专题6.19 平行四边形（题型分类专题）（分层练习）（拔尖练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.19 平行四边形（题型分类专题）（分层练习）（拨尖练） 题型目录： 【题型1】平行四边形中的作图问题； 【题型2】坐标系中的平行四边形； 【题型3】平行四边形中的平移问题 【题型4】平行四边形中的折叠问题； 【题型5】平行四边形中的最值问题； 【题型6】平行四边形中的动点问题； 【题型7】平行四边形中的旋转问题； 【题型8】平行四边形中的存在性问题； 【题型9】平行四边形中函数问题； 【题型10】平行四边形中分类讨论问题. 一、单选题 【题型1】平行四边形中的作图问题 1．如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（    ） A．3 B． C． D． 2．如图，在中，，平分，．按下列步骤作图：①以点C为圆心、适当长度为半径画弧，分别交直线，于点E，F；②分别以点E，F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线；③以点A为圆心、适当长度为半径画弧，交于点H，I；④分别以点H，I为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点J，作直线，交于点K；⑤连接．则的长是（      ） A． B． C． D． 【题型2】坐标系中的平行四边形 3．如图，平行四边形AOBC中，，，对角线AB，OC交于点P，将平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则旋转2022次后点P的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（2，2）、C（3，0），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（　　） A．（﹣1，2） B．（5，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣2） 【题型3】平行四边形中的平移问题 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝13，点A、B的坐标分别为（1，0），（6，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．84 B．80 C．91 D．78 【题型4】平行四边形中的折叠问题 7．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，若，，，则AF长度为（    ） A． B．7 C．6 D．20 【题型5】平行四边形中的最值问题 9．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是（    ） A． B． C． D．10 【题型6】平行四边形中的动点问题 11．如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 12．如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型7】平行四边形中的旋转问题 13．如图，等边△ABC中，边长为6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AMN，其中D、E的对应点分别是M、N，直线BM与直线CN交于点F，若旋转360°，则点F经过的路径长是（　　） A． B．8 C． D．4 14．如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（    ）． A． B． C． D． 【题型8】平行四边形中的存在性问题 15．如图，两块完全相同的含角的直角三角板和叠合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转角，有以下四个结论： ①当时，与的交点恰好为中点； ②当时，恰好经过； ③在旋转过程中，存在某一时刻，使得 ④在旋转过程中，始终存在； 共中结论正确的有多少个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，中，，点分别为上异于端点的四点，满足，分别为上异于端点的两点，连接，点O为线段上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接，当图中存在与四边形时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（    ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对 【题型9】平行四边形中的函数问题 17．如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（    ） A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6 18．如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【题型10】平行四边形中分类讨论问题 19．已知，点分别在直线上，点在之间且在的左侧．若将射线沿折叠，射线沿折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 20．已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点P，已知，则等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 【题型1】平行四边形中的作图问题 21．如图，在平行四边形中，，，以为圆心画弧，分别交，于、两点；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交线段于点，则的长为 ．    22．如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 ． 【题型2】坐标系中的平行四边形 23．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为 ． 24．在平面直角坐标系中，A（3，2），B（﹣1，﹣4），C在y轴上，D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 【题型3】平行四边形中的平移问题 25．等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连接CD，CE．当CD＋CE的值最小时，点D的坐标为 ． 26．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（3，2），点C的坐标（7，4），直线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分． 【题型4】平行四边形中的折叠问题 27．如图，在中，点分别在边上，折叠使得点落在上，若，，，则长度的最大值为 ．    28．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为 ． 【题型5】平行四边形中的最值问题 29．如图，在中，，，点D为边上一动点，以为边作等边三角形，点F是的中点，则的最小值为 ． 30．如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ． 【题型6】平行四边形中的动点问题 31．如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，，为轴上一动点，连接并延长至点，使，取轴负半轴上一点，使得，以，为边作． （）点的坐标为 ． （）设点坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示），连接，则长度的取值范围为 ． 【题型7】平行四边形中的旋转问题 33．如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ． 34．如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为 ． 【题型8】平行四边形中的存在性问题 35．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB的面积是5.5，且，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 36．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．    【题型9】平行四边形中的函数问题 37．如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t（s），△ABP的面积为S（cm2），则S与t的函数表达式为 . 38．已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是 ． 【题型10】平行四边形中分类讨论问题 39．如图，中，，，，点E在线段上，F在线段上，将沿折叠，点D恰好与点B重合，点C的对应点为点G，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为 ；    40．如图，在中，是中线，是边上一动点，将沿折叠得到，若点（不与点重合）在的角平分线上，则的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝10， ∵BA⊥CA， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，AC8， 由作法得BQ平分∠ABC， ∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离， ∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5， ∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC， ∴OA：OC＝3：5， ∴OA：AC＝3：8， ∴OAAC8＝3． 故选：A． 【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．A 【分析】延长交延长线与Q，证明得到，由作图方法可知平分，，同理可证明，则，即可证明是的中位线，得到． 解：如图所示，分别延长交延长线与Q， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由作图方法可知平分，， ∴同理可证明， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与尺规作图，垂线的尺规作图，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．C 【分析】过A点作AE⊥x轴于点E，过P点作PF⊥x轴于点F，结合平行四边形的性质及直角三角形的性质可求解EF=BF=BE，OE，AE的长，进而可求得EF的长及OF的长，利用根据PF=AE可求解PF的长，即可求解P点坐标，根据旋转方式可得当旋转4次时，P点位置与原位置关于原点成中心对称，当旋转8次时，P点位置与原位置重合，由2022÷8=252…6，可得当旋转2022次时，P点位置，进而利用全等三角形的性质可求解． 解：过A点作AE⊥x轴于点E，过P点作PF⊥x轴于点F， ∴， 在平行四边形ABCD中，AP=BP，∠AOB=60°，BO=2AO=4， ∴EF=BF=BE，AO=2， ∴OE=AO=1，， ∴，BE=OB-OE=4-1=3， ∴EF=， ∴OF=OE+EF=， ∴P点坐标为， ∵将平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，每次旋转45°， ∴当旋转4次时，P点位置与原位置关于原点成中心对称， 当旋转8次时，P点位置与原位置重合， ∵2022÷8=252…6， ∴当旋转2022次时，P点位置为的位置，如图示：且 过作轴于 ， 即旋转2022次后 故选：C． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，找规律，点的坐标的确定，求解旋转后的P点坐标规律是解题的关键． 4．D 【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标． 解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2） ②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2）， ③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2）， 综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 5．A 【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离． 解：作于， ，，， ，， ， ， ，， 的中点为， 平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点， 把代入得，，解得， ， 平移距离为． 故选：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键． 6．A 【分析】首先根据题意作出图形，则可得线段BC扫过的面积应为平行四边形BCC′B′的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．则可由勾股定理求得AC的长，由点与一次函数的关系，求得A′的坐标，即可求得CC′的值，继而求得答案． 解：如下图： ∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（6，0）， ∴AB＝5． ∵∠CAB＝90°，BC＝13， ∴AC＝＝12． ∴A′C′＝12． ∵点C′在直线y＝2x﹣4上， ∴2x﹣4＝12，解得：x＝8． 即OA′＝8． ∴CC′＝AA′＝OA′﹣OA＝8﹣1＝7， ∴＝7×12＝84， 即线段BC扫过的面积为84． 故选：A． 【点拨】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质．能根据性质得出的底和高是解决此题的关键. 7．B 【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长． 解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N， 由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA， ∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA， ∴四边形ADEC是等腰梯形， 连接BE， ∵AB＝AE，CB＝CE， ∴AC是BE的垂直平分线， ∵， ∴CN＝，BN＝1， ∴AN＝AB+BN＝4+1＝5， ∴AC＝＝＝2， ∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝AC•BF， ∴4×＝2BF， ∴BF＝， ∴CF＝＝＝， 在等腰梯形ADEC中， DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝． 故选：B． 【点拨】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 8．A 【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题． 解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N， 得矩形BHFM， ∴∠MBC＝90°，MB＝FH，FM＝BH， ∵AB＝6，5BE＝AE， ∴AE＝5，BE＝， 由折叠的性质可知：GE＝AE＝5，GF＝AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABN＝∠A＝45°， ∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形， ∴EN＝BN＝BE＝1，AM＝BM＝AB＝6， ∴FH＝BM＝6， 在Rt△GEN中，根据勾股定理，得 EN2+GN2＝GE2， ∴12+GN2＝（5）2， 解得GN＝±7（负值舍去）， ∴GN＝7， 设MF＝BH＝x， 则GH＝GN﹣BN﹣BH＝7﹣1﹣x＝6﹣x，GF＝AF＝AM+FM＝6+x， 在Rt△GFH中，根据勾股定理，得 GH2+FH2＝GF2， ∴（6﹣x）2+62＝（6+x）2， 解得x＝， ∴AF＝AM+FM＝6+＝ ． ∴AF长度为 ． 故答案为：A． 【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 9．C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 10．A 【分析】取的中点，连接，推出三点共线，进而得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，进而得到三点共线时，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 解：∵，，， ∴，， 取的中点，连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接交于点，连接，作， ∴，垂直平分， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴的最小值是； 故选：A． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题, 解题的关键是确定点的运动轨迹． 11．B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．延长，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出即可． 解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：   ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ，即， 解得：或（舍去）， 在中根据勾股定理得：， ， ． 故选：B． 12．C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积的面积，得到答案． 解：连接， ∵点E是的中点，的面积的为20， ∴的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∵D，E分别是的中点， ， ∴的面积的面积， 故选：C． 13．A 【分析】设AB交CF于K．首先证明点F在弧上运动，∠GOK＝120°，当旋转360°，则点F经过的路径长是的两倍，求出的长度，即可求得答案． 解：如图，设AB交CF于K． ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴（三角形中位线定理），，， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴△ADE是等边三角形， 由旋转得：， ∴∠CAB＝∠MAN＝60°，AB＝AC，AM＝AN， ∴∠CAN＝∠BAM， ∴△CAN≌△BAM（SAS）， ∴∠ACN＝∠ABM， ∵∠CKA＝∠BKF， ∴∠BFK＝∠CAK＝60°， ∵∠CFB＝∠CAB＝60°， ∴C，B，F，A四点共圆，设圆心为O， 则点F在弧上运动，∠GOK＝120°， ∵等边△ABC的边长为6， ∵E是AC的中点， ∴，， 连接OA，则， 设圆的半径为r， 则的长为：， 当旋转360°，则点F经过的路径长是的两倍， ∴点F经过的路径长＝2×＝π， 故选：A． 【点拨】本题考查的是旋转的性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 14．D 【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解． 解：取线段的中点，连接，如图所示． , 为等边三角形，，且直线为的对称轴， ，,， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ． 又∵， ≌， ． 当时，最小， ∵,， ∴， ∴， 点为的中点， ∴为的中位线， ∴点为的中点，． ∴， 点为的中点， ∴， ∵≌， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质勾股定理，中位线的判定和性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出以及的最小值． 15．C 【分析】如图1所示，设与交于H（不包括），根据含30度角的直角三角形的性质得到，再证明是等边三角形，得到，由此即可判断①；同理可得，当时，如图2所示，利用三角形内角和定理分别求出，则，由此即可判断②；如图3所示，分别在上取一点E、F，使得，过点F作交于G，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，由此推出，即可判断③；如图4所示，设直线与直线交于M，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，同理可得，再利用四边形内角和定理可得，由此即可判断④． 解：如图1所示，设与交于H（不包括）， ∵在中，， ∴， 当时，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即点H是的中点， ∴当时，与的交点恰好为中点，故①正确； 同理可得 当时，如图2所示， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，即恰好经过，故②正确； 如图3所示，分别在上取一点E、F，使得，过点F作交于G， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴，故③错误； 如图4所示，设直线与直线交于M， ∵， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在，故④正确； 故选C． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判断，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 16．D 【分析】本题考查平行四边形的性质，割补法求阴影部分的面积．熟练掌握平行四边形的性质，利用割补法表示出阴影部分的面积，是解题的关键．连接，设点到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为，利用面积公式求出，，发现均为定值，和也为定值，利用割补法得到与四边形的面积之和为，即可得出结论． 解：连接，设点到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为定值，是平行四边形的高，均为定值， ∴，，均为定值， ∵的边长是定值， ∴也为定值， ∵与四边形的面积之和为，为定值， ∴与四边形的面积之和保持不变， 当点O在HE，MN交点的左侧时， 如图， ， 而为定值，且变小， 故阴影部分面积是变化的，先变小，然后再保持不变， 故选：D． 17．A 【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可． 解：∵点B的坐标为（8，4）， ∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2）， 设直线DE的函数解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线DE的解析式为y=x-2． 故选：A． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键． 18．C 【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长． 解：如图， 取中点，取中点，连接，， 由图2可知，当时，， ∴当时，，即当与重合时，， ∵此时与重合，为的中点，即为的中点， ∴， 同理当与重合时，即时，， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可证是的中位线， ∴， ∴点在上， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， 过点作于，连接并延长交于，由图2可知， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点重合时，取得最大值， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键． 19．C 【分析】根据题意画出示意图，延长FP交AB于点Q，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析解答即可． 解：根据题意，延长FP交AB于点Q，可画图如下： ∵ ∴ ∵将射线沿折叠，射线沿折叠， ∴， ∵， 如第一个图所示，在四边形FPEM中，， 得：， ∴． 如第二个图所示，在四边形FPEM中，， 得：， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答． 20．C 【分析】分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接    两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接，    由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键． 21．/ 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质求出，进而求出，据此解答． 解：由作图方法可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键． 22．/ 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，，证明为等边三角形，为等边三角形，可得，，当，，，，共线时，，此时最小，再进一步求解即可． 解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，， ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴，， 当，，，，共线时， ，此时最小， ∵， ∴，而，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（-3，2）#（-5，2） 【分析】本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可． 解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵A，C两点坐标分别为和， ∴，， 分两种情况进行讨论： ①如图1，当∠DAB＝45°时： ∴∠CBE＝45°， ∵CE＝2， ∴BE＝CE＝2， ∴， ∴点D的坐标为（2-5，2），即（-3，2）； ②如图2，当∠CBA＝45°时： ∵CE＝2， ∴BE＝CE＝2， ∴， ∴点D的坐标为（2-7，2），即（-5，2）； ∴由①②可知点D的坐标为：（-3，2）或（-5，2）． 故答案为：（-3，2）或（-5，2） 【点拨】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键． 24．（2，0）或（4，0）或（-4，0） 【分析】需要以已知线段为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点坐标． 解：设，， ，， 以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形可得： ①若四边形为平行四边形， 对角线中点坐标为：，和，， ， 解得：， ； ②若四边形为平行四边形， 对角线中点坐标为：和，， ， ， ③若四边形为平行四边形， 对角线中点坐标为：，和，， ， 解得：， ， 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了数形结合的数学思想以及平行四边形的性质应用，以为边和对角线进行分类是本题的关键点所在． 25． 【分析】证明，则当最小时，即最小，作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，求出CG直线方程为：，当时，，即可求出． 解：∵Rt△AOB和Rt△COB是等腰三角形，且，∠OAB＝∠OCB＝90°， ∴是正方形，， 根据平移的性质可知：，， ∴，， ∴四边形ECBD是平行四边形， ∴， 若最小，即最小， 作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D， ∵, ∴，，， 设CG直线方程为： 将，代入方程得：，解得：， ∴ 当时， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查平移，正方形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，一次函数的解析式，解题的关键是理解若最小，即最小找出此时CG与AD所在直线的交点即为点D． 26．8 【分析】先连接AC、BD交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将□ABCD的面积平分，然后计算出过E且平行于直线y=-x的直线解析式，从而可得直线y=-x要向右平移10个单位，进而可得答案． 解：连接AC、BD，交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将▱ABCD的面积平分， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE=CE， ∵A（3，2），C（7，4）， ∴E（5，3）， ∵PE平行于直线y=-x， ∴k=-1， 设PE的解析式为y=-x+b， ∵把E（5，3）代入，得3=-5+b， ∴b=8, ∴PE的解析式为y=-x+8， 直线y=-x要向右平移8个单位， ∴时间为8÷1=8（秒）， 故答案为：8． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图像平移，正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解答本题的关键． 27．2 【分析】由折叠的性质可知，当时，的长度取最小值，则的长度取最小值，此时的长度取最大值，过点作于点，则，由含30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得，从而即可得到答案． 解：由折叠的性质可知，当时，的长度取最小值，则的长度取最小值，此时的长度取最大值， 四边形是平行四边形， ， ， ， 如图，过点作于点，则，    在中，， ， ∴， ∴， 和长度的最小值为6， 故长度的最大值为， 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 28． 【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题． 解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N， 得矩形BHFM， ∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH， ∵AB=6，5BE=AE， ∴AE=5，BE=， 由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABN=∠A=45°， ∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形， ∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6， ∴FH=BM=6， 在Rt△GEN中，根据勾股定理，得 ， ∴， 解得GN=±7（负值舍去）， ∴GN=7， 设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x， 在Rt△GFH中，根据勾股定理，得 ， ∴， 解得x=， ∴AF=AM+FM=6+=． ∴AF长度为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 29． 【分析】以为边在左侧作等边三角形，连接，设交于点H，根据直角三角形的性质及勾股定理得出，，再由等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出，根据等量代换及垂直平分线的判定得出点E在的垂直平分线上运动，过点E作于点M，取的中点N，连接，并双向延长，利用中位线的判定和性质求解即可． 解：以为边在左侧作等边三角形，连接，设交于点H，如图所示： ∵中，，， ∴， ∴，， ∵和都是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上运动， 过点E作于点M，取的中点N，连接，并双向延长， ∴， ∵F为中点，N为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点F在直线上运动， ∴， 当点F与点N重合时，取得最小值为， ∵N为的中点， ∴， ∴， 的最小值为， 故答案为： ． 【点拨】题目主要考查勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 30．/ 【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值． 解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 直线l与直线之间的距离为1， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 即周长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键． 31．1秒或2秒 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 解：分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为1秒或2秒， 故答案为：1秒或2秒． 32． 【分析】（）由点的坐标得到的长，再根据即可求解； （）过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，易证明，得到，，即可求得点的坐标；由四边形为平行四边形可证明到，得到，，根据点始终在平行于轴的直线上运动，并且这条直线与轴的距离为，即可得到的取值范围； 本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，判断出点始终在平行于轴的直线上运动是解题的关键． 解：（）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为； （）如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴， ∵，轴， ∴点始终在平行于轴的直线上运动，并且这条直线与轴的距离为， ∴点到这条直线的距离为， ∴长度的取值范围为， 故答案为：． 33． 【分析】本题考查的是几何变换，主要考查了坐标与图形的变化，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造中位线解决问题， 连接，取中点，连接，根据中位线定理得出，由，即可求解． 解：连接，取中点，连接，则， 即， 则， 当、、共线时，上式取等号， ，， 则点，， 而点， 由点、的坐标得，， 故的最小值为． 故答案为：． 34．或/或 【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为的中位线，求出，，的长度即可求得点B与点的距离． 解：∵，，， ∴ 如图，当点在右侧时，连接， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∵为的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， 则：； 如图，当点在左侧时，连接， 同理可得：，，， 则：； 综上，点B与点的距离为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出 为的中位线是解决问题的关键． 35．，或，或， 【分析】已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标．联立方程组求出点的坐标；先根据得到、的关系，然后求出，并都用字母表示，根据，列式求出与的值，得出点的坐标；根据图形以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，求出满足题意，，的坐标． 解：在直线中，令，得， 点， 在直线中，令，得， 点，， 由，得， 点，， ， ， 整理得， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， ， ，，，，，， 存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点、分别作、的平行线交于点． ①且， 是平行四边形．此时，由点的平移规律可知P点向右平移6个单位得到，； ②且， 是平行四边形．此时，由点的平移规律可知P点向左平移6个单位得到，； ③且，此时是平行四边形．由点的平移规律可知A点向右平移个单位，向下平移得到，． 故答案为，或，或，， 【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数图象的交点，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的性质和平面内点的平移坐标变化规律是解本题的关键． 36．或4或2或3 【分析】如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可． 解：由题意可得：，， ∵，， ∴，，    当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得，不合题意，舍去； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：， 综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 故答案为：或4或2或3． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解本题的关键． 37．S= 【分析】分三种情况进行讨论：点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上，分别依据三角形的面积计算公式，即可得到S与t的函数关系式． 解：（1）当点P在BC上运动时，即0≤t≤2时， 过点A作AH⊥BC于H， ∵AB=,∠B=45°， ∴AH=BH=1， S=BP·AH=t·1=t； （2）当点P在CD上运动时，即2<t≤2+时， S =S四边形ABCD=1； （3）当点P在DA上运动时，即2+<t≤4+时， S=AP·AH=（4+－t）； 故答案为：S=. 【点拨】本题考查了三角形的面积以及动点函数的图象问题，解决本题的关键是进行分类讨论． 38． 【分析】如图（见分析），先利用平行四边形的判定与性质可得，再利用轴对称的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为OC，最后利用一次函数的性质、两点之间的距离公式求出OC的长，由此即可得． 解：如图，过点A作PQ的平行线，过点P作AQ的平行线，两平行线交于点B，作点B关于直线的对称点C，连接PC、OC、BC，其中BC交直线于点D， ， 四边形ABPQ是平行四边形， ， 由轴对称的性质得：， ， ， ， 四边形的周长为， 则要使四边形的周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， ， 设直线AB的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线AB的函数解析式为， 设点B的坐标为， 则， 解得或（不符题意，舍去）， ， ， 设直线BC的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线BC的函数解析式为， 联立，解得， ， 设点C的坐标为， 点B、C关于直线对称， 点D为BC的中点， ，解得， ， 的最小值， 则四边形的周长最小值为， 故答案为：． ． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质等知识点，利用平行四边形的性质和轴对称性的性质找出的最小值是解题关键． 39．2或/或2 【分析】证明，得出，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵将沿折叠，点D恰好与点B重合，点C的对应点为点G， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 综上分析可知，的长为2或． 故答案为：2或． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明． 40．或 【分析】分类讨论：①当点在的角平分线上时，利用折叠的性质以及中线的性质得出，再结合中位线的性质得到是的中点，最后利用含角的直角三角形的性质计算各边的长度即可；②当点在的角平分线上时，连接，利用角平分线以及折叠的性质证明，再得到四边形是菱形，结合中线的性质以及的长计算边的长度即可． 解：如图1，当点在的角平分线上时，连接 ， ， ， 由折叠可知，， 是中线， ， ， ， ， ∴是的中点， ∵， ， ， ∵是的中点， ∴， 在中，， ， ； 如图2，当点在的角平分线上时，连接 由折叠知，， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查折叠的性质以及三角形全等，熟练运用含角的直角三角形的性质求各边的长度是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$