专题01 空间向量表示及运算（三类常规题型，30道强化练习题）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题01 空间向量表示及运算 题型01 空间向量数量积运算 题型02 空间向量线性运算 题型03 空间向量的共面问题 题型01 空间向量数量积运算 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 2．（23-24高二下·重庆·期中）空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二下·四川·阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 9．（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．在上的投影向量的模为 题型02 空间向量线性运算 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（    ）      A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西新余·期末）已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 7．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·河北·期中）如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 10．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 题型03 空间向量的共面问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽马鞍山·开学考试）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）已知非零向量不共线，如果，则四点（    ） A．共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．共面 D．不共面 6．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 10．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则，，，四点共面 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11．（23-24高二上·江苏·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．与夹角为钝角，则的取值范围是 B．在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点对称点的坐标为 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．任意空间向量满足 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量表示及运算 题型01 空间向量数量积运算 题型02 空间向量线性运算 题型03 空间向量的共面问题 题型01 空间向量数量积运算 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 2．（23-24高二下·重庆·期中）空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性即可求得. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为. 故选：B 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 又向量在基底下的坐标为，则， 所以，即， 所以解得 所以向量在基底下的坐标为. 故选：B. 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则，所以， 所以， ， 由图可知，， 所以为锐角等价于， 所以 又，解得. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高二下·四川·阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 【答案】BCD 【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合两点间距离公式可求D. 【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误； 点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 关于原点的对称的点的坐标为，故C正确； 两点间的距离为，故D正确. 故选：BCD 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 【答案】AC 【分析】根据空间向量的运算求得正确答案. 【详解】对A，，A选项正确； 对B，，B选项错误； 对C，，C选项正确； 对D，， 所以向量的夹角为，D选项错误. 故选：AC 9．（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【分析】求出向量坐标，，，由空间向量共线定理判断A，求出判断B，根据向量夹角公式计算判断C，求出在上的投影，其绝对值为投影向量的模，判断D． 【详解】由已知，，， ，因此与不共线，A错； ，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确； ，， ，C错； 在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确 故选：BD． 题型02 空间向量线性运算 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合向量的加法与减法线性运算，将表示成以为基底的向量，进而得解. 【详解】由题可知，，又因为为中点，所以， . 故选：D 2．（23-24高二上·江西新余·期末）已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 又， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案. 【详解】. 故选：B. 4．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量数量积的运算律计算即可． 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 7．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 二、多选题 8．（23-24高二上·河北·期中）如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：，A正确，B不正确． ，C正确，D不正确． 故选：AC 9．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 10．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 题型03 空间向量的共面问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可. 【详解】由于共面，则存在，使得， 又， 故， 故，解得. 故选：D. 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理易求得的值. 【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得. 故选：B. 3．（23-24高二下·安徽马鞍山·开学考试）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：，若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D 4．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】 是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 5．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）已知非零向量不共线，如果，则四点（    ） A．共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理即可得解. 【详解】因为， 显然不共线，则三点不共线， 所以， 所以共面， 又为公共始点，所以四点共面. 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 二、多选题 7．（32-24高二下·湖北武汉·期中）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 【答案】BD 【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立. 【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量. 若与不共线，则不能表示，故A项错误； 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确； 对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误； 对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确. 故选：BD. 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 【答案】BC 【分析】选项A，直接求出点关于平面的对称点，即可判断出选项A的正误；选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出，从而可判断出选项B的正误；选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，点关于平面的对称点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且，所以，得到，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确， 对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且时，四点共面，所以选项D错误， 故选：BC. 10．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则，，，四点共面 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】首先分析题意，利用投影向量，共面向量基本定理，向量的基底，向量的正交逐个选项分析判断即可. 【详解】对于A：由于 则在的投影向量为,故A错误; 对于B:由于点G为的底面的重心，设点D为BC的中点，故 整理得故 故故B正确； 对于C：由于对于 故四点不共面，故C错误. 对于D: 在单位正交基底下的坐标为,即 所以在基底下满足 整理得解得故，解得， 则在基底下的坐标为故D正确. 故选：BD 11．（23-24高二上·江苏·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．与夹角为钝角，则的取值范围是 B．在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点对称点的坐标为 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．任意空间向量满足 【答案】BC 【分析】 利用空间向量的概念与运算性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由，可得，解得； 由共线可得，即有，，解得， 所以的取值范围是，且，故A错误； 对于选项B：点，点关于坐标原点对称点的坐标为，故B正确； 对于选项C：，满足，故四点共面，故C正确； 对于选项D： 表示与共线的向量，表示与共线的向量，二者不一定相等，故D错误. 故选：BC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$