2024届吉林省吉林市第一中学高三一模数学试题

2024年（21级）吉林一中适应性训练（一） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 6. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程的两个复数根分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m与n相交或异面 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则m与n平行或相交或异面 11. 若x，．且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为__________. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分） 15. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动． （1）证明：； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 16. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 17. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. （1）求和. （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 （3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定的最小值 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． （1）求椭圆的方程． （2）设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为，求证：； 2024年（21级）吉林一中适应性训练（一） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】165 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. 4 ②. ## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分） 【15题答案】 【答案】（1）连接并延长，交于，交圆柱侧面于， ，为圆柱的高， 两两垂直，以为原点，过点做平行线为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ，， 在中，由射影定理得 ， ， 从而， ， 设，， ， . （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 有关； （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）可知． 设，直线的方程为． 由，得， 则，所以． 由，得， 所以，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即．易知． 设，则， 则．① 又点在直线上，所以， 则， 所以，则． 整理，得．②由①②，得． 所以，则，所以，故． 【19题答案】 【答案】（1），. （2） 由（1）可知，， 所以直线的方程为：， 化简得：. 所以， 所以， 所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024年（21级)吉林一中适应性训练数学参考答案 一、选择题： 1.B 因为A∩B中只有2个元紫，则A∩B={0,1},所以1≤a<2. 2A因为“a/仍，所以2x2=18,解得x=±3，所以“x=3”是“a/店”的充分不必要条件， .故选A. 3.B按照3o原则可知：488≤500-3σ，解得。≤4，所以σ的最大值为4，故选B 4.C,将6个数由小到大排列，中位数是第3个数和第4个数的平均数.因为 x∈{1,2,3,4,5,6}，且中位数为4，所以第3个数和第4个数只能是3,5，x中 的较小的两个数，而3+5=4，故x≥5，即x只能取5和6，故所求概率为2= 2 9631 故选C 5第一种情况：当丙为第一名时，有A;=6种：第二种情况：当丁为第一名时，有A}=6种： 第三种情况：当戊为第一名时，.有A×A2=12种，所以共有：6+6+12=24种，故选B. 6.·D 如图，在△OAC中，BD∥0C,|BD=2IOC1=2,cos∠ODB =0=子，es∠c0A=-cs∠0DB=-}AC1= √1OC+1OA-2OC·1OA·cos∠C0A=6,所以1BC= 2 7.蜘图1，设双曲线C的右焦点为F',连接PF,MF,NP',:∠OFM=∠0MF, OM HOFHOF'l,MF⊥MF.又O为MN的中点，四边形MFNF为矩形.设 INFx,NP 4x PF=3xNF'2a+xPF2a+3x. 1PWP+1NFP=|PF'P,∴(4x)2+(2a+x2=(2a+3x)},解得： x=a.又NF+lNF'PFF'，.a2+(Ba2=(2c2，即 10d=4,所以双曲线c的商心率e=三.，故选B. 42 1/8 8.D【解析】fx)=e-cos(x,易知fx)是偶函数. 当xo0时，f)=e+sm 当0<≤2时，显 然fr闭>0：当>2时.e>e,-受≤n[爱) 2. 所以f"(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调 递增.设函数约=，则=， 当 0<x<e时，h'(x)>0;当x>e时，(x)<0.所以 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o∞)上单调递减.故 ne、n2, 则21ne>eln2,所以e2>n2°，即 e2>2，故e2>2°>4>1，故f(1)<(2》<f(e2).故D 二择题： ).颈A:因为三，和，互为类轭复数，所以=，放A正确：选项B:由韦达定理得： 名+2=-2，故B错误；选项C:因为和z2互为共轭复数，所以名，名，P,故C正确： 选项D:由韦达定理得：3+22=-2,2=3，则(3，-22)2=（名+，2-4z2兰-8，所以 |三，-名2仁2V2，故D正确，故选ACD 10.ABD【解析】选项A:若m1a，n∥a,则m与n相 交或异面，A正确. 选项B:若m⊥a,hm,则n上Q.又n⊥B,a, B是两个不同的平面。所以aHB,B正确. 选项C:若上a,n上n,则nla或ncc,故C 错误. 选项D:若n∥a,u∥B,nMB,则m与n平行或相 交或异面，故D正确.故选ABD. 2/8 11.ABD 三、填空题： 2.lb5T详解】因为二项式(1+x”展开式的通项为T,=Cx(0≤r≤n且r∈N), 又(1+x)}2+(1+x)2+…+(+x)°=a+4x+a2x2+…+aox0, 所以4=C经+C子+C+C+C+C2+C+C+C2 =Cg+C号+C+C3+C%+C%+Cg+C%+C。=1b5 以.罗因为)的个对称中心为后以所以有2x爱+=红店eZ,即=骨+红名Z @.又因为倒在0引上单第，所有(@音+9小[受+2+2必5ez 2-元+2k,元 即 2 2 +经+2 得到5+24，≤p≤-若+2%么∈2@.又因为9>0，所以结 合①②知：”的最小值为5 3 14. 4t竖 延长AF交抛物线E于点D,连接CD,过点A作AH⊥x轴于点H,由抛物线的性质结 论可知：直线CA与CD关于x轴对称.又因为BF为∠AFC的角平分线，所以 ∠AFB=∠CFB=∠CFD=60°，所以∠AFH=60°，由焦半径公式得： 2 1MF卡1-cos∠FH1-o60=4；则H=25FH=2.又因为FL0),所以 43,2)或46，-2.又因为C-,0,所以直线1的斜率k=2B-0=5或 3-(-102 k=25-0.- 3-(-)2 ,所以直线1的斜率为± 3/8 四、解答题： 15.(3分) 【序解】(1) x 连接A0并延长，交BC于M,交圆柱侧面于N, AO1BC,O0,为圆柱的高， ∴4 BCOO两两垂直，以O,为原点，过点O,做C,平行线为x轴，以AO为y轴，以O,0为=轴，建 立如图所示空间直角坐标系O-, -1份 O0,=4=W=6,AB=4C=√30， 在△ABC中，由射影定理得AC2=AM·AW=30三AM=5, OM=AM-AO=2, 从而CM=BM=VN3o-5子=5， 、4分 44(0,-3,0).B(5,26,C(52,6)BC=(-2W5,0,0) 设P(0,02),AP=(0.8) .AP.BC=0, .BC⊥PA -…6 (2)电(1)可得，丽=（5，-2,1-6)， “-m9+万+5+4+(2-6，得=5， 即点P是线段O,O的中点， 一一分 4p=(0,33),丽=（5，-2,3到 设平面APB的一个法武为n=(x,以，=)， [3y+3=0 则5-2y-3=0 取y,两=5-小 …9分 设BC的一个方向向量为丽=(L,0,0),于是得： 0分 cos,列 5 +12+1 设Bc与平面4PB所成角为0，则in0=os元=工 所以BC与平面APB所成角的正孩值为叵 11 4/8 16.（15喻1 解：(1)由正弦定理得： 3sinC-sin B=ten A+cosB, sinA 所以3sinC sin B sin A 4……（2分) sin AcosB cos B cosA 所以5sinc sinA sin B sin AcosB+cosAsinB sin(+B)sinC sin AcosB cosA'cos B cos Acos B cos Acos B cosAcos B 化简得：n4 =5,所以8n月=3.…4…(5分） cosA 义因为Ae(0,x),所以A= 3 (2)由正弦定理得： a b 26 =42, sinA sin B sinC 所以b=4V2sinB,c=42sinC, …(8分) 所以5ar=bcsin=85sn8smC=5s编Bs(得号- =4月cos-os2a-】=45ca2-r25. (11分) 又因为△ABC为锐角三角形，所以 所以 0B<经 所以B(任引，所以28-号e司行到引 小………（3分） m以m2-剖经小 所以=45os2B-}+25ea点6同 4…(15分) 【另注】第(2)问也可以用几何意义说明： 于A=智且a=26, 所以点A的轨迹为△BC外接圆O的一部分，即弦BC所对的优弧 当AO1BC时，此时△ABC的面积最大为6V5: 当AB⊥BC或AC⊥BC时，此时△ABC的面积最小为4W5, 由于△ABC为锐角三角形，所以取不到最小值： 因此S∈(4V3,6√].也可根拥实际情况酌情给分. 5/8 《5分) 17.解，1)因为PAB)=号，P(B1A)=吾，所以P(A1E=号，PB1A=着 …1分 P丙B)·P(B=P(B到丙)·P(不，解得PA)=号，所以P(A)=子 …2分 P(A)=P(B)·P(AIB)+P(B)·P(AIB),解得P(A|B)= ………4分 (2) 期宋统考中的数学成线 个性化错题本 合计 及格 不及格 您立 20 2 米建立 8 12 合计 品 12 36 小…6分 签假设为H。:学生期味统考中的数学成锁与建立个性化错题本无关 根据列哦表中的数据，经计算得到7=36X08=9>7.879=ns·…9分 24×12×12X24 根据小概率值a=0,005的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为学生期末统考中的数 学成缘与建立个性化错概本有关，此推断犯错误的概率不大于0,005。…0分 X=产德-特品 k(a+b+c-d)(ad-b)2 =9k≥10,828.解得k≥0.，28 3分 要使新列联表中的数据都为整数，则需长∈Z……4分 又因为4≥028X4≈4.：所以转的最小慎为5放的最小值是是 9 …15分 9.17分) 【解析】(1)设椭圆E的方程为上+ +6=(a>b>0). 2 1+ 由题意可知 a2 4621 解得a2=4 √3a=2b, 1b2=3 放椭圆E的方程为少十 =1. …4份 4 3 (2)证明：由(1.)可知A(0,-2) 设C(x,y)、D(x2,y2)、M(x,y),直线CD的方程 为y=x+4. 上+ 由43 =1得(3k2+4)x2+24+36=0. y=x+4 则△=(24k)2-4(3k2+4)×36=144(k2-4)>0, 6/8 24k 36 %+五■一3玩2+4,3玩+4，所以>4. …分 由∠AMD=2∠BAM、得∠ABM+∠BAM=2∠BAM,: 所以∠ABAM=∠BAM,则IAM曰BMI, 所以点在线段AB的垂直平分线y=1上，即y。=】· 易知品=冬 ·0方 设CM=A而， 则(x一，y%一)=2(x2-x0一y%)· 则x一龙={龙2一x》.① 又点M(。,)在直线CD上，所以1=。+4， 36 3722× 则为=一友=246 = 3k2+4=2x应 24k X1+2 3k2+4 所以x。(x1+x2)=2x,则x2X一为x2=2一为。 整理得一x=立(x2一).② X2 由①②，得2=名 ·(4の 所以CM=D.则CM=五， X2 MDx2 所以BCI-五=ICMI IBDI为21MDI9 故IBCIMD=BDCM} …7分 7/8 19.17份) 【详解】（1)曲线C.上点乃(xm,ym)处的切线的斜率为k。“yx=3x子， 故得到的方程为y-y。=3x子(x一)， …2 ymx3 联立方程 y-yn▣3x(x-xw),消法y得：x3-3x2·米+2x=0, ya=x 化简得：(x一xn)）2.(x+2xw)▣0，所以：×=龙或*兰一2xn, …分 由x=xm得到点n的坐标(xm,yn), 由x=-2xn就得到点尸的坐标(-2n,(-2xn)）, …6喻 所以：xw=一2x, 故数列{x}为首项为1，公比为-2的等比数列， …7份 所以：x=(-2)，=(-8): …9喻 (2)(I)由(1)知：PH-2y,(-8）,P.【(-2r,(-8y）, …w喻 所以直线，的方程为：y-(-8r=一-8y"” (-29--2ymx-(-2）, 化简得：34x-y-2(8)=0, …一1分 d5-42r-←8r-2( 27.81278-1 V3.4y+-月 .49+32西=92， …喻 ” 文岭 d da …汾 8/8