 四边形是矩形． （2）解：在中，，，， ． 四边形的面积． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形是矩形是解题的难点． 二十八．矩形的判定与性质（共1小题） 43．（2021春•黄州区期末）如图，在中，，为中点，四边形是平行四边形，，相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形对角线的长． 【分析】（1）根据四边形是平行四边形和，推出和相等且互相平分，即可推出四边形是矩形． （2）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形对角线的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． ，为中点， ， 又为中点， ． ，． 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ， 为等边三角形， ， 故． 【点评】考查了矩形的判定与性质，二者相结合是常见的出题方式，要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线定理． 二十九．正方形的性质（共4小题） 44．（颍上县校级月考）一个工人师傅要将一个正方形（四个角都是直角，四边都相等，边长为的余料，修剪成如四边形的零件．其中，是的中点． （1）试用含的代数式表示的值； （2）连接，则是直角三角形吗？为什么？ 【分析】先连接，证明，得到，所以． 【解答】解：（1）连接， 则，， ； ， ； ， ； （2）由（1）中， 可知是直角三角形． 【点评】主要考查了正方形的性质和直角三角形的判定．注意正方形是特殊条件最多的特殊平行四边形．要掌握正方形的性质和勾股定理的逆定理才会灵活运用． 45．（2023春•襄汾县期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论序号是 　①②③　． 【分析】过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出，故②正确；可得，所以，故③正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误． 【解答】解：过作于点，过作于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为正方形， 四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，故①正确； 矩形为正方形； ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； 当时，点与点重合， 不一定等于，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 46．（2023春•颍东区校级期中）如图①正方形中，点是对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【分析】（1）由正方形的性质得，，再证明便可得； （2）由（1）得，可得，进而可以解决问题； （3）过作，证明是等边三角形，设，则，，得，由．列出的方程进行解答便可． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）四边形是正方形， ， 由（1）知：， ， ； （3）如图②，过作， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，则，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 解得，， ， ． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形． 47．（2023春•霍邱县期末）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点．，且交正方形外角的平分线于点，求证：． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除，外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，结论“”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． 【解答】解：（1）正确． 证明：在上取一点，使，连接． ， ， ， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ． （2）正确． 证明：在的延长线上取一点． 使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 即， ， ， ． 【点评】此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况． 三十．正方形的判定（共1小题） 48．（2021秋•蓝田县期末）如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形是平行四边形，可得．又由是等边三角形，可得．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形 （2）根据有一个角是的菱形是正方形．由题意易得，所以四边形是菱形，，即四边形是正方形． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ． 是等边三角形， ． ． 四边形是菱形． （2）从上易得：是直角三角形， 是等边三角形， ， ， ， ． 又四边形是菱形． 四边形是正方形． 【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定．本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度中等．注意灵活运用正方形和菱形的判定方法． 三十一．正方形的判定与性质（共1小题） 49．（2023春•曲阳县期末）问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形； （2）利用可得，由全等三角形的性质得，由已知可得，根据线段垂直平分线的性质可得即可得，是等腰三角形； 类比迁移：延长到点，使，连接，利用可得，由全等三角形的性质得，，由已知可得，可得是等边三角形，则，等量代换可得． 【解答】（1）证明：如图1中， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：结论：是等腰三角形， 理由：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 类比迁移：解：延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 三十二．用样本估计总体（共1小题） 50．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年经验知道鱼苗成活率为，一段时间后打捞出售，第一次网出40条称得平均鱼重2.5千克，第二次网出25条，称得平均鱼重2.2千克，第三次网出35条，称得平均鱼重2.8千克，请你估计鱼塘中的鱼总质量大约是多少千克？ 【分析】首先利用已知求出网出的鱼的平均重量，再利用鱼塘放养鱼苗10万条，鱼苗成活率为，得出鱼的总数，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：（千克）， 故10万（千克）， 答：鱼塘中的鱼总质量大约是240350千克． 【点评】此题主要考查了利用样本估计总体，正确求出样本中鱼的平均重量是解题关键． 三十三．频数（率）分布表（共1小题） 51．为了解学生的身高情况，抽测了某校17岁的50名男生的身高，将数据分成7组，列出了相应的频数分布表（部分未列出）如下： 某校50名17岁男生身高的频数分布表 分组 频数（名 频率 2 0.04 　4　 　　 6 0.12 11 0.22 　　 0.34 6 　　 4 0.08 合计 50 1 请回答下列问题： （1）请将上述频数分布表填写完整； （2）估计这所学校17岁男生中，身高不低于且不高于的学生所占的百分比； （3）该校17岁男生中，身高在哪个范围内的频数最多？如果该校17岁男生共有350名，那么在这个身高范围内的人数估计有多少人？ 【分析】（1）根据频数、频率、总人数的定义即可解决问题； （2）求出身高不低于且不高于的学生即可解决问题； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【解答】解：（1）身高在的频数为（人， 身高在的频数（人，频率为0.08， 的频率为0.12． 故答案为4，0.08，17，0.12． （2）估计这所学校17岁男生中，如果该校17岁男生共有350名，那么在这个身高范围内的人数估计有多少人所占的百分比为． （3）身高在范围内的频数最多，如果该校17岁男生共有350名，那么在这个身高范围内的人数估计有（人． 【点评】本题考查频率分布表，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活应用所学知识解决问题． 三十四．频数（率）分布直方图（共1小题） 52．某校七年级1班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出如下频数分布表和频数分布直方图： 次数 频数 4 12 16 8 3 结合图表完成下列问题： （1）　2　； （2）补全频数分布直方图； （3）写出全班人数　　，并求出第三组“”的频率（精确到； （4）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀学生人数占全班总人数的百分之几？ 【分析】（1）由频数分布直方图即可得； （2）由频数分布表得出的频数，即可补全图形； （3）将各组人数相加即可得，再用频数总人数频率求解可得； （4）用的人数和除以总人数即可得． 【解答】解：（1）由频数分布直方图知， 故答案为：2； （2）由频数分布表知的频数为16， 补全图形如下： （3）全班人数为（人，第三组“”的频率为， 故答案为：45人； （4）优秀学生人数占全班总人数的百分比为， 答：优秀的学生人数占全班总人数的． 【点评】本题主要考查的是频数分布表和频数分布直方图的应用，能够从统计图和统计表中获取有效信息是解题的关键． 三十五．频数（率）分布折线图（共1小题） 53．（涉县期末）学校开展“阳光体育”活动，学生会为了解学生最喜欢哪一种球类运动项目，从：足球、：乒乓球、：篮球、：羽毛球等四个方面，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图，如图1，图2（要求每位同学只能选择一种喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了　100　名学生？ （2）在图1扇形统计图中，求出“”部分所对应的圆心角等于　　度？ （3）补全频数分布折线统计图． 【分析】（1）根据组有30人，对应的百分比是，据此即可求得总人数； （2）利用总人数减去其它组的人数即可求得组的人数，然后利用乘以对应的比例即可求得组对应的扇形的圆心角度数； （3）把各组的人数在图2中表示出来，然后依次连接即可． 【解答】解：（1）调查的总人数是（名， 故答案为：100； （2）“”部分的人数是（人， 则所对应的圆心角等于． 故答案为：36； （3） ． 【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比． 三十六．算术平均数（共1小题） 54．某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽了100棵蜜橘，成活，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘，称得质量（单位：分别为25，18，20；他从乙山采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量（单位：分别是21，24，19，20．组成一个样本，那么： （1）样本容量是多少？ （2）样本平均数是多少？并估算出甲乙两山蜜橘的总产量？ （3）甲乙两山哪座山上蜜橘挂果更均匀？为什么？ 【分析】（1）关键样本容量的定义即可解决问题； （2）求出样本平均数，用样本估计总体的思想解决问题即可； （3）比较方差的大小，即可判断； 【解答】解：（1）从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘，称得质量（单位：分别为25，18，20；他从乙山采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量（单位：分别是21，24，19，20．组成一个样本， 样本容量是7； （2），， 答：样本平均数是，甲乙两山蜜橘的总产量； （3），， ，， ， 乙山上蜜橘挂果均匀． 【点评】本题考查算术平均数、样本容量、方差、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三十七．加权平均数（共1小题） 55．（2022春•洛江区期末）某中学八年级（1）班共40名同学开展了“献爱心”的活动．活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． （1）求这40名同学捐款的平均数； （2）该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 【分析】（1）根据加权平均数的意义计算40名同学捐款的平均数； （2）用样本平均数估计总体平均数，进行计算． 【解答】解：（1）（元； 所以这40名同学捐款的平均数为41元． （2）（元． 所以这个中学的捐款总数大约是49200元． 【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，用到的知识点是加权平均数的公式． 三十八．中位数（共1小题） 56．（2020秋•石河子校级期末）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级（1）班40名学生读书册数的情况如表： 读书册数 4 5 6 7 8 人数（人 6 4 10 12 8 根据表中的数据，求： （1）该班学生读书册数的平均数； （2）该班学生读书册数的中位数． 【分析】（1）根据平均数，求出该班同学读书册数的平均数； （2）将图表中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念求解即可． 【解答】解：（1）该班学生读书册数的平均数为：（册， 答：该班学生读书册数的平均数为6.3册． （2）将该班学生读书册数按照从小到大的顺序排列， 由图表可知第20名和第21名学生的读书册数分别是6册和7册， 故该班学生读书册数的中位数为：（册． 答：该班学生读书册数的中位数为6.5册． 【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，解答本题的关键在于熟练掌握求解平均数的公式和中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 三十九．众数（共2小题） 57．某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题： （1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数； （2）写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值； （3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于4件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数． 【分析】（1）将合格品数从小到大排列，找出第25与26个数，求出平均数即可求出中位数； （2）众数要看剩余的18人可能落在合格品数的哪一组，分五种情况进行讨论：①合格品数是5、6的均为9人； ②合格品数是5的有10人，合格品数是6的有8人； ③合格品数是5的有8人，合格品数是6的有10人； ④合格品数是5的超过10人，合格品数是6的不足8人； ⑤合格品数是5的不足8人，合格品数是6的超过10人； （3）50名工人中，合格品低于4件的有16人，除以50人求出百分比，再乘以400即可求出所求． 【解答】解：（1）把合格品数从小到大排列，第25，26个数都为4， 中位数为4； （2）众数要看剩余的18人可能落在合格品数的哪一组，有以下几种可能： ①合格品数是5、6的均为9人，则合格品数的众数为4； ②合格品数是5的有10人，合格品数是6的有8人，则合格品数的众数为4和5； ③合格品数是5的有8人，合格品数是6的有10人，则合格品数的众数为4和6； ④合格品数是5的超过10人，合格品数是6的不足8人，则合格品数的众数为5； ⑤合格品数是5的不足8人，合格品数是6的超过10人，则合格品数的众数为6． 总之，合格品数的众数可能为4；5；6；4和5；4和6； （3）这50名工人中，合格品低于4件的人数为（人， 故该厂将接受再培训的人数约有（人． 【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键． 58．（2020春•和县期末）体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取10名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示． （1）求女生进球数的平均数、众数； （2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？ 【分析】（1）根据平均数、众数的定义进行计算即可； （2）先算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数． 【解答】解：（1）女生进球数的平均数：； 女生进球数的众数：进球3个的人数最多，则女生进球的总数为3； （2）优秀率：（人， 答：全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为240人． 【点评】本题考查了众数、用样本件总体以及加权平均数，掌握平均数、众数的定义以及优秀率的求法是解题的关键． 四十．方差（共1小题） 59．（2023春•陇县期末）甲、乙两人参加射箭比赛，两人各射了5箭，他们的成绩（单位：环）统计如下表． 第1箭 第2箭 第3箭 第4箭 第5箭 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 6 5 7 （1）分别计算甲、乙两人射箭比赛的平均成绩； （2）你认为哪个人的射箭成绩比较稳定？为什么？ 【分析】（1）根据平均数总数总份数，只要把甲乙的总成绩求出来，分别除以5即可；据此解答； （2）根据求出的方差进行解答即可． 【解答】解：（1）两人的平均成绩分别为， ． （2）方差分别是 ， ， ， 乙更稳定． 【点评】本题主要考查平均数的求法和方差问题，然后根据平均数判断解答实际问题． 四十一．标准差（共1小题） 60．一次期中考试中，、、、、五位同学的数学、英语成绩有如下信息： 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 英语 88 82 94 85 76 85 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分个人成绩平均成绩）成绩标准差． 从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？ 【分析】（1）由平均数、标准差的公式进行计算即可； （2）代入公式：标准分（个人成绩平均成绩）成绩标准差计算，再比较即可． 【解答】解：（1）数学平均分是：分， 英语标准差为：； （2）数学标准分，英语标准分，， 数学更好． 【点评】本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$