湖北省襄阳市第四中学2024届高三下学期高考最后一次数学测试题

绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试 数 学 本试卷满分150分,考试用时120分钟 = 注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚,并认真核准准考证号条 形码上的以上信息,将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均 无效。 3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上 斑年 作答;字体工整,笔迹清楚。 K 4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 已知集合A={xllx<3,xe乙,B={xy=ln(x-1),则ACB= ) B.(-1,0,1) C. f-2,-1,0,1) A.(-2,-1,0,1,2 D. (-2,-1.0 2. 已知指数函数y=a{(a>0且a;1)是减函数,若m=a2,n=2,p=log。2,则m n,p的大小关系是( , 端 C. n>p>m A. m>n>p B.n>m>p 设数(x)co□{_),下列结论误是( D. pnm _ □ A. f(x)的一个周期为-2π C. f(x+π)的一个零点为x- D./(1)(#)单词 已知圆C:x2+2x+y2-1-0,则直线l:x+m(y-1)=0(mER)与圆C( 4 ) A.相离 B.相切 C. 相交 D. 相交或相切 5. 设,BR,则“cos②2a+)cos+sin2a+p)sin)=sin}+c)co-an)-co+c)sin-a)" 是“a=kn+"(ke乙)”的()条件 8 C.充要 A. 充分不必要 B.必要不充分 D. 既不充分也不必要 6. 已知等比数列fa.的前n项和为S,若S。+S4=140,且S24=13S,则S6=( __ 一斑 B. -30 C. 30 A.40 D. -30或40 数学试题 第1页(共4页) 轴为直径作圆O,截直线PF的弦长为、3,则C的离心率为 _ C. 8. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色,白色,黑色,蓝色的球各两个,从中随机选4 个球,则在已有两个球是同一颜色的条件下,另外两球不同色的概率为( ) C. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9 下列说法正确的有( A. 若事件A和事件B互斥,P(AB)=P(A)P(B) B. 数据2,7,4,5,16,1,21,11的第70百分位数为11 C. 若随机变量~N(6.o),P(6<7)=0.42,则P(>7)=0.1 D. 若y关于x的回归方程为=0.3-0.7x,则y与x是线性负相关关系 10.下列说法正确的有( - A.若复数z,乙2满足z.-z2>0,则乙,>z B. 若复数z,z满足z+z=z-乙2,则z·-0 C. 若向量满足+--,则-=0 11. 如图,抛物线C的顶点为A,焦点为F,准线为,焦准距为4;抛物线广,的顶点为B,焦点也为F 准线为,焦准距为6.C.和C,交于P、O两点,分别过P、O作直线与两准线垂直,垂足分别为 M、N、S、T,过F的直线与封闭曲线APBO交于C、D两点,则下列说法正确的是( A. lAB=5 B. 四边形MNST的面积为206 C. FS.FT-0 D. [CD的取范因为21 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的展开式中,含x2的项的系数是_. 校锥的外接球的表面积为_ 14. 在AABC中,AB=AC,点D在线段BC上,AB1AD,BD=3,CD=1,点M是AABC外接圆 上任意一点,则AB:AM最大值为 数学试题 第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知f(x)=lnx+a(1-x). (1)讨论/(x)的单调性: (I当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围. 16.(本小题15分) “稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努 力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”......当读到这些话时,你会切 身体会到读书破万卷给予我们的力量,为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学 生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制 成如图所示的频率分布直方图 频率/组距 0 24 6 81012141618周平均阅读时间/小时 (①求a的值; (I)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在(12,14],(14.16],(16,18] 三组内的学生中,采用按比例分配的分层抽样方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记周平均 阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求x的分布列和数学期望 (III)以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰 有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k-0,1,2,.-20.当P(k)最大时,写出k的值. 数学试题第3页(共4页) 17.(本小题15分) 如图,圆台下底面圆O的直径为AB,C是圆O上异于A.B的点,且 BAC=30”,MN为上底面圆O'的 一条直径,△MAC是边长为6的等边三角形,MB-43. (1证明:平面MBC1平面MAC; (ID求平面MBC和平面NAB夹角的余弦值 E 18.(本小题17分) 已知以下事实:反比例函数y- (k;0)的图象是双曲线,两条坐标轴是其两条渐近线. (II)已知点A是曲线C的左顶点.圆E:(x-1){+(y-1){}=r2(r>0)与直线l:x=1交于P、0两 点,直线AP、4O分别与双曲线C交于M、N两点:试问:点A到直线MN的距离是否存在最大值? 若存在,求出此最大值以及此时,的值:若不存在,说明理由 19.(本小题17分) 已知各项均为正整数的有穷数列A.:a,a2,,a.(n>3)满足:V1<i<j<n,有a*a.若a.等 于a+a(1<i<j<n)中所有不同值的个数,则称数列A.具有性质P. (1)分别判断下列数列是否具有性质P; ①A:3,1,7,5; ②A:2,4,8,16,32. (II)已知数列A:2,4,8,16,32,m具有性质P,求出m的所有可能取值 (III)若一个数列A2024:,a,.,2024具有性质P,则a2o4是否存在最小值?若存在,求出这个最小 值,并写出一个符合条件的数列:若不存在,请说明理由: 数学试题 第4页(共4页) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(四) 数学参考答案 一、单选题:1、C 2、B 3、D 4、D 5、B 6、A 7、A 8、B 6、【答案】A 【解析】因为Ss+S=140,S.=13$s,所以Ss=10,S24=130 又因为Ss.So-S.S2-S构成等比数列. 所以(S-S)?-(S:-S)S,所以(S6-10)?=(130-S)x10 解得Sig=-30或40.显然数列(an)的公比v≠1,s=ai(1-). Sio-a(1-). 1-1 1-9 7、【答案】A 【分析】利用中位线定理,结合截直线PF的弦长为、36求出P=b,再结合圆定义和勾股定理得到 a.b.c的关系,从而得解 【解析】如图,取弦AB的中点D,连接OD,则OD1AB,即OD1PF,因头 PE.1PF,所以OD//PF,因为O为FF.的中点,所以D是PF.的中点,所以 (2a-6)}oR-40#,得a-6,所以离心率为,故选:A. l-b+c2 3 8、【答案】B 【解析】记至少有两个球颜色相同的事件为A,两球颜色不同的事件为B. C+C.c?:26+4x3x427 CC?:22 4x3x424 P(/B)= 因此P(4)= ( 70 P{B)-8 所以有两个是同一颜色的球,则另外两个球不是同一颜色的概率为P(B1A)- P(4)0) 二、多选题: 10.CD 9.BD 11.ACD 11、【答案】ACD 【解析】设直线4B与直线4.,分别交于G、I,由题可知G4l-4F-2,\FB=lBH|l-3. 所以GH=MN=10.MB=5,故A正确:如图以A为原点建立平面直角坐标系,则F(2.0),4x=-2; 所以抛物线r,的方程为y?=8x,连接PF,由抛物线的定义可知|PF|=MP,PF=NP,又MN=10 所以MP=5.所以x=3,代入y=8x,可得y.=26,所以MT=lNS=46,又MN=10.$故四边$ 形MNST的面积为40、6,故B错误 数学答案 第1页(共8页) 连接OF,因为$oFl-lorl=loS l:所以 OFT= OTF, OFS=2 O$F. 根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBO的上部分,设C、D在直线/4.上 的射影分别为C.D,当点D在抛物线BP,点C在抛物线4O上时, CD=CC+DD.当C.D与A.B重合时.CD最小,最小值为CD=5 当D与P重合,点C在抛物线A0上时.因为P(3.2).F(2.0). 直线CD:y=26(x-2),与抛物线/,的方程为y*=8x联立,可得3x*-13x+12=0. .C(%)).以一--.c- 当点D在抛物线PA,点C在抛物线AO上时,设CD:x=》+2. 与抛物线/的方程为y=8x联立,可得y-8ry-16=0. 设C(x)D(xy).则y,+y.=8,则[CD=x,+x.+4=(y,+y)+8=8r*+88 当y-0.即CD1AB时取等号,故此时Cple_825. lcp_21.# 当点D在抛物线PA,点C在抛物线OB上时,根据抛物线的对称性可知 上可得]cp!e[2. 故D正确. 三、填空题:12、35 143+33 14、【解析】在△ABD中,AB:=BD}-AD:=9-AD,cos乙ADB-4D-4D BD-3 在△ADC中.由余弦定理得.AC2=AD?+CD?-2AD.CD·cos ADC =AD?+CD+2AD.CD.cos 2ADB=AD'+1+2AD.4D-5 5AD+1. ) 又因为AB=AC.所以9-AD:-54D{+1.解得AD-. BD= 3 设。4BC外接因的半径为R:由正弦定理得 sin乙ABD"3 3 所以AB·AM-4B.(A0+oV)-8.A0+8.0-6.8.0M-3+18.OM.当与 2 数学答案 第2页(共8页) . 四、解答题: 15.【解析】()/(x)的定义域为(0,+),f’(x)---a,若as0,则)’(x)→0./(x)在(0,+)是单调 递增:若a→0.则当x[0.]/(x)→0.当xe+]时(x)<0.所以(x)在(0 单调递增, (_0年词 ()由(1)知当as0时f(x)在(0,+)无最大值.当a>0时/(x)在x--取得最大值,最大值为 (])-(])+1-)-)na+a-1.因此()>2a-2esna+-1<o.令g(á)=na+a-1. 则g(a)在(0,+oo)是增函数,g(1)=0.于是,当0<a<l时,g(a)<0,当a>1时g(a)>0,因此a 的取值范围是(0.1). 16. 【解析】(1)(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)x2=1.:a=0.1. (II)由频率分布直方图可得:周平均阅读时间在(12,14].(14.16].(16,18]三组的频率之比为 0.05:0.04:0.01=5:4:1. C_C60!. P(x=1)= C=12010 .X的分布列为: X 2 3 1 (III)用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取1名学生,周平均阅读时间在(8,12]内的概率 若P(k)最大,则C最大...当k=10时,P(k)取得最大值 17. 【解析】(I).4B为圆O的直径,C是圆O上异于A.B的点,故乙ACB=90”.:CB1AC, 又: BAC=30' AC=MC-MA-6.:BC=tan BAC$AC-23. 数学答案第3页(共8页) 面MB-43.BC*+MC*=MB:BC1MC :ACOMC=C.AC.MCc平面MAC.:BC1平面MAC. ·BCc平面MBC.:平面MBC1平面MAC. (注:也可以由AB=4=MB.AC=MC.BC=BC,证明 4BC=AMBC,得出BC1MC) (II)设D为AC的中点,连接DM,DO,则AD1AC,OD1AC 由(1)可知,BC1平面MAC:所以BC1DM ·ACOBC=C,AC,BCc平面ABC,:DM1平面ABC 如图以D为原点,分别以DA.DO.DM所在直线为x轴.y轴.三轴建立空间 直角坐标系,由题意可得A(3.0.0).C(-3.0.0),B-3.23.0).M(0.0.33 .001平面ABC.:DM//OO.四边形oDMO为矩形.:N0.2535 设平面MBC的一个法向量为n=(x,y.=). MC=-3.0,-33).BC=(0,-23.o 0,令:--1,可得x-.-0. 即=(3.0.-1).设平面NAB的一个法向量为n=(xy.-),4B=(-6.23.0).AV=(-3.2V3,3V3) 令x.-3,可得y=3.-,=-1. 即n-(3.3,-1).设平面M4C与平面NAB的夹角为9 则coso= 18.【分析】(I)由题意结合双曲线的性质,即可求得答案: (II)方法一:设A(-1.0).M(x,y).N(x.):设MN:y-&+m.联立双曲线方程,可得根与系 数的关系式,进而求出P.0两点的纵坐标,结合y.+y。=2,即可求得参数m,k之间的关系,代入y=&+m, 即可求得答案: 方法二:设A(-1.0).P(1.1+r),0(.1-r),M(x,y).N(x.,) 利用AP,AO的方程求出y,x,X.,,的表达式,即可得M,N的坐标,从而求出AN的方程,可推出 过定点,即可求得答案: 方法三:设A(-1.0).P(1.1+r):O(t.l-r),M(x,y).N(x,):可得k+k=1.设M: m x+l+y=1,联立双曲线方程化简得出(1-2m)(x+1)-2n(x+1)v-=0,变形后利用根与系数的 关系可得出-_-k+kno--2n=1.求出n.即可推出AN过定点,即可求得答案.. x:+1x81 数学答案 第4页(共8页) y=x 解得{ 2x 22 V= #66)(13)_ 故实轴长为2a= (1ì)将曲线C。绕原点顺时针转”.得到曲线C,曲线C的方程为x'-y=1; (lI)方法一:设A(-1.0),M(x,y).N(x,),显然直线MN的斜率存在,设MN:y=kx+m, 联立C:x'-=1得(1-)x'-2nx-(n+1)=0, 依题意得y.+y。-2,③ 由①②③得,-2k+2m=-m’+2km-k}. 所以(m-k)(m-k+2)=0,即m=k或m=k-2; 若m-k,则MN:y=k(x+1)过点A,不合题意; 若m=k-2,则MN:y=k(x+1)-2.所以,MN恒过G(-1.-2). 所以,d=MG=2. 当且仅当MN1AG,即k=0时取得. 此时MN方程为y=-2,结合x?-v=1; 解得N(5.-2).y。=-(5-1),r=1-y。=5, 综上所述,点4到直线MN距离的最大值为2,此时圆E的半径为5 方法二:设A(-1,0).P(1.1+),O(11-,M(x,y).N(x,). 数学答案 第5页(共8页) 则:-1.40-. 4(1-) 4-(1-r)* 4-(1-*) ##,# 所以直线MN过定点G(-1.-2). 综上所述,点A到直线MN距离的最大值为2.此时圆E的半径为、5; 方法三:设A(-1.0).P(1.1+r).Q(1.1-r).M(x.y).N(x.). 曲线C的方程x--1改写为[(x+l)--=1.即(x+1)*-2(x+1)-y=. 联立直线MN的方程得(x+1)*-2(x+1)[m(x+1)+y-y*=0 所以(1-2m)(x+1):-2n(x+1)y-y-0. 若x=-1.则y=0.代入直线MN方程,无解: 则A-4n'-8m+4>0. +1x:1 在直线MN:m(x+1)--y=1中,令x--1.则--2. 所以,MV恒过G(-1.-2).所以.d.=MG-2. 当且仅当MV14G,即k=0.:.m=0时取得,此时A=1-0+4>0,符合题意 且MN方程为y--2,解得(5.-2).y。=-(5-1).=1-y。=5. 综上所述,点A到直线MN距离的最大值为2.此时圆E的半径为、5. 【点睛】难点点睛:本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用,其中的难点是求解 最值问题,解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立,利用根与系数的关系式进行化简,难点效 在于化简的过程十分复杂,计算量大,并且基本上都是有关字母参数的运算,需要有较强的计算能力. 数学答案 第6页(共8页)