专题强化一：概率题型讲与练（9大题型）-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教A版2019必修第二册）

专题强化一：概率题型讲与练 【考点题型】 考点一：随机事件 考点二：生活中的概率 考点三：事件的关系和运算 考点四：互斥事件和对立事件辨析 考点五：互斥事件和对立事件概率问题 考点六：古典概型 考点七：整式值随机数 考点八：几何概型 考点九：概率综合问题 【题型归纳】 题型一：随机事件 1．（20-21高一·全国）对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（20-21高一·全国）下列事件中是随机事件的是（ ） A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内 B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内 C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内 D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内 3．（21-22高二下·河南信阳·期末）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 题型二：生活中的概率 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 5．（21-22高一·全国）某品牌饮料推出“开盖有奖”促销活动，宣传页面称“购买本品，获得‘再来一瓶’的中奖率为10%”，这意味着（ ） A．买100瓶饮料就一定能中奖10次 B．买10瓶饮料必中一次奖 C．买100瓶饮料至少有10瓶能中奖 D．购买1瓶饮料，中奖的可能性为10% 6．（19-20高一下·江苏无锡·期末）某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（ ） A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈 B．2位病人中一定有1位能治愈 C．每位病人治愈的可能性是50% D．所有病人中一定有一半的人能治愈 题型三：事件的关系和运算 7．（22-23高一下·全国）给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 8．（2023高一下·全国·）下列说法正确的是（ ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 9．（22-23高一下·安徽·开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ） ①②③④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 题型四：互斥事件和对立事件辨析 10．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 11．（20-21高一下·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 12．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 题型五：互斥事件和对立事件概率问题 13．（22-23高一下·江苏）端午节是我国传统节日，随着淄博烧烤的示范作用，徐州烧烤也备受游客欢迎，经过随机发放并回收调查问卷，在连云港、宿迁、淮安三个淮海经济圈城市中对广大市民的端午短途游进行了解，每个城市回收300份调查问卷，其中连云港市有100份勾选去徐州旅游，宿迁市有120份勾选去徐州旅游，淮安市有75份勾选去徐州旅游．端午节期间，连云港游客甲，宿迁游客乙，淮安游客丙打算外出旅游，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为（ ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·江苏南京·期末）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2 15．（2023·陕西咸阳·模拟预测）某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 题型六：古典概型 16．（23-24高一下·辽宁朝阳）袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ） A． B． C． D． 17．（2024·陕西安康·模拟预测）“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ） A． B． C． D． 18．（2024·全国·模拟预测）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A． B． C． D． 题型七：整式值随机数 19．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定表示甲获胜，用表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数： 据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（ ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·安徽宣城·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（ ） A． B． C． D． 题型八：几何概型 22．（20-21高一上·浙江金华·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ） A． B． C． D． 23．（22-23高一上·全国·期末）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ） A． B． C． D． 24．（21-22高三下·安徽·阶段练习）有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹.”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值.某地打造了以芍药为主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心､正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的（如图所示）.白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍.倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是（ ） A． B． C． D． 题型九：概率综合问题 25．（2024高一·全国）某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 26．（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18． (1)求频率分布直方图中的值； (2)从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 27．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家. 假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同. (1)当时，求获胜的概率； (2)当时，求获胜的概率. 【专题强化】 一、单选题 28．（2024高一下·全国）下列试验是古典概型的是（ ） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 29．（2024高一下·全国）在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（ ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 30．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 31．（2024·全国·模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 33．（23-24高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 35．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件是随机事件的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 36．（2024高一下·全国·专题练习）从1，2，3，，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（ ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个偶数和两个都是偶数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 37．（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·河南郑州·期中）对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若A与B相互独立，则 39．（2024·河北沧州·一模）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 三、填空题 40．（2024高一下·全国·专题练习）某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为 ． 41．（2024高一下·全国·专题练习）市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，订阅的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种报纸都订阅的有150户．则两种报纸都不订阅的概率为 ． 42．（2024高一下·全国·专题练习）用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是 ． 43．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ． 44．（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ． 四、解答题 45．（23-24高一下·全国·课后作业）某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 46．（2024高一下·江苏·专题练习）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 47．（2024高一下·江苏·专题练习）为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 48．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． (1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率． 49．（2024·全国·模拟预测）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示， (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化一：概率题型讲与练 【考点题型】 考点一：随机事件 考点二：生活中的概率 考点三：事件的关系和运算 考点四：互斥事件和对立事件辨析 考点五：互斥事件和对立事件概率问题 考点六：古典概型 考点七：整式值随机数 考点八：几何概型 考点九：概率综合问题 【题型归纳】 题型一：随机事件 1．（20-21高一·全国）对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题； ②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题； ③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立， 因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题； ④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题． 因此①③④为真命题. 故选：B 2．（20-21高一·全国）下列事件中是随机事件的是（ ） A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内 B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内 C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内 D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念进行辨析即可. 【详解】利用随机事件的概念，结合题意写出所有的样本点即可得解． 当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件； 当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x∉(0，1)，所以C是随机事件；当∈(0，2)时，必有x∉(－1，0)， 所以D是不可能事件． 故选：C． 3．（21-22高二下·河南信阳·期末）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【答案】C 【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可． 【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况. 故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确； 事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确； 事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误； 事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确． 故选：C 题型二：生活中的概率 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 5．（21-22高一·全国）某品牌饮料推出“开盖有奖”促销活动，宣传页面称“购买本品，获得‘再来一瓶’的中奖率为10%”，这意味着（ ） A．买100瓶饮料就一定能中奖10次 B．买10瓶饮料必中一次奖 C．买100瓶饮料至少有10瓶能中奖 D．购买1瓶饮料，中奖的可能性为10% 【答案】D 【分析】根据概率定义判断即可. 【详解】用概率度量随机事件发生可能性的大小，这里“中奖率10%”即指中奖的可能性为10%． 故选：D. 6．（19-20高一下·江苏无锡·期末）某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（ ） A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈 B．2位病人中一定有1位能治愈 C．每位病人治愈的可能性是50% D．所有病人中一定有一半的人能治愈 【答案】C 【分析】利用治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，判断选项即可. 【详解】A不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，针对某一具体的个体并不一定能治愈； B不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不是两次试验就一定能发生一次的； C正确，因为治愈率为50%是一种概率，就是每位病人治愈的可能性是50%； D不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不一定有一半的人能治愈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用概率的知识解决实际问题.属于容易题. 题型三：事件的关系和运算 7．（22-23高一下·全国）给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【详解】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 8．（2023高一下·全国·）下列说法正确的是（ ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 【答案】A 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 9．（22-23高一下·安徽·开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知，从而判断②；根据概率的性质可判断③④． 【详解】事件为两个互斥事件，，，故①正确； 事件为两个互斥事件，则，，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：A． 题型四：互斥事件和对立事件辨析 10．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 11．（20-21高一下·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 【答案】D 【分析】根据对立事件以及互斥事件的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有， 所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误； 对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误； 对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确； 故选：D． 12．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解. 【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：, 事件3可表示为：,事件4可表示为：, 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件， 所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件， 所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 题型五：互斥事件和对立事件概率问题 13．（22-23高一下·江苏）端午节是我国传统节日，随着淄博烧烤的示范作用，徐州烧烤也备受游客欢迎，经过随机发放并回收调查问卷，在连云港、宿迁、淮安三个淮海经济圈城市中对广大市民的端午短途游进行了解，每个城市回收300份调查问卷，其中连云港市有100份勾选去徐州旅游，宿迁市有120份勾选去徐州旅游，淮安市有75份勾选去徐州旅游．端午节期间，连云港游客甲，宿迁游客乙，淮安游客丙打算外出旅游，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助频率估计概率后，结合相互独立事件的概率公式计算即可得. 【详解】甲来徐州旅游的概率约为，乙来徐州旅游的概率约为， 丙来徐州旅游的概率约为， 则三人都没有来徐州旅游的概率约为， 故三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为. 故选：B. 14．（22-23高一下·江苏南京·期末）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2 【答案】C 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出该难题没被解出的概率，然后由对立事件的概率关系求解. 【详解】该难题没被解出的概率为， 所以该难题被解决出的概率为． 故选：C． 15．（2023·陕西咸阳·模拟预测）某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C， 则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率 ， 故选：C. 题型六：古典概型 16．（23-24高一下·辽宁朝阳）袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得. 【详解】设这五个球中红球为，白球分别为、，黑球分别为、， 则从袋中任取两球，有、、、、、、、、 、共十种可能，其中一白一黑有、、、共四种可能， 所以一白一黑的概率． 故选：D. 17．（2024·陕西安康·模拟预测）“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得所有基本事件的个数，以及满足题意的事件个数，再根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】记高二（1）班的2名学生分别为，高二（2）班的2名学生分别为， 高二（3）班的学生为，高二（4）班的学生为， 则从这6名学生中任选4名的事件包含 ， ，共15个， 其中这4名学生来自不同班级的事件包含， 共4个，所以所求事件的概率为． 故选：D． 18．（2024·全国·模拟预测）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得. 【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为， 两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间 ，共25个样本点， 两位参赛博主抽到不同主题的事件 ，共20个样本点， 所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为. 故选：D 题型七：整式值随机数 19．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定表示甲获胜，用表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数： 据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 找出对应数组，再根据古典概型即可得解. 【详解】甲恰好获胜2局的数组为共组， 所以两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为. 故选：B. 20．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 21．（22-23高一下·安徽宣城·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 找出恰好第三次结束时就停止的随机数的个数，利用古典概型公式求解概率． 【详解】随机模拟产生了20组随机数，其中恰好第三次结束时就停止的随机数有：314，134，234，243，324，共5个， 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为． 故选：C． 题型八：几何概型 22．（20-21高一上·浙江金华·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直角三角形较短的直角边长为，可得出较长直角边长为，由此可计算出小正方形和大正方形的边长，进而可得出关于的三角等式，进而可解得的值. 【详解】设直角三角形较短的直角边长为，则较长直角边长为， 所以，小正方形的边长为，大正方形的边长为， 由于小正方形与大正方形面积之比为，所以，， 由于，则， 由已知条件可得，解得，因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何概型的概率公式求解角的正切值，解本题的关键在于将小正方形和大正方形的边长用表示，并根据已知条件列出方程组求解. 23．（22-23高一上·全国·期末）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出扇形和长方形的面积，即可得出飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率. 【详解】由题意及图得， 该扇形的角度，， ∴扇形为圆，面积为 ∵长方形的面积为：， ∴任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率为： , 故选：A. 24．（21-22高三下·安徽·阶段练习）有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹.”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值.某地打造了以芍药为主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心､正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的（如图所示）.白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍.倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，分别求得正方形与阴影部分的面积，结合面积比的几何摡型，即可求解. 【详解】由题意，设正方形的边长为，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为， 可得正方形的面积为， 阴影部分的面积为， 根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是. 故选：A. 题型九：概率综合问题 25．（2024高一·全国·专题练习）某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 【答案】(1)72；118；120；59% (2)55%；59%. 【分析】（1）利用分层抽样比为，可计算每层抽样的人数：高中生、初中生、小学生中分别抽取了人，人，人．再求样本容量为的学生的近视率为，利用样本估计总体，可以估计该地区全体中小学生的近视率为； （2）如同方法（1）求新样本的近视率约为，求该地区全体中小学生的近视率约为. 【详解】（1）分配比例为，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了（人），（人），（人）． 总样本量为的学生的近视率为, 在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数， 所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为. （2）抽取的样本的近视率是, 由于总体中的个体数为， 得该地区全体中小学生的近视率为 即该地区全体中小学生的近视率约为. 26．（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18． (1)求频率分布直方图中的值； (2)从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据评分在的游客人数为18和总人数为50得到，利用频率之和为1得到方程，求出； （2）根据分层抽样的方法得到评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在的情况，求出概率. 【详解】（1）由题知，， ，解得． （2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在的人数为， 满意度评分在的人数为， 抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为， 从5人中随机抽取2人的不同取法为，，共有10种不同取法， 设“2人中恰有1人的满意度评分在”为事件， 则事件包含的取法为，，共有6种不同取法． ． 27．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家. 假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同. (1)当时，求获胜的概率； (2)当时，求获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）A获胜分为2种情况，利用概率的加法公式求解即可. 【详解】（1）记初始手上张牌时， 胜的概率为，当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为， 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得. （2）当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为， 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得. 【专题强化】 一、单选题 28．（2024高一下·全国）下列试验是古典概型的是（ ） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 【答案】C 【分析】借助古典概率特征：①有限性；②等可能性逐项分析即可得. 【详解】对A：取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型，故A错误； 对B：一次试验的结果有无限个，故不是古典概型，故B错误； 对C：满足古典概型特征，是古典概型，故C正确； 对D：两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型，故D错误． 故选：C. 29．（2024高一下·全国）在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（ ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【详解】由于彼此互斥，且是必然事件，故其事件的关系如图所示， 由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立， 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立， 所以只有D中的说法正确． 故选：D. 30．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率. 【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为． 故选：C. 31．（2024·全国·模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为“恰有2队完成任务”，即可能是“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，根据相互独立事件及互斥事件的概率可得结果. 【详解】设事件A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，且相互互斥， 则， 故选：B． 32．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】D 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 33．（23-24高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可. 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 34．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用列举法找出满足题意的随机数，即可求出三次投篮恰有两次命中的概率. 【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中， 这三组表示三次投篮恰有两次命中， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 二、多选题 35．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件是随机事件的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 【答案】BCD 【分析】根据随机事件的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，此事件为必然事件； B选项，忘记朋友的号码最后一位，随意拨打个号码就是朋友的号码， 这件事情在一次试验中可能发成也可能不发生，所以为随机事件； C选项，由于与的关系不确定，所以函数在R上不一定为增函数，所以此事件为随机事件； D选项，当时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即， 另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即，所以为随机事件. 故选：BCD. 36．（2024高一下·全国·专题练习）从1，2，3，，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（ ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个偶数和两个都是偶数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 【答案】ABD 【分析】对立事件前提是互斥，同时两个事件的并事件为必然事件，即两个事件应包含所有的情况.根据对立事件的要求，逐项分析，即可得出答案. 【详解】对于A选项，任取两个数，恰有一个偶数和恰有一个奇数为相等事件，都表示取出1个奇数1个偶数； 对于B选项，至少有一个偶数，包含两种情况：两个都是偶数，一个奇数一个偶数，所以两个事件是包含关系； 对于C选项，至少有一个奇数和两个都是偶数，互为对立事件； 对于D选项，至少有一个奇数和至少有一个偶数，都包含一种情况：一个奇数一个偶数，所以两个事件不对立. 故选：ABD. 37．（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答. 【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机； “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中； “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中. 所以，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 38．（23-24高二下·河南郑州·期中）对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若A与B相互独立，则 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解. 【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误； 对于B，A与B互斥，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，A与B相互独立，则，D正确. 故选：BD 39．（2024·河北沧州·一模）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假. 【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动， 与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确； 对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确； 对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确； 对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 40．（2024高一下·全国·专题练习）某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为 ． 【答案】/0.25 【分析】利用树状图列举所有样本点，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】设两款优惠套餐分别为A,B，列举样本点如图所示． 由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A,A,A)，(B,B,B)，共2个样本点， 故所求概率为P＝＝． 故答案为： 41．（2024高一下·全国·专题练习）市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，订阅的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种报纸都订阅的有150户．则两种报纸都不订阅的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件绘制venn图，由图可知至少订阅一种报纸的有（户），即可求得两种报纸都不订阅的有（户），计算即可得出结果． 【详解】记500户居民组成的集合为，订阅晨报的居民全体为集合， 订阅晚报的居民全体为集合．订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户， 两种都订阅的有150户，如图所示． 由图可知至少订阅一种报纸的有（户），所以两种报纸都不订阅的有（户）． 故两种报纸都不订阅的概率为． 故答案为：0.038 42．（2024高一下·全国·专题练习）用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是 ． 【答案】甲、乙两个小球所涂颜色相同 【分析】根据题意结合事件A的表示分析判断. 【详解】因为每个小球只涂一种颜色， 所以事件A的含义是甲、乙两个小球所涂颜色相同. 故答案为：甲、乙两个小球所涂颜色相同. 43．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ． 【答案】 【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案 【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人， 设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，， 因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人． 故答案为：. 44．（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ． 【答案】/0.3 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，设五种食材分别为，则基本事件空间为 ， 共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以. 故答案为： 四、解答题 45．（23-24高一下·全国·课后作业）某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （3）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 所以. （2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则. （3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则. 46．（2024高一下·江苏·专题练习）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 【答案】(1)0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807 (2)0.800 【分析】（1）根据射击次数及击中飞碟次数计算频率即可； （2）根据频率与概率的关系可得解. 【详解】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为 ， . （2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动， 所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800. 47．（2024高一下·江苏·专题练习）为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 【答案】(1)答案见解析 (2)第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法 【分析】（1）由随机抽样的相关概念作答； （2）由简单随机抽样和分层抽样法的相关特点作答. 【详解】（1）两种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩， 个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩. 第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20； 第二种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100. （2）第一种方式采用的是简单随机抽样法； 第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. 48．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． (1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率． 【答案】(1)，平均数为 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）由题意得， 解得. 估计被抽取的名少年儿童问卷调查结果的平均数为 . （2）依题意可得在内抽取的人数为（人）， 设所抽取的人为， 在内抽取的人数为（人），设所抽取的人为， 则从中随机抽取2名少年儿童有 共15种情况， 其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的有共7种情况. 故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率. 49．（2024·全国·模拟预测）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示， (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率． 【答案】(1) (2)80 (3) 【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值； （2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案； （3）求出内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 解得； （2）由频率分布直方图，得， ， 则估计这600名学生成绩的中位数为80； （3）由题意得，成绩在的频率为， 成绩在的频率为，频率之比为， 所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为， 成绩在的学生有3人，分别记为， 从这5人中任意选取2人，有，共10种选法， 其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种， 所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$