精品解析：河南省平顶山市宝丰县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2024学年第二学期期中评估试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就做中心对称图形；熟练掌握中心对称图形的特点是解题关键．结合中心对称图形的定义，就可以从四个选项中选出正确的选项． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知： 是中心对称图形， 故答案选：C． 2. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 3. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②若，则的逆命题是若，则，是真命题； ③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题； 它们的逆命题是真命题的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了逆命题的判定，平行线的性质，绝对值的意义，直角和对顶角的概念，理解相关性质是关键． 4. 到三角形的三边距离相等的点是（ ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质．根据角平分线的性质“在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上”判断即可． 【详解】解：根据角平分线的性质知，到三角形的三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 5. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，不等式的性质．解题的关键是利用数轴确定实数的大小关系．根据点在数轴上的位置，比较出数的大小关系，再根据不等式的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、时，，选项错误，符合题意； 故选D． 6. 平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，如图①由2个小菱形组成，图②由8个小菱形组成，图③由18个小菱形组成，…，照图中规律，则第⑦个图案中，小菱形的个数为（　　） A. 98 B. 84 C. 76 D. 102 【答案】A 【解析】 【分析】求出前面三个图形中菱形的个数，总结出规律，即可求解． 【详解】解：图①由个小菱形组成， 图②由个小菱形组成， 图③由个小菱形组成 …… 则第图形由个小菱形组成， 则第⑦个图案中，小菱形的个数个 故选：A 【点睛】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前面图形中菱形的个数正确总结出规律． 7. 如图，直线经过点P（2，1），当时，则x的取值范围为（　　） A. ≤2 B. ≤1 C. ≥1 D. ≥2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得直线OP的解析式，再根据两函数图象及交点，即可求解． 【详解】解：设直线OP的解析式为 把P（2，1）代入得： 解得 故直线OP的解析式为 由图象可知：当时，则x的取值范围为≤2 故选：A． 【点睛】本题考查了利用两个一次函数的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据“第四象限”得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， ∴x的取值范围在数轴上表示为 ． 故选：A 9. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长为10可得，进而可得，最后根据三角形的周长公式计算即可．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：16． 10. 如图，在中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，将绕点A逆时针旋转120°得到，若P为CB上一动点，旋转后点P的对应点为点，则线段长度的最小值是 （　　） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】证，利用“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：过点作于，如图所示： 由题意得： 当时，有最小值 即： 【点睛】本题考查了旋转的性质、含的直角三角形、垂线段最短等知识点．掌握相关结论是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中___________． 【答案】三角形中每一个内角都小于 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”时，应先假设三角形中每一个内角都小于． 故答案为：三角形中每一个内角都小于． 12. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线） 【答案】AB=DC或AC=DB 【解析】 【分析】:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据定义添加条件即可． 【详解】∵：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 又∵ , ∴再添加：或即可证明 故答案为：或 【点睛】本题考查证明直角三角形全等的方法，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键． 13. 一商家进了一批商品，进价为每件元，如果要保持销售利润不低于，则售价不低于______． 【答案】元 【解析】 【分析】利润不低于，利润率，据此列出不等式求解即可． 【详解】设售价应元，则， 解得， 所以售价应不低于元． 故答案为：元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系． 14. 如图①，在△AOB 中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为____. 【答案】(,) 【解析】 【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，再利用面积法计算图②的直角顶点的纵坐标，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，所以图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，横坐标为两个三角形周长加OH的长． 【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴AB==5， 过C作CH⊥x轴于H，如图， ∵CH×5=×3×4， ∴CH=， ∴AH=， 根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12， 而8=3×2+2， ∴图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，都为，图⑧的直角顶点的横坐标为2×12+3+=， 即图⑧的直角顶点的坐标为（，）． 故答案为（，）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了勾股定理． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标除了之外，还可能为______． 【答案】， 【解析】 【分析】由点，可知，，根据勾股定理可得．分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， （1）如下图，当时， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）如下图，当时， 此时可有， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标除了之外，还可能为，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理等知识，理解题意，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解不等式（组） （1）； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 ， 移项得：， 合并得：， 解得：； 【小问2详解】 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 17. 如图，已知线段a和h． 求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h． 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】图见解析． 【解析】 【详解】解：如图所示．画线段BC=a，作BC的垂直平分线，交BC于D，在垂直平分线上截取AD=h，连接AB、AC，△ABC就是所求的三角形． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 19. 将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形． （1）在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________ （2）设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形 （3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形： ①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________ 【答案】（1）A、B、C、D、E；A、C、E （2）偶数；奇数 （3）轴对称图形，轴对称图形和中心对称图形 【解析】 【分析】本题主要属于轴对称图形与中心对称的图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键； （1）轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可回答第一问； （2）通过第一问所填的轴对称图形和中心对称图形，便可发现“花瓣”的个数与其是什么图形的关系； （3）根据（2）发现的规律回答第三问． 【小问1详解】 A，B，C，D，E的图形具有沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的特点；A，C，E的图形具有绕某一点旋转度后的图形，能和原图形完全重合的特点， ∴A，B，C，D，E的图形是轴对称图形，A，C，E的图形是中心对称图形． 【小问2详解】 轴对称图形A，B，C，D，E中，花瓣的个数分别为，，，，；中心对称图形A，C，E中，花瓣的个数分别为，，，“花瓣”在圆中均匀分布时，“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律：当花瓣是偶数个，则是中心对称图形也是轴对称图形；若花瓣是奇数个，则是轴对称图形． 【小问3详解】 九瓣图形是轴对称图形；十二瓣图形是轴对称图形，也是中心对称图形． 20. 如图，一次函数的图象与正比例函数（为常数，且）的图象都过 （1）求点的坐标及正比例函数的表达式； （2）若一次函数的图象与轴交于点，求的面积； （3）利用函数图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1），；（2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）将代入求得，即可求得点的坐标，进而代入求得，即可求得正比例函数的表达式； （2）先求得点的坐标，进而根据已知条件即可求得的面积； （3）根据函数图象直接写出一次函数位于正比例函数上方的自变量取值范围即可 【详解】（1）把代入中得 把代入中得 正比例函数解析式为： （2）令，则 ， （3）交于点 根据图象可知， 当时， 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键． 21. 某商店销售、两种商品，售价分别为元/件、元/件．五一期间，该商店决定对这两种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件商品和件商品，根据以上信息，回答下列问题： 优惠方案一：商品超过件后，超出部分五折；否则不打折．商品一律九折 优惠方案二：无论多少，一律八折． （1）分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）； （2）当时，说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？ 【答案】（1）， （2）当时，按方案二购买；当时，两种方案都一样；当时，按方案一购买 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次不等式的应用， （1）根据题意，分和，分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用和即可； （2）当时，分别列不等式和方程，分别求解即可作出判断； 根据题意列出一元一次不等式并分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，则， 若，则， 综上所述，， ； 【小问2详解】 当时， 若时，则； 若时，则； 若时，则， 综上所述，当时，按方案二购买；当时，两种方案都一样；当时，按方案一购买． 22. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． （1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； （2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； 【小问2详解】 解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 23. 【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】；； 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， ①根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； ②由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； ③由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． ②，，、分别为和的中线， ，， ， ； ③∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中评估试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 3. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 到三角形的三边距离相等的点是（ ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 5. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，如图①由2个小菱形组成，图②由8个小菱形组成，图③由18个小菱形组成，…，照图中规律，则第⑦个图案中，小菱形的个数为（　　） A. 98 B. 84 C. 76 D. 102 7. 如图，直线经过点P（2，1），当时，则x的取值范围为（　　） A. ≤2 B. ≤1 C. ≥1 D. ≥2 8. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 10. 如图，在中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，将绕点A逆时针旋转120°得到，若P为CB上一动点，旋转后点P的对应点为点，则线段长度的最小值是 （　　） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中___________． 12. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线） 13. 一商家进了一批商品，进价为每件元，如果要保持销售利润不低于，则售价不低于______． 14. 如图①，在△AOB 中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为____. 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标除了之外，还可能为______． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解不等式（组） （1）； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 17. 如图，已知线段a和h． 求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h． 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 19. 将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形． （1）在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________ （2）设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形 （3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形： ①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________ 20. 如图，一次函数的图象与正比例函数（为常数，且）的图象都过 （1）求点的坐标及正比例函数的表达式； （2）若一次函数的图象与轴交于点，求的面积； （3）利用函数图象直接写出当时，的取值范围． 21. 某商店销售、两种商品，售价分别为元/件、元/件．五一期间，该商店决定对这两种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件商品和件商品，根据以上信息，回答下列问题： 优惠方案一：商品超过件后，超出部分五折；否则不打折．商品一律九折 优惠方案二：无论多少，一律八折． （1）分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）； （2）当时，说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？ 22. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． （1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； （2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 23. 【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $