专题强化二：概率解答题专题训练（22道）-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教A版2019必修第二册）

专题强化二：概率解答题专题训练（22道） 1．（22-23高一下·江苏盐城·期末）某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5.    (1)若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率； (2)在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率. 2．（22-23高一下·江苏南京·期末）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C. (1)求、、； (2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 3．（22-23高一下·江苏徐州·期末）每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. (1)若，求甲恰好胜出一轮的概率； (2)若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 4．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)若选择方案一，求甲获胜的概率； (2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由. 5．（22-23高一下·江苏南京·期末）海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：      (1)求频率直方图中的值，并估计箱产量的众数和中位数（精确到0.01）． (2)若先用分层抽样的方法从箱产量在和的网箱中抽取6个网箱，然后再从抽出的这6个网箱中任意选取2个网箱做进一步检测，求这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率． 6．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平） (2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率. 7．（21-22高一下·江苏苏州·期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. (1)试分别求出事件B和事件C发生的概率； (2)试求A、B、C只有一个发生的概率. 8．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲队轮空． (1)求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率； (2)求“一共只需四场比赛甲队就获得冠军”的概率； (3)求“需要进行第五场比赛”的概率． 9．（22-23高一下·江苏南通·期末）某校知识竞赛分初赛､复赛两轮.某班从甲､乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲的成绩（分） 100 90 120 130 105 115 乙的成绩（分） 95 125 110 95 100 135 (1)试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象； (2)初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率. 10．（22-23高一下·江苏淮安·期末）为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.    (1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数； (2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率. 11．（20-21高一上·山东威海·期末）习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级: 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人. （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少? （3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100) 12．（19-20高一上·北京房山·期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为， 所以. 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程． 13．（2023·河南·模拟预测）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： (1)估计两组测试的平均成绩， (2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 14．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：    (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有蜜柚均以20元/千克收购； B．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 15．（20-21高一下·江苏南京·期末）面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为(单位：)． （1）现有旧机床生产的零件个，其中直径大于的有个．若从中随机抽取个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率； （2）若新机床生产了个零件，零件直径有且仅有和两种，且数目相等，从中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率． 16．（2021·全国·模拟预测）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局打4个球甲赢的概率； (2)求该局打5个球结束的概率． 17．（19-20高一上·辽宁葫芦岛·期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止． (1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率； (2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率． 18．（21-22高一上·河南南阳·期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立． (1)求产品需要进行第2个过程的概率； (2)求产品不可以出厂的概率． 19．（21-22高一下·安徽·阶段练习）2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格： 科目 性别 物理 历史 合计 男 460 40 500 女 340 160 500 合计 800 200 1000 (1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系； (2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级 A B C D E 人数比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86，100］ [71，85］ [56，70］ [41，55］ [30，40］ 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示： ①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间； ②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分． 20．（21-22高一下·江苏无锡·期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 21．（21-22高一下·江苏无锡·期末）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由. （2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率. 22．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球． (1)请你写出该随机试验的样本空间； (2)记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件． ①试判断事件A与事件是否为相互独立事件； 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化二：概率解答题专题训练（22道） 1．（22-23高一下·江苏盐城·期末）某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5.    (1)若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率； (2)在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到抽取的人数分别为4人和2人，记为，和，利用列举法，结合古典摡型，即可求解； （2）给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为，结合列举法，结合对立事件的概率，即可求解. 【详解】（1）解：由于，内的学生比例为，故抽取的人数分别为4人和2人. 若分别记为，，，，和，，从这6名学生中随机抽取2名学生， 这样的样本点为共有15种情况. 其中2名发言学生都不在中的情况只有一种，故事件的概率为. （2）解：给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为， 则这样的样本点共有9个： 其中甲比乙高的分别是： 甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元这样三种情况， 所以甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率为. 2．（22-23高一下·江苏南京·期末）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C. (1)求、、； (2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 【答案】(1)、、； (2). 【分析】（1） 获得优秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失败第二跳成功，利用互斥事件的概率公式计算. （2）利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果． 【详解】（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2. 记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C. ，   ，   . ，   甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、； （2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D， .                                    甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 3．（22-23高一下·江苏徐州·期末）每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. (1)若，求甲恰好胜出一轮的概率； (2)若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. （2）（i）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出和，即可求解；（ii）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件， “甲在第二轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第一轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第二轮竞赛中胜出”为事件， 则，，，相互独立， 且，，，. 设“甲恰好胜出一轮”为事件， 则，，互斥. 当时， . 所以当，甲恰好胜出一轮的概率为. （2）由（1）知，（i）记事件为“甲、乙各胜出一轮”， 事件为“甲、乙都获得优秀”， 所以，. 因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响， 所以 ， ， 则，解得或（舍去）. 综上，，. （ii）设事件为“甲获得优秀”，事件为“乙获得优秀”， 于是“两人中至少有一人获得优秀”， 且，， 所以，， 所以. 故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为. 4．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)若选择方案一，求甲获胜的概率； (2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由. 【答案】(1) (2)方案二被选择的可能性更大，理由见解析 【分析】（1）由相互独立时间的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式即可求解， （2）列举所有基本事件，由古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A 甲获胜事件A包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为 且互斥，且每局比赛相互独立. 则，， ∴ 所以甲获胜的概率为. （2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有36个样本点，为， 它们是等可能的，故这是个古典概型. 两点数之和不大于6的样本点有15个：, 记事件C为“两点数之和不大于6”，所以. 记事件D为“点数之和大于6”，所以. 因为，所以方案二被选择的可能性更大。 5．（22-23高一下·江苏南京·期末）海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：      (1)求频率直方图中的值，并估计箱产量的众数和中位数（精确到0.01）． (2)若先用分层抽样的方法从箱产量在和的网箱中抽取6个网箱，然后再从抽出的这6个网箱中任意选取2个网箱做进一步检测，求这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率． 【答案】(1)，52.5，52.35 (2) 【分析】（1）由频率之和为1即可求解，由众数和中位数的计算即可求解， （2）利用列举法求解所有基本事件，由古典概型的概率公式,结合对立事件即可求解. 【详解】（1）由频率分部直方图可得，解得． 众数为； 前三组的频率为， 设中位数为，则， 故． （2）箱产量在和的比值为2：1，故6个网箱中有4个在中，将4个网箱记为，有2个在中，记为 从6个中抽出2个网箱，共有15种方法，都在中的有这1种， 故这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率为． 6．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平） (2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率. 【答案】(1)0.03；平均数为26； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出，再根据平均数公式计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）由题意得：， 这100名学生阅读时间的平均数为： ， 所以这100名学生阅读时间的平均数为26； （2）由直方图得：课外阅读时间为与的学生数的比为1:2， 所以，课外阅读时间在有2名，阅读时间在有4名. 记从这6名学生中随机抽取2人， 恰好有一人读书时间在为事件M 课外阅读时间在的2名学生分别记为a、b， 阅读时间在的4名学生分别记为A、B、C、D， 所以从这6人中任意抽取2人， 样本空间 ，共15个样本点， 其中，共8个样本点， 所以. 7．（21-22高一下·江苏苏州·期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. (1)试分别求出事件B和事件C发生的概率； (2)试求A、B、C只有一个发生的概率. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：， ，即， 解得：或 （2）设A、B、C只有一个发生的概率为P， 当时， 则； 当时，同理可得：， 综上：A、B、C只有一个发生的概率为 8．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲队轮空． (1)求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率； (2)求“一共只需四场比赛甲队就获得冠军”的概率； (3)求“需要进行第五场比赛”的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，打了三场比赛，乙必须输两场，且在第一轮和第三轮输掉比赛，由独立事件的乘法公式计算； （2）四场比赛甲决出冠军，乙丙均会要负两场，据此计算即可； （3）根据对立事件的概率公式计算. 【详解】（1）记事件A为甲队胜丙队，则，， 事件B为甲队胜乙队，则，， 事件C为丙队胜乙队，则，， 前三场比赛结束后，乙队被淘汰的概率为： （2）只需四场比赛甲队就获得冠军的概率为： 由于甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为， 且乙队胜丙队和丙队胜乙队的概率也相等，均为， 第一场比赛甲队轮空，以后的比赛相对于甲队，可视乙队丙队为同一人， 设甲队胜为事件，甲队轮空为事件， 所以甲队最终获胜的概率． （3）只需四场比赛就决出冠军的概率为： . 故需要进行第五场比赛的概率为：. 9．（22-23高一下·江苏南通·期末）某校知识竞赛分初赛､复赛两轮.某班从甲､乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲的成绩（分） 100 90 120 130 105 115 乙的成绩（分） 95 125 110 95 100 135 (1)试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象； (2)初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率. 【答案】(1)甲､乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定；选甲参加知识竞赛较合适 (2) 【分析】（1）根据表格数据计算平均数和方差，比较即可确定人选； （2）列举总的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概率概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，， ， ， ， 所以，， 所以甲､乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故选甲参加知识竞赛较合适. （2）在5道题中，参赛者会答的3道题分别记为，另外2道不会答的题分别记为， 记“参赛者进入复赛”为事件，参赛者从5道题中抽3道题的结果有 ，，，共10种. 进入复赛，即至少答对2道的情况有 ，，共7种. 所以参赛者进入复赛的概率为. 10．（22-23高一下·江苏淮安·期末）为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.    (1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数； (2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率. 【答案】(1)平均数23；中位数 (2) 【分析】（1）根据题意结合平均数、中位数的概念运算求解； （2）先求每组的人数，再结合古典概型运算求解. 【详解】（1）根据频率直方图可得：每组的频率依次为， 估计平均数为：. 因为， 可知中位数位于内，设为， 则，解得， 所以可估计中位数为. （2）由（1）可知：未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为； 未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为，； 从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在的情况有，，，，，，，，共8种情况， 所以恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率. 11．（20-21高一上·山东威海·期末）习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级: 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人. （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少? （3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100) 【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析. 【解析】（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t； （2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出 心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案； （3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案. 【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1， 所以，解得. （2）由（1）知， 所以调查评分在的人数占调查评分在人数的， 若按分层抽样抽取人， 则调查评分在有人，有人， 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的人经过心理疏导后， 心理等级均达不到良好的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为. （3）由频率分布直方图可得， ， 估计市民心理健康问卷调查的平均评分为， 所以市民心理健康指数平均值为， 所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力. 12．（19-20高一上·北京房山·期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为， 所以. 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程． 【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）0.94. 【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）恰有一人破译密码有两种情况：甲破译且乙没有破译和甲没有破译且乙破译，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率． 【详解】解：（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以； （2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥 所以 （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中， 和不是互斥事件， ，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率， 正确解法为：． 13．（2023·河南·模拟预测）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： (1)估计两组测试的平均成绩， (2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 【答案】(1)“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71 (2) 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案. （2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：， 解得，同理可得． 其中“田径队”的平均成绩为： ， “足球队”的平均成绩为： . （2）“田径队”中90分以上的有（人）， “足球队”中90分以上有（人）． 所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d； 在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C． 从中任选2人包含的基本事件有： ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个， 正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个， 故正、副队长都来自“田径队”的概率为． 14．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：    (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有蜜柚均以20元/千克收购； B．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 【答案】(1) (2)方案A 【分析】（1）依题意可得蜜柚质量在区间和的比为2：3，则分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个，求出从这5个蜜柚中随机抽取2个的可能情况，再求出至少有一个小于3.5千克的方法种数，由古典概率公式代入即可得出答案. （2）分别计算两种方案的收益，比较两者的大小即可得出答案. 【详解】（1）由题意得： 所以蜜柚质量在区间和的比为2：3， 所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个. 记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A 抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，，质量在区间的蜜柚分别记为，，， 则从这5个蜜柚中随机抽取2个， 样本空间，共10个样本点 解法一：事件，共7个样本点， 所以. 解法二：事件A对立事件，共3个样本点， 所以. （2）方案A好， 由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间，，，，， 的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为 （元）. 若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750， 蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为， 所以总收益为（元）. 因为， 所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A. 15．（20-21高一下·江苏南京·期末）面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为(单位：)． （1）现有旧机床生产的零件个，其中直径大于的有个．若从中随机抽取个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率； （2）若新机床生产了个零件，零件直径有且仅有和两种，且数目相等，从中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）的概率为，利用超几何分布求出结果； （2）至少有一个零件直径大于123mm的对立事件是取到的4个零件都是124mm的零件，利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个零件直径大于123mm的概率 【详解】解：（1）的概率为 ， （2）因为至少有一个零件直径大于123mm的对立事件是取到的4个零件都是124mm的零件， 所以至少有一个零件直径大于123mm的概率为 16．（2021·全国·模拟预测）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局打4个球甲赢的概率； (2)求该局打5个球结束的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解； （2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率． 【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C， 由题知，，，∴， ∴， ∴该局打4个球甲赢的概率为． （2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件， ，，， ∴ ， ， ∴， ∴该局打5个球结束的概率为． 17．（19-20高一上·辽宁葫芦岛·期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止． (1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率； (2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答. （2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答. 【详解】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则， 夫妻二人都不需要交补考费的事件， 则， 所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是. （2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件， 则， 所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率. 18．（21-22高一上·河南南阳·期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立． (1)求产品需要进行第2个过程的概率； (2)求产品不可以出厂的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得； 【详解】（1）解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”． 在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率， 在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率， 故． （2）解：记事件B为“产品不可以出厂”． 在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率， 产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率， 故． 19．（21-22高一下·安徽·阶段练习）2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格： 科目 性别 物理 历史 合计 男 460 40 500 女 340 160 500 合计 800 200 1000 (1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系； (2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级 A B C D E 人数比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86，100］ [71，85］ [56，70］ [41，55］ [30，40］ 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示： ①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间； ②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分． 【答案】(1)； (2)①；②91分. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型直接计算概率，比较作答. （2）①根据频率分布直方图，结合A等级划分比例计算；②根据转换公式直接计算作答. 【详解】（1）依题意，，， 所以． （2）①由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%， 估计等级A的原始分区间的最低分为， 所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为． ②由，解得，该学生的等级分为91分． 20．（21-22高一下·江苏无锡·期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求. 【详解】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”. 则，，，故，，. “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥. 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为. （2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则. 所以. 解得. 21．（21-22高一下·江苏无锡·期末）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由. （2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率. 【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；（2）0.2212. 【分析】（1）验证是否有即可得； （2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”，由对立事件和互斥事件的概率公式计算． 【详解】（1）， ， ， 则，所以事件A与B独立； （2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”. ， ， . 即恰有一人通过考核的概率为0.2212. 22．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球． (1)请你写出该随机试验的样本空间； (2)记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件． ①试判断事件A与事件是否为相互独立事件； ②求事件的概率． 【答案】(1) (2)①事件A与事件为相互独立事件；② 【分析】（1）根据已知，写出即可； （2）①根据已知写出事件包含的样本点，根据古典概型计算出的值，根据独立事件概率的乘法公式，计算即可判断；②方法一：列出事件包含的样本点，根据古典概型计算即可；方法二：写出对立事件包含的样本点，计算得出概率，然后根据对立事件的概率公式，计算即可；方法三：根据①的概率，结合事件的运算关系，计算即可得出答案. 【详解】（1）根据已知，可得样本空间 ，包含8个等可能的样本点. （2）①由（1）可知，事件A包含的样本点有：，，，， 故； 事件包含的基本事件有：，，，， 故； 事件包含的基本事件有：，， 故； 因， 故事件与事件为相互独立事件. ②方法一：事件包含的基本事件有： ，，，，，， 故. 方法二：设事件的对立事件为，则事件包含的基本事件有：，， 故， . 方法三：. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$