2024年福建省福州屏东中学中考数学适应性练习试卷（5月份）

2024年福建省福州屏东中学中考数学适应性试卷（5月份） 一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）下面两个数互为相反数的是（　　） A．﹣3和﹣（+3） B．|﹣2|和|2| C．和 D．和﹣0.25 2．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　） A．三棱柱 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 3．（4分）2023年9月23日第19届亚运会在我国杭州举行，截至10月7日，杭州亚运会官方宣布票务收入超610000000元人民币，其中610000000这个数用科学记数法表示为（　　） A．0.61×109 B．6.1×109 C．6.1×107 D．6.1×108 4．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（a3）2＝a5 6．（4分）如图，天平左盘中物体A的质量为x g，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7 8．（4分）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（　　） A．ab B．（a﹣2b）2 C．2ab D．a2﹣4b2 9．（4分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（　　）米． A．15+15 B．45+15 C．15﹣15 D．45﹣15 10．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则△DCE的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 二.填空题（共6小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）若气温为零上4℃记作+4℃，则零下3℃应记作 　 　． 12．（4分）如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　． 13．（4分）一个不透明的箱子中装有15个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是0.6，则箱子中红球有 　 　个． 14．（4分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为 　 　． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，4）绕点（0，0）顺时针旋转90°后的对应点落在反比例函数的图象上，则k＝　 　． 16．（4分）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是 　 　． 三.解答题（共9小题，共54分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，点A，E，F，C在同一直线上，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．求证：∠B＝∠D． 19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 20．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 3 B 160≤x＜165 2 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 5 E 175≤x＜180 4 根据以上信息回答： （1）这次被调查身高的志愿者有 　 　人，表中的m＝　 　，扇形统计图中α的度数是 　 　； （2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率． 21．（8分）如图，已知⊙O经过A，C，D三点，点D在BA边上，CD⊥AC，∠A＝∠BCD． （1）求作⊙O；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） （2）求证：BC是⊙O的切线． 22．（10分）“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动．学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共15个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的2倍少3个． （1）“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ （2）“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是6分钟、8分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展10个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 23．（10分）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC且AE＝AB，AF＝AC，DE＝DF，D点为伞圈． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置，且A、E、D′三点共线．测得AD'＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示（参考值：≈24.49）． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm． 问题解决 任务1 判断AP位置 求证：AP平分∠BAC． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　 　cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 24．（12分）已知，抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． （1）当m＝0时，求点A，B坐标； （2）若直线y＝﹣x+b经过点A，且与抛物线交于另一点C，连接AC，BC，试判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积；若发生变化，请说明理由； （3）当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，若抛物线在该范围内的最高点为M，最低点为N，直线MN与x轴交于点D，且，求此时抛物线的解析式． 25．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α（0°＜α≤45°），D是线段AC上的动点（不与点A，C重合），将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，连接BE，CE．过点E作EF⊥BE交AC的延长线于点F． （1）若BE＝CE，求∠ABE的大小（用含．α的代数式表示）； （2）求证：AD＝FD； （3）如图2，当B，E，D三点共线时，若CF＝18，AB＝40，求CD的长． 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）下面两个数互为相反数的是（　　） A．﹣3和﹣（+3） B．|﹣2|和|2| C．和 D．和﹣0.25 【解答】解：A、﹣（+3）＝﹣3，所以两数相等，不合题意； B、|﹣2|＝2，|2|＝2，所以两数相等，不合题意； C、和，不互为相反数，不合题意； D、＝0.25，所以互为相反数，符合题意． 故选：D． 2．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　） A．三棱柱 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 【解答】解：由几何体的主视图和俯视图都是全等的矩形， 故该几何体是一个柱体， 又∵左视图是一个圆， 故该几何体是一个圆柱． 故选：D． 3．（4分）2023年9月23日第19届亚运会在我国杭州举行，截至10月7日，杭州亚运会官方宣布票务收入超610000000元人民币，其中610000000这个数用科学记数法表示为（　　） A．0.61×109 B．6.1×109 C．6.1×107 D．6.1×108 【解答】解：610000000＝6.1×108， 故选：D． 4．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、C、D都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 选项B不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：B． 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（a3）2＝a5 【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，不符合题意； B、a2•a3＝a2+3＝a5，原计算错误，不符合题意； C、a3÷a＝a3﹣1＝a2，正确，符合题意； D、（a3）2＝a3×2＝a6，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 6．（4分）如图，天平左盘中物体A的质量为x g，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得： ， 解得：1＜x＜2， 故选：D． 7．（4分）如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7 【解答】解：由题意知， 平均数为：＝7， 不存在众数； 中位数为：7； 方差为：＝8； 故选：B． 8．（4分）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（　　） A．ab B．（a﹣2b）2 C．2ab D．a2﹣4b2 【解答】解：设小正方形的边长是x， 由题意得：a﹣2x＝b+2x， ∴x＝（a﹣b）， ∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（a﹣b）b×4+b2＝ab， 故选：A． 9．（4分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（　　）米． A．15+15 B．45+15 C．15﹣15 D．45﹣15 【解答】解：由题意可得AB＝30米，∠A＝45°，∠DBC＝60°， 在Rt△BCD中，设BC＝x米， tan∠DBC＝tan60°＝， 解得CD＝x， 在Rt△ACD中，AC＝（30+x）米，∠A＝45°， 则CD＝AC， 即x＝30+x， 解得x＝15（+1）， ∴CD＝15（+1）×＝（45+15）米． 故选：B． 10．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则△DCE的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【解答】解：如图，设C落在BD的F处， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝90°， ∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8， 在Rt△BCD中，BD＝＝10， 由于折叠∠DFE＝∠DCB＝90°，DF＝DC＝6，EF＝EC， ∴∠BFE＝180°﹣∠DFE＝90°， 设EC＝x，则BE＝8﹣x， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2＝EF2+BF2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3，即：EC＝3， ∴△DCE的面积为×3×6＝9． 故选：C． 二.填空题（共6小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）若气温为零上4℃记作+4℃，则零下3℃应记作 　﹣3℃　． 【解答】解：气温为零上4℃记作+4℃，则零下3℃应记作﹣3℃， 故答案为：﹣3℃． 12．（4分）如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　40°　． 【解答】解：如图， ∵AC⊥BC， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°． ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°． 故答案为：40°． 13．（4分）一个不透明的箱子中装有15个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是0.6，则箱子中红球有 　9　个． 【解答】解：设有红球x个， 根据题意得：， 解得：x＝9． 故箱子中红球有9个． 故答案为：9． 14．（4分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为 　2　． 【解答】解：如图：连接OP，AO， ∵AB是⊙O切线， ∴OP⊥AB， ∴AP＝PB＝AB， 在Rt△APO中，AP＝＝， ∴AB＝2． 故答案为：2． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，4）绕点（0，0）顺时针旋转90°后的对应点落在反比例函数的图象上，则k＝　4　． 【解答】解：点（﹣1，4）绕点（0，0）顺时针旋转90°后的对应点的坐标为（4，1）， 把（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4． 故答案为4． 16．（4分）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是 　﹣1＜m＜1　． 【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1， 令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1， ∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点， ①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上）， 则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2）， 如图： 由对称性可知，y1＝y2， ∴此时不满足y1＜y2； ②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上）， 则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2）， ∴y1＝y2， ∴此时不满足y1＜y2； ③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图： 此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2； 由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1， 故答案为：﹣1＜m＜1． 三.解答题（共9小题，共54分） 17．（8分）计算：． 【解答】解： ＝ ＝． 18．（8分）如图，点A，E，F，C在同一直线上，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．求证：∠B＝∠D． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠B＝∠D． 19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 【解答】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 当x＝﹣2时，原式＝＝4． 20．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 3 B 160≤x＜165 2 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 5 E 175≤x＜180 4 根据以上信息回答： （1）这次被调查身高的志愿者有 　20　人，表中的m＝　6　，扇形统计图中α的度数是 　54°　； （2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率． 【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人）， ∴m＝20×30%＝6， 扇形统计图中α的度数是：360°×＝54°， 故答案为：20，6，54°； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种， ∴P（刚好抽中两名女志愿者）＝＝． 21．（8分）如图，已知⊙O经过A，C，D三点，点D在BA边上，CD⊥AC，∠A＝∠BCD． （1）求作⊙O；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） （2）求证：BC是⊙O的切线． 【解答】（1）解：∵⊙O经过A，C，D三点，CD⊥AC， ∴AD为⊙O的直径． 如图，作线段AD的垂直平分线，交AD于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． （2）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴∠OCA+∠OCD＝∠A+∠OCD＝90°． ∵∠A＝∠BCD， ∴∠BCD+∠OCD＝90°， 即∠OCB＝90°． ∵OC为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线． 22．（10分）“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动．学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共15个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的2倍少3个． （1）“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ （2）“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是6分钟、8分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展10个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 【解答】解：（1）设“能量传输”类项目有x个，“鱼跃龙门”类项目有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：“能量传输”类项目有9个，“鱼跃龙门”类项目有6个； （2）设“能量传输”类项目开展m个，则“鱼跃龙门”类项目开展（10﹣m）个， 根据题意得：10﹣m＞m， 解得：m＜， 设实际拓展活动的总时间为w分钟，则w＝6m+8（10﹣m）， 即w＝﹣2m+80， ∵﹣2＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m＜，且m为正整数， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝﹣2×6+80＝68． 答：当“能量传输”类项目开展6个，“鱼跃龙门”类项目开展4个时，所用的时间最少． 23．（10分）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC且AE＝AB，AF＝AC，DE＝DF，D点为伞圈． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置，且A、E、D′三点共线．测得AD'＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示（参考值：≈24.49）． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm． 问题解决 任务1 判断AP位置 求证：AP平分∠BAC． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　60　cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AP平分∠BAC； （2）过E做EQ⊥AP， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝60°， ∴∠AEQ＝30°， ∵AE＝20cm， ∴AQ＝AE＝10cm， 由勾股定理，得EQ＝＝＝（cm）， ∵DE＝30cm， ∴DQ＝＝（cm）， ∴AD＝AQ+DQ＝（10+）cm， ∵AD'＝50cm， ∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣（10+）＝40﹣＝≈15.5（cm）， （3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图， 在Rt△ABO中， AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°， ∴BO＝AB•sin∠BAO＝60•sin60°＝30（cm）， ∴NG＝BO＝30cm， 在Rt△BMN中， BN＝150cm，∠BMN＝60°， ∴MN＝＝＝50（cm）， ∴MG＝MN﹣NG＝50﹣30＝20（cm）， 在Rt△QGM中， QG＝MG•tan60°＝20•＝60（cm）， 故答案为：60． 24．（12分）已知，抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． （1）当m＝0时，求点A，B坐标； （2）若直线y＝﹣x+b经过点A，且与抛物线交于另一点C，连接AC，BC，试判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积；若发生变化，请说明理由； （3）当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，若抛物线在该范围内的最高点为M，最低点为N，直线MN与x轴交于点D，且，求此时抛物线的解析式． 【解答】解：（1）当m＝0时，y＝x2﹣2x， 当y＝0时，有x2﹣2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， ∵A在B的左侧， ∴点A坐标为（0，0），点B坐标为（2，0）． （2）△ABC的面积不变． 对于抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m， 当y＝0时，有x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0， 解得：x1＝m，x2＝m+2． ∵A在B的左侧， ∴点A坐标为（m，0），点B坐标为（m+2，0）， ∴AB＝2， ∵直线y＝﹣x+b经过点A（m，0）， ∴0＝﹣m+b， ∴b＝m， ∴y＝﹣x+m， 联立 解得x1＝m，x2＝m+1， ∵点C在y＝﹣x+m上， 当x2＝m+1时，yC＝﹣1， ∴C点坐标为（m+1，﹣1）． ∴S△ABC＝， ∴△ABC的面积不发生变化，S△ABC＝1． （3）∵5﹣2m≤x≤2m﹣1， ∴5﹣2m＜2m﹣1， ∴m＞． 由题可知对称轴为x＝m+1，则对称轴x＝m+1， ∵，即范围5﹣2m≤x≤2m﹣1的中点为x＝2， ∴，即抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧． ①若2m﹣1≤m+1，m≤2，即＜m≤2时， ∵抛物线开口向上， 当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，y随x的增大而减小，如图， 当x＝5﹣2m时，取最高点M（5﹣2m，9m2﹣24m+15）， 当x＝2m﹣1时，取最低点N（2m﹣1，m2﹣4m+3）， 分别过点M，N作x轴的垂线交于点H，G， 则△MDH∽△NDG， ∴，即， ∴， 解得m＝1（舍）或m＝2， ∴当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8． ②若2＜m+1＜2m﹣1，即m＞2， ∴最低点在顶点处取得， ∴N（m+1，﹣1）， 当x＝5﹣2m时，取最高点M（5﹣2m，9m2﹣24m+15）， 由，得9m2﹣24m+15＝3， 解得， ∵m＞2， ∴m1与m2不符合题意，舍去， 综上所述，抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8． 25．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α（0°＜α≤45°），D是线段AC上的动点（不与点A，C重合），将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，连接BE，CE．过点E作EF⊥BE交AC的延长线于点F． （1）若BE＝CE，求∠ABE的大小（用含．α的代数式表示）； （2）求证：AD＝FD； （3）如图2，当B，E，D三点共线时，若CF＝18，AB＝40，求CD的长． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣α， ∴∠ABC＝90°﹣α， ∵将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴DC＝DE，∠CDE＝2α， ∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣2α）＝90°﹣α， ∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∵BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE＝α， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴∠ABE＝90°﹣2α； （2）证明：延长FE至点H，使FE＝EH，连接BH，HA，延长CF至点G，使AC＝CG，连接BG， ∵EF⊥BE，∠ACB＝90°， ∴BE垂直平分FH，BC垂直平分AG， ∴BF＝BH，BG＝BA， ∴∠BFH＝∠BHF，∠BGC＝∠BAC＝α， ∴∠GBA＝180°﹣∠BGC﹣∠BAC＝180°﹣2α， 以BF为直径作⊙O， ∵EF⊥BE，∠ACB＝90°， ∴∠BEF＝∠BCF＝90°， ∴点E，F在⊙O上， 由（1）知，∠BCE＝α，∠CDE＝2α， ∵∠BFE＝∠BCE＝α， ∴∠BFH＝∠BHF＝α， ∴∠FBH＝180°﹣∠BFH﹣∠BHF＝180°﹣2α＝∠GBA， ∴∠GBF＝∠ABH， 在△GBF与△ABH中， ， ∴△GBF≌△ABH（SAS）， ∴∠BGF＝∠BAH＝α， ∴∠FAH＝∠BAC+∠BAH＝α+α＝2α＝∠CDE， ∴DE∥AH， ∴， ∴AD＝FD； （3）解：设CD＝a， ∵B，E，D三点共线，CF＝18，AB＝40， 由（2）知，AD＝FD， ∴AD＝FD＝FC+CD＝18+α， ∵将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，∠A＝α， ∴DC＝DE＝α，∠CDE＝2α， ∴∠ABD＝∠CDE﹣∠A＝2α﹣α＝α＝∠A， ∴DB＝DA＝18+α， ∴DB＝DF， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴∠ABF＝∠DBF+∠ABD＝∠DFB+∠A， ∵∠ABF+∠DFB+∠A＝180°， ∴∠ABF＝90°， ∵∠BCF＝∠BCA＝90°， ∴∠FBC＝90°﹣∠ABC＝∠A， ∴△BCF∽△ACB， ∴， ∴BC2＝CF•AC＝18（18+a+a）＝18（18+2a）， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝402﹣（18+a+a）2＝402﹣（18+2a）2， 解得a＝7或a＝﹣34（不合题意舍去）， ∴CD的长为7． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$