专题04 整式乘法与因式分解（七大题型）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（苏科版）

专题04 整式乘法与因式分解 整式乘法 1．（2023秋•海安市期末）若（x﹣5）（x+3）＝x2+mx+n，则mn的结果是（　　） A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30 2．（2023春•淮安区校级期末）如图，有A、B、C三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片的张数分别为（　　） A．5、3、6 B．6、3、7 C．6、2、7 D．5、2、6 3．（2023春•句容市期末）﹣2m2•3m3＝　　． 4．（2023春•常州期末）计算：（x﹣2）•2x＝　　． 完全平方公式 1．（2023春•淮安区校级期末）下列各式计算正确的是（　　） A．a2⋅a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2 C．x7﹣x3＝x4 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6 2．（2023春•东海县期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 3．（2023春•丹徒区期末）已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为 　　． 4．（2023春•泰州期末）如图，这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n （a+b≠0，n为非负整数）展开后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为（a+b）9 的展开式中，所有项系数的和是 　． 平方差公式 1．（2023春•南京期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）2 B．（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2 D．（﹣a+b）（a﹣b） 2．（2023春•常州期末）下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6 3．（2023春•广陵区校级期末）若m2﹣n2＝18，m+n＝6，则m﹣n＝　　． 4．（2023春•高邮市期末）计算：99999×100001＝　 　． 整式的化简求值 1．（2023春•灌南县期末）若a＝2023，，则代数式a2023•b2023的值是 　　． 2．（2023春•秦淮区期末）已知a2b3＝3，则（ab）2•a2b4＝　　． 3．（2023春•建邺区校级期末）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（3b+2a）（2a﹣3b），其中a＝2，b． 提公因式法分解因式 1．（2023春•淮安期末）多项式3a3b2+9a3bc分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a3b2 B．9a3b2c C．3a3b3 D．3a3b 2．（2023•海安市期末）把多项式x2y5﹣xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则n的值可能为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 3．（2023春•淮安区校级期末）分解因式：4a2﹣16a＝　 　． 4．（2023春•宝应县期末）因式分解：x2y+xy2＝　 　． 公式法分解因式 1．（2023春•盐城期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的（　　） A．x2﹣4x+1 B．x2+6x+9 C．x2﹣4x+9 D．x2+4x﹣4 2．（2023春•兴化市期末）已知二次三项式x2+mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值为　　． 3．（2023春•宝应县期末）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　　． 4．（2023•惠山区校级期末）分解因式：a2﹣16b2＝　 　． 因式分解的应用 1．（2023春•常州期末）若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75 2．（2023春•淮安区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　． 3．（2023春•江都区期末）若x﹣y+3＝0，则x2﹣xy+3y＝　　． 4．（2023春•沭阳县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①嘉嘉发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②洪淇发现：2024是“神秘数”． 一．选择题（共10小题） 1．（2023春•高邮市期末）下列各式中，为完全平方式的是（　　） A．a2+2a B．a2+a C．x2﹣2x﹣1 D．x2﹣xy+y2 2．（2023春•盐城期末）已知a2+b2＝8，a﹣b＝3，则ab的值为（　　） A． B．3 C． D．5 3．（2023春•灌南县期末）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2 4．（2023春•淮安区期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5a+7b），宽为（7a+b）的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（　　） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 5．（2023春•丹徒区期末）已知a2+a﹣4＝0，代数式（a2﹣3）（a+2）的值是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2 6．（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（　　） A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．a2+b2 7．（2023春•工业园区期末）若多项式9x2﹣mx+1是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 8．（2023春•鼓楼区期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．10xy2＝2x•5y2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 9．（2023春•海门市期末）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（　　） A．p＝0，q＝0 B．p＝﹣3，q＝﹣1 C．p＝3，q＝1 D．p＝﹣3，q＝1 10．（2023春•鼓楼区期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1S2，则a、b满足（　　） A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b 二．填空题（共10小题） 11．（2022秋•海安市期末）分解因式：x2﹣16y2＝　 　． 12．（2023春•靖江市期末）若（x+2）（x2﹣ax+5）的乘积中不含x的一次项，则a＝　 　． 13．（2023春•淮安区校级期末）若x+y＝3且xy＝1，则代数式（x﹣2）（y﹣2）＝　 　． 14．（2023春•高新区期末）已知x2+2mx+16是一个完全平方式，则m的值是 　 　． 15．（2022秋•海安市期末）计算：2ab2•a2b＝　 　． 16．（2023春•南京期末）若多项式2x3+ax2+bx﹣8有两个因式x+1和x﹣2，则a+b的值为 　 　． 17．（2023春•溧阳市期末）计算：3a（2a﹣b）＝　 　． 18．（2023春•建邺区期末）若（x+a）（x﹣3）＝x2+2x﹣b，则a﹣b＝　 　． 19．（2023春•泰兴市期末）图中三角形的面积为 　 　． 20．（2022秋•句容市期末）如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，则阴影部分的面积为　　． 三．解答题（共10小题） 21．（2023春•仪征市期末）计算： （1）（﹣2a）3•a4+a•（﹣a）6． （2）（x﹣3y）（x+y）． 22．（2023春•建邺区期末）分解因式： （1）18a2﹣32； （2）y﹣6xy+9x2y． 23．（2023春•仪征市期末）先化简，再求值：（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2，其中，n＝﹣2． 24．（2022秋•如皋市校级期末）已知整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1． （1）若A+B＝（x﹣2）2，求a的值； （2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求a的值． 25．（2023春•靖江市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求 a2+b2 的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2． ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若m+n＝3，mn＝1，则 （m﹣n）2＝　 　； （2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形BCFG与正方形ACDE，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 26．（2023春•淮安区校级期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：　 　， 方法2：　 　； （2）从中你得到什么等式？　 　； （3）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知x+y＝6，，求x2+y2的值； ②已知（2019﹣x）2+（x﹣2022）2＝49，求（2019﹣x）（x﹣2022）的值． 27．（2023春•宿豫区期末）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四数M为“勾股和数”． 例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”； 又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2023、5055是否是“勾股和数”，并说明理由； （2）请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； （3）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．当G（M）是整数，且P（M）＝3时，求出所有满足条件的M． 28．（2023春•丹阳市校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为 　 　； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若m+n＝5，mn＝3，则（m﹣n）2＝　 　； ②已知（2024﹣x）（2023﹣x）＝10，则（4047﹣2x）2＝　 　； ③将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy＝12，BG＝1，求图3中阴影部分面积的和． 29．（2023春•淮安期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 30．（2023春•高新区期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴278÷12＝232， ∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x2+3余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为 　 　； （2）已知x3+2x2﹣ax﹣10能被x﹣2整除，则a＝　 　； （3）如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式乘法与因式分解 整式乘法 1．（2023秋•海安市期末）若（x﹣5）（x+3）＝x2+mx+n，则mn的结果是（　　） A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30 【分析】先根据多项式乘多项式法则，计算（x﹣5）（x+3），再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入mn进行计算即可． 【解答】解：（x﹣5）（x+3） ＝x2+3x﹣5x﹣15 ＝x2﹣2x﹣15， ∵（x﹣5）（x+3）＝x2+mx+n， ∴m＝﹣2，n＝﹣15， ∴mn＝﹣2×（﹣15）＝30， 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． 2．（2023春•淮安区校级期末）如图，有A、B、C三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片的张数分别为（　　） A．5、3、6 B．6、3、7 C．6、2、7 D．5、2、6 【分析】利用长方形面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量． 【解答】解：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+7ab+2b2， SA＝a2，SB＝b2，SC＝ab， 所以a2、b2、ab系数分别是6、2、7． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键． 3．（2023春•句容市期末）﹣2m2•3m3＝　　． 【分析】根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【解答】解：﹣2m2•3m3＝﹣6m5． 故答案为：﹣6m5． 【点评】本题考查了单项式乘单项式法则，能熟记单项式乘单项式法则是解此题的关键． 4．（2023春•常州期末）计算：（x﹣2）•2x＝　　． 【分析】直接根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣4x． 故答案为：2x2﹣4x． 【点评】此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 完全平方公式 1．（2023春•淮安区校级期末）下列各式计算正确的是（　　） A．a2⋅a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2 C．x7﹣x3＝x4 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6 【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、幂的乘方的法则以及完全平方公式逐一计算分析即可． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，计算错误，故选项不符合题意； B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，计算错误，故选项不符合题意； C、x7和x3不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、（﹣3a2）3＝﹣27a6，计算正确，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂乘法、合并同类项、幂的乘方的法则以及完全平方公式，解题的关键是熟记相关的运算法则． 2．（2023春•东海县期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【分析】利用配方法将原代数式转化为（x﹣2y）2，再根据已知条件求值即可． 【解答】解：∵x+4＝2y， ∴x﹣2y＝﹣4， ∴x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2＝（﹣4）2＝16． 故选：D． 【点评】本题考查完全平方公式以及因式分解的应用，关键是将原代数式准确配方． 3．（2023春•丹徒区期末）已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为 　　． 【分析】把前两项分解因式，然后把a+b＝3代入，化简，然后再利用a+b表示，代入求值即可． 【解答】解：a2﹣b2+6b ＝（a+b）（a﹣b）+6b ＝3（a﹣b）+6b ＝3a+3b ＝3（a+b） ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键． 4．（2023春•泰州期末）如图，这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n （a+b≠0，n为非负整数）展开后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为（a+b）9 的展开式中，所有项系数的和是 　． 【分析】根据前几行各项系数的和归纳出（a+b）n（a+b≠0，n为非负整数）展开后各项系数和的规律进行求解． 【解答】解：由题意得， （a+b）1展开后各项系数的和为：1+1＝2＝21， （a+b）2展开后各项系数的和为：1+2+1＝4＝22， （a+b）3展开后各项系数的和为：1+3+3+1＝8＝23， （a+b）4展开后各项系数的和为：1+4+6+4+1＝16＝24， ……， ∴（a+b）n展开后各项系数的和为2n， ∴（a+b）9展开后各项系数的和为29， 故答案为：29． 【点评】此题考查了（a+b）n（a+b≠0，n为非负整数）展开后各项系数和规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 平方差公式 1．（2023春•南京期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）2 B．（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2 D．（﹣a+b）（a﹣b） 【分析】根据完全平方公式及平方差公式进行判断即可． 【解答】解：A．它可以用完全平方公式计算， 则A不符合题意； B．它可以用平方差公式计算， 则B符合题意； C．它可以用完全平方公式计算， 则C不符合题意； D．（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2，它可以用完全平方公式计算， 则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查完全平方公式和平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2023春•常州期末）下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则、平方差公式、幂的乘方的运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意； C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键． 3．（2023春•广陵区校级期末）若m2﹣n2＝18，m+n＝6，则m﹣n＝　　． 【分析】根据平方差公式将m2﹣n2化成（m+n）（m﹣n），再代入计算即可． 【解答】解：∵m2﹣n2＝18， ∴（m+n）（m﹣n）＝18， ∵m+n＝6， ∴m﹣n＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 4．（2023春•高邮市期末）计算：99999×100001＝　 　． 【分析】可将99999拆分为100000﹣1、将100001拆分为100000+1后，根据平方差公式计算即可． 【解答】解：原式＝（100000﹣1）×（100000+1） ＝1000002﹣1 ＝10000000000﹣1 ＝9999999999． 故答案为：9999999999． 【点评】此题考查的是平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 整式的化简求值 1．（2023春•灌南县期末）若a＝2023，，则代数式a2023•b2023的值是 　　． 【分析】运用乘的乘方逆运算法则对a2023⋅b2023进行变形，再将a，b的值代入求值即可． 【解答】解：a2023⋅b2023＝（ab）2023， 当a＝2023，时， 原式 ＝12023 ＝1 故答案为：1． 【点评】本题考查了积的乘方逆运算，解决本题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则． 2．（2023春•秦淮区期末）已知a2b3＝3，则（ab）2•a2b4＝　　． 【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：（ab）2•a2b4 ＝a2b2•a2b4 ＝a4b6， ∵a2b3＝3， ∴原式＝（a2b3）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握单项式乘单项式的运算法则、积的乘方法则是解题的关键． 3．（2023春•建邺区校级期末）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（3b+2a）（2a﹣3b），其中a＝2，b． 【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（2a+b）2﹣（3b+2a）（2a﹣3b） ＝4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣9b2） ＝4a2+4ab+b2﹣4a2+9b2 ＝4ab+10b2， 当a＝2，b时，原式＝4×210×（）2 10 ． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 提公因式法分解因式 1．（2023春•淮安期末）多项式3a3b2+9a3bc分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a3b2 B．9a3b2c C．3a3b3 D．3a3b 【分析】公因式的找法：多项式各项系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一项中出现的字母不能作为公因式的因式，判断即可． 【解答】解：多项式3a3b2+9a3bc分解因式时，应提取的公因式是3a3b． 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．（2023•海安市期末）把多项式x2y5﹣xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则n的值可能为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【解答】解：把多项式x2y5﹣xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则：n≥5且n是正整数， ∴n的值可能为6， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键． 3．（2023春•淮安区校级期末）分解因式：4a2﹣16a＝　 　． 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝4a（a﹣4）， 故答案为：4a（a﹣4）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．（2023春•宝应县期末）因式分解：x2y+xy2＝　 　． 【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式即可． 【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）． 故答案为：xy（x+y）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 公式法分解因式 1．（2023春•盐城期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的（　　） A．x2﹣4x+1 B．x2+6x+9 C．x2﹣4x+9 D．x2+4x﹣4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：x2+6x+9＝（x+3）2． 故选：B． 【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（2023春•兴化市期末）已知二次三项式x2+mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值为　　． 【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍． 【解答】解：依题意，得 mx＝±2×3x， 解得m＝±6． 故答案为：±6． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 3．（2023春•宝应县期末）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　　． 【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案． 【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝4×6 ＝24． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键． 4．（2023•惠山区校级期末）分解因式：a2﹣16b2＝　 　． 【分析】利用平方差公式分解． 【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）． 故答案为：（a+4b）（a﹣4b）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 因式分解的应用 1．（2023春•常州期末）若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75 【分析】首先将ab2﹣a2b提取公因式﹣ab得ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b），然后将a﹣b＝5，ab＝3整体代入即可． 【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣3×5＝﹣15． 故选：B． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式法进行因式分解，难点是整体思想在解题中的应用． 2．（2023春•淮安区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　． 【分析】根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解． 【解答】解：由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n）， ∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）． 故答案为：（2m+n）（m+2n）． 【点评】本题考查因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键． 3．（2023春•江都区期末）若x﹣y+3＝0，则x2﹣xy+3y＝　　． 【分析】提取公因式整体代入即可求出． 【解答】解：∵x﹣y+3＝0， ∴x﹣y＝﹣3， ∴x2﹣xy+3y ＝x（x﹣y）+3y ＝﹣3x+3y ＝﹣3（x﹣y） ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了因式分解中的提取公因式，整体代入能够简化运算． 4．（2023春•沭阳县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①嘉嘉发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②洪淇发现：2024是“神秘数”． 【分析】（1）判断28是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可；（2）化简（2k+2）2﹣（2k）2，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；令4（2k+1）＝2024，判断k是否是整数即可． 【解答】解：（1）假设28是“神秘数”，则： 28＝x2﹣（x﹣2）2， 解得：x＝8， ∴x﹣2＝6， ∴28＝82﹣62， 因此假设成立，28是“神秘数”； （2）①嘉嘉的发现是真的，理由如下： ∵（2k+2）2﹣（2k）2 ＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k） ＝4（2k+1）． ∴两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②洪淇的发现是假的，理由如下： 假设2024是“神秘数”，则： 4（2k+1）＝2024， 解得k＝252.5， ∵k不是整数， ∴假设不成立，2024不是“神秘数”． 【点评】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是读懂题意，理解“神秘数”的定义． 一．选择题（共10小题） 1．（2023春•高邮市期末）下列各式中，为完全平方式的是（　　） A．a2+2a B．a2+a C．x2﹣2x﹣1 D．x2﹣xy+y2 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果． 【解答】解：a2+a（a）2， 故选：B． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（2023春•盐城期末）已知a2+b2＝8，a﹣b＝3，则ab的值为（　　） A． B．3 C． D．5 【分析】将a﹣b＝3两边平方，利用完全平方公式化简，把a2+b2＝8代入计算即可求出ab的值． 【解答】解：将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9， 把a2+b2＝8代入得：8﹣2ab＝9，即ab， 故选：C． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 3．（2023春•灌南县期末）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2 【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案． 【解答】解：A、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故此选项错误； B、3ax2﹣6axy+3ay2 ＝3a（x2﹣2xy+y2） ＝3a（x﹣y）2，正确； C、2x2+3x3+x＝x（2x+3x2+1），故此选项错误； D、m2+n2，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 4．（2023春•淮安区期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5a+7b），宽为（7a+b）的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（　　） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为（5a+7b）（7a+b）＝35a2+54ab+7b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是54， ∴不够用，还缺4张， 故选：C． 【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键． 5．（2023春•丹徒区期末）已知a2+a﹣4＝0，代数式（a2﹣3）（a+2）的值是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2 【分析】根据多项式乘多项式法则即可求出答案． 【解答】解：∵a2+a﹣4＝0， ∴a2﹣3＝﹣a+1． ∴原式＝（﹣a+1）（a+2） ＝2﹣a﹣a2 ＝2﹣4 ＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查多项式乘多项式法则，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型． 6．（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（　　） A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．a2+b2 【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案． 【解答】解：S阴影部分＝S大正方形﹣4S三角形 ＝（a+b）2﹣4ab ＝a2+b2． 故选：D． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键． 7．（2023春•工业园区期末）若多项式9x2﹣mx+1是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【分析】运用完全平方式的定义进行求解． 【解答】解：∵9x2＝（3x）2，1＝12， ∴（3x）2±2×3x×1+1是完全平方式， 即9x2±6x+1是一个完全平方式， ∴m＝±6， 故选：D． 【点评】此题考查了完全平方式的确定能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 8．（2023春•鼓楼区期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．10xy2＝2x•5y2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 【分析】利用因式分解的定义判断即可． 【解答】解：A、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 9．（2023春•海门市期末）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（　　） A．p＝0，q＝0 B．p＝﹣3，q＝﹣1 C．p＝3，q＝1 D．p＝﹣3，q＝1 【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出． 【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x+q）， ＝x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q， ∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项， ∴ 解得：． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键． 10．（2023春•鼓楼区期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1S2，则a、b满足（　　） A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b 【分析】先用含有a、b的代数式分别表示S2＝a2+2b2，S1＝2ab﹣b2，再根据S1S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b． 【解答】解：由题意可得： S2b（a+b）×2ab×2+（a﹣b）2 ＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2 ＝a2+2b2， S1＝（a+b）2﹣S2 ＝（a+b）2﹣（a2+2b2） ＝2ab﹣b2， ∵S1S2， ∴2ab﹣b2（a2+2b2）， ∴4ab﹣2b2＝a2+2b2， ∴a2+4b2﹣4ab＝0， ∴（a﹣2b）2＝0， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 11．（2022秋•海安市期末）分解因式：x2﹣16y2＝　（x+4y）（x﹣4y）　． 【分析】先把x2和16y2分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣16y2 ＝x2﹣（4y）2 ＝（x+4y）（x﹣4y）． 故答案为：（x+4y）（x﹣4y）． 【点评】此题主要考查了用平方差公式进行因式分解，把x2和16y2分别写成完全平方的形式再用平方差公式分解是解决问题的关键． 12．（2023春•靖江市期末）若（x+2）（x2﹣ax+5）的乘积中不含x的一次项，则a＝　　． 【分析】首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可． 【解答】解：（x+2）（x2﹣ax+5） ＝x3﹣ax2﹣2ax+5x+2x2+10 ＝x3+（2﹣a）x2+（﹣2a+5）x+10， ∵乘积中不含x的一次项， ∴﹣2a+5＝0， 解得：a， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 13．（2023春•淮安区校级期末）若x+y＝3且xy＝1，则代数式（x﹣2）（y﹣2）＝　﹣1　． 【分析】将（x﹣2）（y﹣2）计算后代入已知数据计算即可． 【解答】解：∵x+y＝3，xy＝1， ∴（x﹣2）（y﹣2） ＝xy﹣2x﹣2y+4 ＝xy﹣2（x+y）+4 ＝1﹣2×3+4 ＝1﹣6+4 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．（2023春•高新区期末）已知x2+2mx+16是一个完全平方式，则m的值是 　±4　． 【分析】根据完全平方式的结构：a2±2ab+b2，可得出答案． 【解答】解：∵x2+2mx+16＝x2+2mx+42是完全平方式 ∴2m＝±2⋅4 解得：b＝±4， 故答案为：±4． 【点评】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的a和b的关键． 15．（2022秋•海安市期末）计算：2ab2•a2b＝　2a3b3　． 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算． 【解答】解：2ab2•a2b ＝2（a•a2）•（b2•b） ＝2a3b3， 故答案为：2a3b3． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 16．（2023春•南京期末）若多项式2x3+ax2+bx﹣8有两个因式x+1和x﹣2，则a+b的值为 　﹣6　． 【分析】根据题意，可得2x3+ax2+bx﹣8＝（x+1）（x﹣2）（2x+k）（k为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a与b，进一步求得a+b． 【解答】解：由题意知：2x3+ax2+bx﹣8＝（x+1）（x﹣2）（2x+k）（k为任意实数）． ∴2x3+ax2+bx﹣8＝（x2﹣x﹣2）（2x+k）． ∴2x3+ax2+bx﹣8＝2x3+（k﹣2）x2+（﹣k﹣4）x﹣2k． ∴k﹣2＝a，﹣k﹣4＝b，﹣2k＝﹣8． ∴k＝4． ∴a＝2，b＝﹣8． ∴a+b＝2﹣8＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 17．（2023春•溧阳市期末）计算：3a（2a﹣b）＝　6a2﹣3ab　． 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可． 【解答】解：3a（2a﹣b）＝6a2﹣3ab． 故答案为：6a2﹣3ab． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18．（2023春•建邺区期末）若（x+a）（x﹣3）＝x2+2x﹣b，则a﹣b＝　﹣10　． 【分析】先利用多项式乘多项式法则算乘法，再利用已知中的相等关系确定a、b，最后计算a、b的差． 【解答】解：（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∵（x+a）（x﹣3）＝x2+2x﹣b， ∴x2+2x﹣b＝x2+（a﹣3）x﹣3a． ∴a﹣3＝2，b＝3a． ∴a＝5，b＝15． ∴a﹣b＝5﹣15＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题主要考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 19．（2023春•泰兴市期末）图中三角形的面积为 　m2﹣4　． 【分析】根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：由题意知，三角形的面积为， 故答案为：m2﹣4． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，列代数式．解题的关键在于熟练掌握三角形的面积为：． 20．（2022秋•句容市期末）如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，则阴影部分的面积为　　． 【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把a+b＝10，ab＝20代入计算即可． 【解答】解：∵大小两个正方形边长分别为a、b， ∴阴影部分的面积S＝a2+b2a2（a+b）ba2b2ab； ∵a+b＝10，ab＝20， ∴Sa2b2ab （a+b）2ab 10220 ＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形和三角形的面积计算是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 21．（2023春•仪征市期末）计算： （1）（﹣2a）3•a4+a•（﹣a）6． （2）（x﹣3y）（x+y）． 【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2a）3•a4+a•（﹣a）6 ＝﹣8a3•a4+a•a6 ＝﹣8a7+a7 ＝﹣7a7； （2）（x﹣3y）（x+y） ＝x2+xy﹣3xy﹣3y2 ＝x2﹣2xy﹣3y2． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22．（2023春•建邺区期末）分解因式： （1）18a2﹣32； （2）y﹣6xy+9x2y． 【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可 【解答】解：（1）原式＝2（9a2﹣16） ＝2（3a+4）（3a﹣4）； （2）原式＝y（1﹣6x+9x2） ＝y（1﹣3x）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 23．（2023春•仪征市期末）先化简，再求值：（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2，其中，n＝﹣2． 【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝m2﹣9n2﹣（m2﹣6mn+9n2） ＝m2﹣9n2﹣m2+6mn﹣9n2 ＝6mn﹣18n2， 当m，n＝﹣2时， 原式＝6（﹣2）﹣18×（﹣2）2 ＝﹣2﹣72 ＝﹣74． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（2022秋•如皋市校级期末）已知整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1． （1）若A+B＝（x﹣2）2，求a的值； （2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求a的值． 【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5 ＝x2+3x+5， ∴A+B ＝x2+3x+5+ax﹣1 ＝x2+（3+a）x+4， ∵A+B＝（x﹣2）2， ∴x2+（3+a）x+4 ＝x2﹣4x+4， ∴3+a＝﹣4， ∴a＝﹣7； （2）∵A＝x2+3x+5，B＝ax﹣1， ∴A﹣B ＝x2+3x+5﹣（ax﹣1） ＝x2+（3﹣a）x+6， ∵A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3）， ∴x2+（3﹣a）x+6 ＝（x﹣2）（x﹣3） ＝x2﹣5x+6， ∴3﹣a＝﹣5， ∴a＝8． 【点评】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 25．（2023春•靖江市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求 a2+b2 的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2． ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若m+n＝3，mn＝1，则 （m﹣n）2＝　5　； （2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形BCFG与正方形ACDE，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【分析】（1）先求出m2+n2，再求（m﹣n）2即可； （2）设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，将AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积都转化为m，n的表达式，再求解即可， 【解答】解：（1）∵m+n＝3，mn＝1， ∴（m+n）2＝9，2mn＝2． ∴m2+n2+2mn＝9， ∴m2+n2＝7， ∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝7﹣2＝5； 故答案为：5． （2）设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n， ∵AB＝6， ∴m+n＝6， ∵两正方形的面积和为20， ∴m2+n2＝20， ∵（m+n）2＝36， ∴m2+n2+2mn＝36， ∴20+2mn＝36， ∴mn＝8， ∴△AFC的面积mn8＝4． 【点评】本题主要考查了学生的模仿能力和转化能力． 26．（2023春•淮安区校级期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：　a2+b2　， 方法2：　（a+b）2﹣2ab　； （2）从中你得到什么等式？　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　； （3）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知x+y＝6，，求x2+y2的值； ②已知（2019﹣x）2+（x﹣2022）2＝49，求（2019﹣x）（x﹣2022）的值． 【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可； ②设a＝2019﹣x，b＝x﹣2022，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，然后利用求ab即可． 【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2， 方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积， 即（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）在（1）两种方法表示面积相等可得， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）①∵， ∴xy＝6， 又∵x+y＝6， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝62﹣2×6 ＝36﹣12 ＝24； ②设a＝2019﹣x，b＝x﹣2022，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3， ∴ ＝﹣20， 答：（2019﹣x）（x﹣2022）的值为﹣20． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键． 27．（2023春•宿豫区期末）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四数M为“勾股和数”． 例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”； 又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2023、5055是否是“勾股和数”，并说明理由； （2）请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； （3）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．当G（M）是整数，且P（M）＝3时，求出所有满足条件的M． 【分析】（1）根据勾股和数的定义，通过计算说明即可； （2）根据勾股和数的定义，写出一个数； （3）根据已知条件，求出c+d和10+b的值，然后分类讨论，求出a，b，c，d，最后求出M． 【解答】解：（1）∵22+32＝13，20≠13， ∴2023不是“勾股和数”， ∵52+52＝50， ∴5055是“勾股和数”； （2）例如：1323就是一个“勾股和数”； （3）由题意可知：0≤c≤9，0≤d≤9，是整数，， ∴c+d＝9或18，10a﹣2cd+b＝9， ∴当c＝0时，d＝9，cd＝0，10a+b＝9， 当c＝1时，d＝8，cd＝8，10a+b＝25， 当c＝2时，d＝7，cd＝14，10a+b＝37， 当c＝3时，d＝6，cd＝18，10a+b＝45， 当c＝4时，d＝5，cd＝20，10a+b＝49， 当c＝5时，d＝4，cd＝20，10a+b＝49， 当c＝6时，d＝3，cd＝18，10a+b＝45， 当c＝7时，d＝2，cd＝14，10a+b＝37， 当c＝8时，d＝1，cd＝8，10a+b＝25， 当c＝9时，d＝0，cd＝0，10a+b＝9， 当c＝0时，d＝0，cd＝0，10a+b＝9， 当c＝9时，d＝9，cd＝81，10a+b＝171， 综上可知：10a+b＝9或25或37或45或49或171， 由题意可知：0＜a≤9，0≤b≤9， 当10a+b＝9时， 当a＝1，则b＝﹣1（不合题意舍去）， 当a＝2，则b＝﹣11（不合题意舍去）， ••• 综上随着a的增大，b值越来越小，都是负数，不合题意，故舍去； 当10a+b＝25时， 当a＝1，则b＝15（不合题意舍去）， 当a＝2，则b＝5， 当a＝3，则b＝﹣5（不合题意舍去）， 当a＝4，则b＝﹣15（不合题意舍去）， 当a＝5，则b＝﹣25（不合题意舍去）， ••• 综上：符合题意的有a＝2，则b＝5； 当10a+b＝37时， 当a＝1，则b＝27（不合题意舍去）， 当a＝2，则b＝17（不合题意舍去）， 当a＝3，则b＝7， 当a＝4，则b＝﹣3（不合题意舍去）， 当a＝5，则b＝﹣13（不合题意舍去）， ••• 综上：符合题意的有a＝3，则b＝7； 当10a+b＝45时， 当a＝1，则b＝35（不合题意舍去）， 当a＝2，则b＝25（不合题意舍去）， 当a＝3，则b＝15（不合题意舍去）， 当a＝4，则b＝5， 当a＝5，则b＝﹣5（不合题意舍去）， ••• 综上：符合题意的有a＝4，则b＝5； 当10a+b＝49时， 当a＝1，则b＝39（不合题意舍去）， 当a＝2，则b＝29（不合题意舍去）， 当a＝3，则b＝19（不合题意舍去）， 当a＝4，则b＝9， 当a＝5，则b＝﹣1（不合题意舍去）， ••• 综上：符合题意的有a＝4，则b＝9； 当10a+b＝171时， 当a＝1，则b＝161（不合题意舍去）， 当a＝2，则b＝151（不合题意舍去）， 当a＝3，则b＝141（不合题意舍去）， 当a＝4，则b＝131（不合题意舍去）， 当a＝5，则b＝﹣1（不合题意舍去）， ••• 综上：没有符合题意的； ∴求出的四位数分别为： 2518，2581（不是勾股和数）， 3772，3727（不是勾股和数）， 4536，4563（是勾股和数）， 4945，4954（不是勾股和数）， ∴符合G（M）是整数，且P（M）＝3的勾股和数M是：3772，3727． 【点评】本题主要考查了数与式的新定义，解题关键是理解勾股和数的实际含义． 28．（2023春•丹阳市校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若m+n＝5，mn＝3，则（m﹣n）2＝　13　； ②已知（2024﹣x）（2023﹣x）＝10，则（4047﹣2x）2＝　41　； ③将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy＝12，BG＝1，求图3中阴影部分面积的和． 【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得一个等式即可； （2）①先求出m2+n2，再将（m﹣n）2用m2+n2和mn表示即可； ②设2024﹣x＝m，2023﹣x＝n，再转化为上问即可； ③将图3中阴影部分面积的和转化为梯形AFDE的面积再表示为x，y的代数式求解即可． 【解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， （2由（1）得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝52﹣4×3＝13． 故答案为：13． ②设2024﹣x＝m，2023﹣x＝n， 则m﹣n＝1，4047﹣2x＝m+n， ∵（2024﹣x）（2023﹣x）＝10， ∴mn＝10， ∴（4047﹣2x）2＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝12+4×10＝41． 故答案为：41． ③∵FG＝FE，BG＝ED，∠BGF＝∠DEF＝90°， ∴△BFG≌△DEF， ∴△BFG的面积＝△DEF的面积， ∴图3中阴影部分面积的和＝梯形AFDE的面积（y+x）（x﹣y）， ∵BG＝1，xy＝12， ∴x﹣y＝1， ∴（y+x）2＝（y﹣x）2+4xy＝12+4×12＝49， ∴y+x＝7， ∴图3中阴影部分面积的和7×1． 故答案为：． 【点评】本题主要考查学生数形结合的能力以及转化的数学思想． 29．（2023春•淮安期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 30．（2023春•高新区期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴278÷12＝232， ∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x2+3余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为 　x+3　； （2）已知x3+2x2﹣ax﹣10能被x﹣2整除，则a＝　3　； （3）如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案． 【解答】解：（1）列竖式如下： ∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3， 故答案为：x+3； （2）列竖式如下： ∵x3+2x2﹣ax﹣10能被x﹣2整除， ∴2（8﹣a）﹣10＝0， 解得：a＝3， 故答案为：3； （3）能， 根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2， ∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2， 列竖式如下： ∵余式为0，∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b， ∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）． 【点评】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式＝除式×商式+余式． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$